6. Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных)

Пусть дано неоднородное ЛДУ -го порядка

, (25)

где.

Предположим, что найдена или известна фундаментальная система решений однородного уравнения . Решением уравнения (25) будем искать в виде

, (26)

т.е. предполагая не постоянными, а переменными и дифференцируемыми навеличинами. Эти функции пока неизвестные произвольные, для нахождения их нужно иметьусловий. Продифференцируемеще раз

.

Предполагая каждый раз, что сумма в квадратных скобках также равна нулю, найдем производную

.

Полагая выражение в квадратных скобах равным нулю, продифференцируем

.

Подберем так, чтобы функция (26) являясь решением уравнения (25). Подставляя функцию (26) и ее производные левую часть линейного дифференциального уравнения (25), получим

.

Так как - частные решения однородного ЛДУ, то получим последнееусловие относительно. Таким образом, для нахождения неизвестных функцийполучили систему линейных алгебраических уравнений

(27)

Решая ее методом Крамера (что можно сделать, т.к. главный определитель системы равен вронскиану , ибо- ФСР), имеем,,

где определители получаются из главногозаменой элементов-го столбца свободными членами системы.

Пример.Найдем общее решение неоднородного ЛДУ второго порядка.

Найдем вначале ФСР однородного уравнения . Из характеристического уравненияполучим, т.е.,, поэтому,. Подставив эти функции в (27) получим

Отсюда ,,

.

Следовательно ,,,,. Окончательно получим общее решение исходного уравнения.

7. Метод неопределенных коэффициентов

Метод вариации можно использовать для любых линейных дифференциальных уравнений с любой непрерывной правой частью. А метод неопределенных коэффициентов можно применять только для уравнений с постоянными коэффициентами и только с правой частью определенных видов. Преимущество этого метода в том, что можно находить частное решение неоднородного уравнения, не прибегая к операции интегрирования.

Рассмотрим неоднородное ЛДУ -го порядка с постоянными коэффициентами

. (28)

1) Пусть правая часть , где- многочлен степени.

а) Если не является корнем характеристического уравнения, тогда частное решение неоднородного уравнения ищется в той же форме, т.е.

,

где - не определены. Для их нахождения нужно продифференцировать

- раз и подставить его в уравнение (28). А дальше коэффициенты находятся аналогично способу неопределенных коэффициентов при интегрировании, т.е. приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях.

б) Пусть является корнем характеристического уравнения кратности. Тогда частное решение ищется в той же форме, но с сомножителем, т.е.

.

И далее аналогично пункту а).

2) Пусть правая часть уравнения (28) есть .

а) Если комплексное число не является корнем характеристического уравнения, тогда частное решение неоднородного уравнения ищется в виде

,

где - многочлены степенис неопределенными коэффициентами;б) Еслиявляется корнем характеристического уравнения кратности, тогда частное решение неоднородного ЛДУ (28) ищется в виде

,.

3) Пусть правая часть неоднородного ЛДУ представляет сбой сумму нескольких функций, т.е. . Для наглядности рассмотрим, когда правая часть сумма двух функций. Решение будем искать в виде. Тогда, подставляя его в уравнение и пользуясь свойством линейного дифференциального оператора, получим

или . Таким образом, если правая часть уравнения представляет собой суммуфункций, то уравнение разбивается науравнений с этими новыми правыми частями. Найдя частное решение каждого неоднородного уравнения, получим частное решение исходного уравнения в виде суммы частных решений этихуравнений.

Основная литература: 3; 4, том 2. Дополнительная: 23.

Контрольные вопросы.

1. Укажите виды дифференциальных уравнений первого и второго порядка.

2. Дайте определение однородной функции степени .

3. Приведите способы решения линейного дифференциального уравнения 1- порядка.

4. Что такое вронскиан?

Лекция 11. РЯДЫ. Основные определения и свойства числовых рядов. Признаки их сходимости. Степенные ряды, интервал сходимости. Теорема Абеля. Ряды Тейлора иФурье.