Тема 7. Закон больших чисел

Заканчивается раздел «Теория вероятностей» темой 7 – «Закон больших чисел» . Под законом больших чисел в широком смысле понимается общий принцип, согласно которому, по формулировке академика А.Н. Колмогорова, совокупное действие большого числа случайных факторов приводит (при некоторых весьма общих условиях) к результату, почти не зависящему от случая. Другими словами, при большом числе случайных величин их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

Под законом больших чисел в узком смысле понимается ряд математических теорем, в каждой из которых устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным.

Так, в теореме Чебышева утверждается, что средняя арифметическая п независимых случайных величин – величина случайная – при приближается (точнее сходится по вероятности) к средней арифметической их математических ожиданий – величине неслучайной, т.е. практически перестает быть случайной. А втеореме Бернулли доказывается, что случайная величина – статистическая вероятность или частость события в п повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р, при неограниченном увеличении числа п приближается (сходится по вероятности) к вероятности р этого события в отдельном испытании – величине неслучайной. Так, например, если вероятность рождения мальчика нам не известна, то в качестве ее значения на основании теоремы Бернулли мы можем принять частость (статистическую вероятность) этого события, которая, как известно по многолетним статистическим данным, составляет приближенно 0,515.

Обратите внимание на понятиеcxo димости по вероятности , под которой понимается стремление случайной величины к постоянной величине с вероятностью, как угодно близкой к единице при

Прежде чем доказать указанные основные теоремы, в теме рассматриваются неравенство Маркова или лемма Чебышева, (применяемое для неотрицательных случайных величин), и неравенство Чебышева, (применимое для любых случайных величин). При использовании этих неравенств следует учесть, что они дают лишь верхнюю или нижнюю границы вероятности рассматриваемого события.

Завершая обзор учебного материала по разделу «Теория вероятностей» следует отметить, что усвоение этого материала предполагает решение достаточно большого числа задач, в частности, с помощью компьютерной программы «КОПР2».

 

Раздел 2. Математическая статистика

Второй раздел «Математическая статистика»включает в себя четыре темы:

8. Вариационные ряды

9. Основы выборочного метода

10. Элементы проверки статистических гипотез

11. Элементы теории корреляции

 

Математическая статистика – раздел математики, изучающий математические методы сбора, систематизации, обработки и интерпретации результатов наблюдений с целью выявления статистических закономерностей.

 

Тема 8. Вариационные ряды

В теме 8 «Вариационные ряды» Вы познакомитесь с простейшей статистической обработкой опытных данных — построением вариационных рядов и вычислением их числовых характеристик.

Вариационным рядом называется ранжированный (т.е. упорядоченный) ряд значений изучаемого признакаX или вариантов с соответствующими им частотами (или частостями). Частоты (или частости) указывают число (долю) соответствующих вариантов. Обратите внимание на графическое изображение вариационного ряда – на полигон и гистограмму, а также эмпирическую функцию распределения.

Вариационный ряд является статистическим аналогом (реализацией) распределения признака (случайной величиныX ). В этом смысле полигон (гистограмма) вариационного ряда аналогична кривой распределения, эмпирическая функция распределения – функции распределения случайной величины. А числовые характеристики вариационного ряда – средняя арифметическая (обозначается ) и дисперсияs ² являются аналогами соответствующих числовых характеристик случайнойвеличины – математического ожидания М(X ) и дисперсии Г ². Точно так же понятие частости (относительной частоты)w для вариационного ряда аналогично понятию вероятности р для случайной величины.

Необходимо знать формулы средней арифметической и дисперсииs ² вариационного ряда, их свойства. Учтите, что более сложные формулы их вычисления, используемые в упрощенном способе расчета (учебник [1], §8.4) носят технический, вспомогательный характер, и их сложность объясняется переходом в расчетах от рассматриваемых вариантов к условным.