2. Десятичная система счисления

Десятичная позиционная система счисления основана на том, что десять единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего старшего разряда. Таким образом, каждый разряд имеет вес, равный степени 10. Например, в записи числа 343.32 цифра 3 повторена три раза, при этом самая левая цифра 3 означает количество сотен (ее вес равен 100); а самая правая цифра 3 означает количество десятых долей единицы (ее вес равен 0.1), так что последовательность цифр 343.32 представляет собой сокращенную запись следующего выражения:

.

Десятичная запись любого числа Xв виде последовательности цифр

основана на представлении этого числа в виде полинома:

. (10.2)

3. Двоичная система счисления

В современной вычислительной технике, в устройствах автоматики и связи широко используется двоичная система счисления. Это – позиционнаясистема счисления с наименьшим возможным основанием. В ней для представления (изображения) числа используются только две цифры: 0 и 1.

Приозвольное двоичное число Xпредставляется в виде полинома:

. (10.3)

Примеры изображения десятичных чисел в двоичной системе:

	.

Таблица сложения чисел в двоичной системе имеет вид:

Таблица умножения чисел в двоичной системе имеет вид:

4. 8- И 16-ричная системы счисления

Неудобство использования двоичной системы счисления заключается в громоздкости записи чисел. Это неудобство не имеет существенного значения для ЭВМ. Однако, если возникает необходимость кодировать информацию «вручную», например, при составлении программы на машинном языке, то предпочтительнее оказывается пользоваться восьмеричной или шестнадцатеричной системой счисления.

В 8-ричной системесчислениябазисными числами являются 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (всего 8 цифр). Запись любого числа в этой системе основывается на его разложении по степеням числа восемь с коэффициентами, являющимися указанными выше базисными числами (от 0 до 7).

Например, десятичное число 83.5 в 8-ричной системе будет изображаться в виде 123.4. Действительно, эта запись по определению означает представление числа в виде следующего полинома:

.

В 16-ричной системе счислениябазисными являются числа от нуля до пятнадцати. Эта система отличается от рассмотренных ранее тем, что в ней общепринятых арабских цифр не хватает для обозначения всех базисных чисел, поэтому приходится вводить в употребление новые символы. Для обозначения первых десяти чисел от нуля до девяти используются арабские цифры, а для следующих целых чисел от десяти до пятнадцати используются буквенные обозначения:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a,b,c,d,e,f.

Обозначения a,b,c,d,e,fсоответствуют десятичным числам 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Например, десятичное число 175.5 в 16-ричной системе будет заисываться в виде af.8. Действительно:

.

5. Смешанные системы счисления

В ряде случаев числа, заданные в системе счисления с основанием P, приходится изображать с помощью цифр другой системы счисления с основаниемQ, которое меньшеP. Такая ситуация возникает, например, когда в ЭВМ, способной непосредственно воспринимать только двоичные числа, необходимо изобразить десятичные числа, с которыми мы привыкли работать. В этих случаях используютсясмешанные системысчисления, в которых каждый коэффициент P-ичного разложения числа записывается в Q-ичной системе. В такой системеPназывается старшим основанием,Q– младшим основанием, а сама смешанная система называется (Q-P)-ичной.

Для того, чтобы запись числа в смешанной системе счисления была однозначной, для представления любой P-ичной цифры отводится одно и то же количествоQ-ичных разрядов, достаточное для представления любого базисного числаP-ичной системы.

Пример. В смешанной двоично-десятичной системе счисления для изображения каждой десятичной цифры отводится четыре двоичных разряда. Например, десятичное числов двоично-десятичной системе запишется в виде 1001 0010 0101. Здесь последовательные четверки (тетрады) двоичных разрядов изображают цифры 9, 2, 5 записи числаXв десятичной системе. Следует отметить, что, хотя в двоично-десятичной записи и используются только цифры 0 и 1, эта запись отличается от двоичного изображения данного числаX. Приведенный выше двоичный код из 12 разрядов в двоичной системе счисления изображает десятичное число 2341, а не 925, то есть.

Условимся изображать принадлежность числа к (Q-P)-ичной системе счисления с помощью нижнего индекса (Q-P) при данном числе, например,.

Аналогично рассмотренной выше двоично-десятичной системе счисления можно использовать и другие смешанные системы счисления при различных значениях PиQ.

Допустим, имеется число (в общем случае вещественное, имеющее целую и дробную части), записанное в P-ичной системе:

.

Необходимо это число представить в (Q-P)-ичной системе (). Другими словами, каждый коэффициент(это числа существенно целые) нужно записатьQ-ичной системе, то есть представить в виде

.

Для этого необходимо определить количество разрядов, то есть количество значащих цифр вQ-ичном представлении каждого числа. Для представления каждоговыбирается одинаквое достаточное количество разрядов. Очевидно, это необходимое и достаточное количество разрядов определяется так:

. (10.4)

Разумеется, число в общем случае не всегда целое, поэтомудолжно быть целым превосходящим.

В общем случае запись какого либо числа Xв (Q-P)-ичной системене совпадает с изображением этого числаXвQ-ичной системе. Однако такое совпадение имеет место, когда, где- целое положительное число. В этом случае изображение числаXвP-ичной системе является просто сокращенной записью изображения этого же числаXвQ-ичной системе.

Рассмотренное выше свойство некоторых смешанных систем широко используется на практике для сокращенной записи чисел, заданных в системе счисления с небольшим основанием. Для этого в исходной записи числа разряды объединяются вправо и влево от точки в группы некоторой длины (добавляя в случае необходимости левее старшей или правее младшей значащих цифр соответствующее количество нулей), и каждая такая группа записывается одной цифрой другой системы (с большим основанием).

Например, пусть дано число .

Представим его в 4-ичной системе. Итак, . Таким образом, каждая цифра 4-ичного представления соответствует двум разрядам 2-ичного представления: 10 11 10. 10₂. При этом:;;;. Таким,.

Представим это же число в 8-ричной системе:, то есть каждые три разряда исходного двоичного числа будут соответствовать одному разряду 8-ричного числа. Поэтому в исходном числе надо приписать два нуля справа (чтобы было как минимум 3 разряда после запятой): 101 110. 100. При этом:;;. Итак, получаем:.

Представим это же число в 16-ричной системе., поэтому исходное число надо разбить на группы по четыре двоичных разряда. Для этого надо дописать три нуля справа от младшего разряда и два нуля слева от страшего разряда (чтобы количества разрядов как до, так и после запятой делились на четыре нацело):= 0010 1110. 1000₂. При этом;;. Таким образом,.

Подчеркнем, что значение целого числа, то есть общее количество входящих в него единиц, не зависит от способа представления этого числа и остается одинаковым во всех системах счисления. Различаются только формы представления одного и того же количественного содержания числа. Например, . Другими словами, размер стипендии не станет больше от того, что при ее начислении вместо десятичной будут использовать, например, двоичную систему счисления.