4. Основной закон радиоактивного распада в дифференциальной и интегральной форме.

Радиоактивный распад ядер одного и того же элемента происходит постепенно и с разной скоростью для разных радиоактивных элементов. Нельзя указать заранее момент распада ядра, но можно установить вероятность распада одного ядра за единицу времени. Вероятность распада характеризуется коэффициентом λ - постоянной распада, который зависит только от природы элемента.

1. Дифференциальная форма закона.

Экспериментально установлено, что:

За равные промежутки времени распадается одинаковая доля наличных (т.е. еще не распавшихся к началу данного промежутка) ядер данного элемента (закон радиоактивного распада).

Пусть:

N_t - наличное количество ядер.

dN - убыль наличного количества атомов;

dt - временной интервал.

dN  N_t · dt  dN = –λ N_t dt

λ - постоянная распада. Смысл этого коэффициента – вероятность распада ядра в единицу времени.

"–" – говорит о том, что с течением времени количество распадающихся атомов уменьшается.

Следствие № 1:

λ = –dN/(N_t · dt) - относительная скорость радиоактивного распада для данного вещества есть величина постоянная.

Следствие № 2:

dN/dt = – λ · N_t - абсолютная скорость радиоактивного распада пропорциональна количеству нераспавшихся ядер к моменту времени dt. Она не является постоянной, т.к. уменьшатся с течением времени.

Таким образом, дифференциальная форма закона устанавливает зависимость между временным интервалом (dt), постоянной распада λ, числом нераспавшихся ядер в данный момент времени (N_t), числом распавшихся ядер (dN) за временной интервал (dt) (следующий после момента времени (t)).

2. Интегральная форма закона.

Эта форма устанавливает зависимость числа нераспавшихся ядер в данный момент времени (N_t) от числа ядер в начальный момент времени (N_o), а так же от времени распада (t) и постоянной распада λ. Интегральная форма получается из дифференциальной.

dN = – λ N_t dt

1. Разделим переменные:

dN/N_t = – λ dt

2. Проинтегрируем обе части равенства:

∫ dN/N_t= – λ ∫dt

3. ln N_t= – λt + C

N_t = С · e^-λt - общее решение

4. Найдем частное решение:

Если t = t₀ = 0  N_t = N₀

(начало (исходное число

распада) атомов)

N₀ =С · e^-λ·0 =C · 1 = C

N_t = N₀ · e^-λt

N_t - число нераспавшихся ядер к моменту времени t;

N₀ - исходное число ядер при t = 0;

λ - постоянная распада;

t - время распада

Вывод: Наличное количество не распавшихся атомов ~ исходному количеству и убывает с течением времени по экспоненциальному закону.

Nt

N₀

N_t= N₀·2 λ₁ λ₂>λ₁ Nt = N₀·e^λ·t

T₂<T₁

λ₂

0 T₁ T₂ t [c]