10546

Пример. Найти объём тора («баранки»). Тор можно получить, вра-

y1 = a − r2 − x2

a

r

x

Рис. 35.4

Интересующий нас объём равен разности объёмов, полученных при вращении кривых y1 и y2 . Поскольку фигура симметричная, то можно вычислять половину объёма

251

промежуток интегрирования [a,b]конечной длины. Распространим понятие определённого интеграла на более широкий класс функций. Пусть функция имеет в промежутке [a,b] разрывы первого рода. В этом случае под интегралом функции следует понимать сумму интегралов

∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx ,

взятых по отдельным интервалам, в которых функция остаётся непрерывной (см. рис. 35.5).

f (x)

Рис. 35.5

При этом и геометрическое значение интеграла как площади остаётся в силе.

Иначе обстоит дело, когда функция имеет разрыв второго рода в какой либо точке внутри интервала интегрирования или на одном из его концов. Начнём с примера. Так, формально написанный интеграл

∫1 dx (35.2)

0 x

не существует в обычном смысле, т.к. подынтегральная функция «уходит в бесконечность» на левом конце промежутка интегрирования (см. рис. 35.6).Попытаемся придать вполне определённый смысл интегралу (35.2), а значит, и понятию площади соответствующей бесконечной фигуры. Проведем прямую x = ε и рассмотрим полученную криволинейную трапецию. Ее площадь равна интегралу

1

∫ dx .

ε x

252

y

f (x) = 1

x

1

ε

Рис. 35.6

Определим интересующую нас площадь бесконечной фигуры с помощью предельного перехода

В нашем примере предел оказался конечным. Таким образом, мы придали смысл интегралу

Прежде чем дать общее определение интеграла от функции с бесконечными разрывами, заметим, что достаточно рассматривать только точки разрыва на одном из концов промежутка интегрирования: если разрыв внутри интервала, то интересующий нас интеграл разбивается в сумму двух несобственных интегралов с точками разрывов, лежащих на концах.

Если в промежутке [a,b] функция f (x) непрерывна, за исключением крайней точки (пусть для определённости это будет точкаb), то несобственный интеграл с бесконечными разрывами определяется как предел

bb−ε

aa

Вслучае существования этого предела несобственный интеграл называют сходящимся. В противном случае говорят, что несобственный интеграл не

существует или расходится.

Для сходимости несобственного интеграла разрывной функции необходимо, чтобы эта функция «достаточно быстро» стремилась к беско-

253

нечности, когда аргумент стремится к точке разрыва. Что такое «достаточно быстро» поясним на следующем примере. Рассмотрим несобственные

Этот пример показывает, что несобственный интеграл с бесконечным разрывом оказывается сходящимся, если подынтегральная функция «уходит» в бесконечность не медленнее, чем функция x− p с p <1.

Следующее важное обобщение понятия определённого интеграла заключается в том, что один или оба из пределов интегрирования являются бесконечными. Такие несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования определяются с помощью предельных переходов следующим образом

Если такие пределы существуют, то интегралы называют сходящимися, в противном случае – расходящимися.

Пример 1. Найдем площадь фигуры, заключённой между кривой y =1/(1+ x2 ) и осью абсцисс (см. рис. 35.7).

254

Рис. 35.7

Задача сводится к вычислению несобственного интеграла

Интеграл оказался сходящимся, поэтому можно считать, что площадь этой

Этот несобственный интеграл – расходящийся.

Для сходимости несобственного интеграла с бесконечным пределом необходимо, чтобы подынтегральная функция «достаточно быстро» стремилась к нулю, когда аргумент стремится к бесконечности. Что такое

∞ dx

«достаточно быстро», показывают несобственные интегралы вида∫

1 xp

с параметром p > 0.Найдем

Итак, при p >1 интеграл сходится, а при p ≤1 – расходится. Таким образом, несобственный интеграл с бесконечным пределом оказывается сходящимся, если подынтегральная функция стремится к нулю не медленнее, чем функция x− p с p >1.

255

Раздел 7 . Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Лекция 36. Функции многих переменных

36.1. Понятие функции многих переменных. До сих пор мы изучали функции одной переменной. Теперь перейдём к изучению функций многих независимых переменных. Во-первых, к этому нас вынуждают практические приложения, так как почти во всех взаимосвязях, встречающихся в природе, функции, описывающие эти связи, зависят не от одного аргумента, а от многих. Во-вторых, и с чисто математической точки зрения существует необходимость в изучении свойств функций многих переменных. При этом большей частью достаточно рассматривать функции только двух переменных, поскольку для распространения результатов на функции трёх и более аргументов не возникает необходимости в существенно новых рассуждениях. Поэтому для простоты формулировок и краткости записей ограничимся случаем двух переменных там, где существо дела не зависит от их числа.

Если каждой точке(x, y), принадлежащей некоторому множеству

D плоскости xOy , поставлено в соответствие единственное действительное число z , то говорят, что на множестве D задана функция двух независимых переменных f (x, y).

В символической записи это выглядит следующим образом:

z = f (x, y), (x, y) D .

Множество D называется областью определения этой функции, а множество соответствующих значений z называется областью значений функции.

Если функцию одной переменной изображают графически с помощью кривой, то функцию двух переменных представляют с помощью поверхности. Иногда это легко сделать, как в приведённом выше примере функции

z = 1− x2 − y2 .

256

Эта функция легко получается из уравнения сферы x2 + y2 + z2 =1,поэтому её геометрический образ – полусфера радиуса R= 1 с центром в начале координат, расположенная над плоскостью xOy.

Часто, особенно в картографии, функцию двух переменных изображают с помощью линий уровня. В плоскости xOy выделяют те точки, в которых функция принимает одно и то же значение. Множество таких точек и представляет собой линию уровняC, т.е. кривую, уравнение которой

сти z = f (x, y) и плоскости z = C .По картине линий уровня можно получить представление о поверхности. Например, если линии уровня замкнуты в окрестности некоторой точки, то в этом месте поверхность имеет либо вершину, либо впадину. По «густоте» линий уровня можно судить о крутизне склонов поверхности (см. рис. 36.1).

10

5

0

-5

-10 4

36.2. Предел и непрерывность функции двух переменных. Приведем предварительно определениеε -окрестности точки M0 (x0, y0 ) как совокупность точек M (x, y) , удовлетворяющих неравенству

(x − x0 )2 + (y − y0 )2 < ε2 . Будем говорить, что последовательность точек

(x1, y1),(x2, y2 ),…,(xn , yn ),…

стремится или сходится к точке M0 (x0, y0 ) , если расстояние

257

Действительно, пусть точка (x, y) движется к началу координат по прямой y = kx, 0 < k < +∞ . Тогда

т.е. при стремлении аргументов к началу координат по разным направлениям получаются различные «предельные» значения функции (см. рис. 36.2).

(x0, y0 ), если

lim f (x, y) = f (x0 , y0 ).

x→x0 y→ y0

Если подробно «прочесть» это равенство, то непрерывность означает, что

•функция определена в данной точке и некоторой её окрестности;

•существует предел функции в этой точке;

•предел функции равен значению функции в этой точке.

При нарушении хотя бы одного из этих условий, говорят, что функция имеет разрыв в данной точке. Свойство непрерывности через приращения выражается так

lim[ f (x0 + x, y0 + y) − f (x0 , y0 )] = 0 ,

x→0 y→0

т.е. непрерывность означает, что «малым» изменениям аргументов соответствуют «малые» изменения функции. Ясно, что эти понятия легко распространить на функции многих переменных.

Если функция непрерывна в любой точке некоторой области, то говорят, что она непрерывна в этой области. Убедитесь, пользуясь определением непрерывности, что функция z = x2 + y2 непрерывна в любой точке плоскости.

36.3. Частные производные, производная по направлению. Для функции одной переменной производная в данной точке равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. В случае функции двух переменных приращения аргументов ( x, y) из данной точки M0 (x0, y0 ) в точку M(x0 + x, y0 + y) могут быть сделаны в любом направлении на плоскости. Это приводит к понятию производной функции по направлению, которая характеризует скорость изменения функции в выбранном направлении.

259

Начнем с простейшего случая, когда приращения происходят в направлении оси абсцисс, т.е. когда x ≠ 0, y = 0. В этом случае предел

называется частной производной функции f (x, y) по переменной x в

точкеM0 (x0, y0 ) . Аналогично можно определить частную производную по переменной y

Из этих определений непосредственно следует, что для нахождения частной производной по данной переменной остальные переменные фиксируются и по обычным правилам дифференцирования отыскивается производная функции этой переменной. Например,

Выясним геометрический смысл частных производных. Пусть в некоторой окрестности точки M0 (x0, y0 ) задана функция z = f (x, y) , у которой в этой точке существуют частные производные. Зафиксируем одну из переменных, например, переменную x .

zz(x) = f (x, y0 )

z = f (x, y)

z(y) = f (x0, y)

M0

y

B β

(x0, y0 )

α

x A

Рис. 36.3

260