10546

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

x= mt + x0

=t y =nt + y0

z = pt +z0

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

6.76 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Поэтому искомое расстояние вычисляется по формуле

< M1M0,S >

d =| M1M0 − M1M2 | = | M1M0

−

S |.

| S |2

Пример. Вычислить расстояние точки

M0 (2,−1,3) до прямой

y + 7

z − 2

и найти её проекцию на эту прямую.

Выберем точку на прямой M1(0,−7,2) , тогдаM1M0 = {2,6,1}. Вычис-

лим скалярное произведение

< M1M0,S > = 38,квадрат модуля

| S |2 = 38

= {3,5,2},

направляющего вектораS

по

формуле

(12.9)получим

M1M2 = {3,5,2}:

d =| 2i +

6 j

+ k −

(3i + 5 j

+ 2k) |=| −i

+ j − k |= 3 .

Координаты проекции

точки

M2 (x2, y2,z2 ) находим

из

равенства

M1M2 = {x2 − 0, y2 + 7,z2 − 2} = M2 (3,−2,4) , поэтому окончательно получаем

M2 (3,−2,4).

Вчастности, таким способом можно находить расстояние между параллельными прямыми в пространстве как расстояние от точки, взятой на одной прямой, до другой прямой.

12.3.Пересечение прямых в пространстве. Пусть две прямые L1 и L2

заданы каноническими уравнениями

L :

x − x1

y − y1

z − z1

L :

x − x2

y − y2

z − z2

Выясним условия пересечения этих прямых. Предполагаем, что направ-


ляющие векторы этих прямых S1 = {m1,n1, p1} и S2 = {m2,n2, p2}		не колли-
неарны, что исключает случаи параллельности или совпадения		этих пря-
мых, и, кроме того, точки M1(x1, y1,z1)	и M2 (x2, y2,z2 ) различные (см.
рис.12.6).

M2 L2


	S1
S2	M1
	M1
	Рис. 12.6

Ясно, что прямые будут принадлежать одной плоскости, а значит пе-

ресекаться в точке M0 , тогда и только тогда, когда три вектораS1, S2 и

M1M2 ={x2 − x1, y2 − y1,z2 − z1} компланарны. В координатной форме это условие выглядит так

x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1			= 0.
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
m1	n1	p1
m2	n2	p2

Как найти координаты точки пересечения прямых? Проведём через каждую прямую плоскость, проецирующую эту прямую на какую-нибудь из координатных плоскостей. Например, рассмотрим плоскости, проецирующие эти прямые на плоскость xOy. Пересечение этих плоскостей – это прямая, перпендикулярная плоскости xOy. Координаты точки пересечения этой прямой с плоскостью xOyсовпадают с соответствующими координатами точки пересечения данных прямых (см. рис. 12.7).

z L2

x (x0 , y0 )

Рис.12.7

Нахождение координат точки (x0 , y0 )сводится к решению системы

x − x			=		y − y
	1				1

		m1				n1
		x − x				y − y	,
		2		=			2
				=
		m				n
	2				2

а третья координата может быть найдена из уравнения прямойL1 илиL2 . Пример. Доказать, что прямые

L :	x + 5	=	y − 4	=	z + 5	, L :	x + 5	=	y −16	=	z + 6
			−6						−12
1	3			2		2	4			3

пересекаются и найти координаты точки их пересеченияM0 (x0 , y0 ,z0 )Про-

	= {3,−6,2},		= {4,−12,3} и
веряем компланарность тройки векторов S1		S2

	={0,12,−1}, вычисляя определитель:
M1M2	={0,12,−1}, вычисляя определитель:
			12	−1		−6	2		3	−6
		0
		0
		3	−6 2		= −12			−			= 0.
		4	−12	3		−12	3		4	−12
		4	−12	3

Следовательно, эти прямые пересекаются. Координаты точки пересечения находим, решая, например, систему

x + 5 = y − 4

3 −6

x + 5 = y −16 .4 −12

Её решение x0 = 7, y0 = −20 . Из уравнения, допустим, первой прямой найдем третью координату z0 = 3. Итак, точка пересечения этих прямых

M0 (7,−20,3).

12.4.Расстояние между двумя прямыми. Случай параллельных прямых мы рассматривали в п.12.2. Поэтому пусть прямые скрещивающиеся, следовательно, расположены в параллельных плоскостях (см. рис. 12.8), расстояние между которыми и будет искомым расстоянием между прямыми.

Рис.12.8

Пусть прямые заданы каноническими уравнениями

L :

x − x1

y − y1

z − z1

L :

x − x2

y − y2

z − z2

Кратчайшее расстояние между прямыми найдём как абсолютную величину

проекции вектора

на вектор

Пример. Найти расстояние между прямыми

; :

;

1, 1, 1

Вектор

. Находим векторное произведение

2 2 2 2

тору

. Тогда

1, 1, 1

, коллинеарный век-

Удобнее находить проекцию на вектор

|1 1 1|

' 0.58.

Пр#

√3

Лекция 13. Взаимное расположение прямых и плоскостей

13.1.Угол между прямыми в пространстве. Пусть заданы две прямые L1 и L2 своими каноническими уравнениями

L :

x − x1

y − y1

z − z1

L :

x − x2

y − y2

z − z2

Если

, что означает коллинеарность направляющих векторов

={m1,n1, p1}

= {m2,n2, p2}, то прямые L1 иL2 параллельны и угол

и S2

между ними полагают равным нулю. Параллельные прямые, очевидно, принадлежат одной плоскости.

Под углом между пересекающимися прямыми будем понимать угол

ϕ между их направляющими векторами

S1 ={m1,n1, p1}

и S2

= {m2,n2, p2},

если он острый, и угол α = π − ϕ в противном случае. Следовательно,

cosα =|cosϕ |=

|< S1,S2

| m1 m2 + n1 n2 + p1 p2

(13.1)

2 + n 2 + p 2

2 + n 2

+ p 2

Прямые, не лежащие в одной плоскости, называются скрещиваю-

щимися прямыми. Определим понятие угла

между скрещивающимися

прямыми. Под углом

между двумя прямыми L1 иL2 будем понимать

наименьший из углов

между пересекающимися

прямыми

L′

и L ′, им

параллельными (см. рис.13.1).

L ′

′

S2 ϕ

Рис. 13.1

В частности, условие перпендикулярности двух прямых имеет вид

L1 L2 m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0.

13.2. Угол между прямой иплоскостью. Найдем теперь угол между прямой

L: x − x0 = y − y0 = z − z0 (13.2) m n p

и плоскостью П : Ax + By + Cz + D = 0. Напомним, что под углом между прямой и плоскостью понимают наименьший положительный угол α между проекцией L′ прямой L на плоскость П и прямой L (см. рис. 13.2).


N	L

		L	N
		L

ϕS

α		L′				ϕ	L′
		L′					L′
						α

						S
			Рис. 13.2
Вычисление угла	α	можно свести к вычислению угла					ϕ между
			= {m,n, p}
направляющим вектором		S	= {m,n, p}		прямой L и нормальным к
		= {A,B,C}. В случае острого угла					0 < ϕ < π / 2
плоскости П вектором N		= {A,B,C}. В случае острого угла					0 < ϕ < π / 2
имеем

	sinα		= cosϕ =	< N,S >		.
	sinα		= cosϕ =			.
				\| N \|	\| S \|
В случае тупого угла	π/2 < ϕ < π, так как				ϕ = π + α (см. рис. 13.2), по-
						2

лучимsinα = sin(ϕ − π) = −cosϕ.Таким образом,		для вычисления угла ме-
2
жду прямой и плоскостью получаем формулу
sinα =\|cosϕ \|=	\| mA + nB + pC \|
			.

A2 + B2 + C2 m2 + n2 + p2

В частности, условие перпендикулярности и условие параллельности прямой и плоскости имеют вид

L П A = B = C ; m n p

L|| П Am + Bn + Cp = 0 .

В последнем случае, если дополнительно выполняется равенство

Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 ,

которое означает, что точка (x0 , y0 ,z0 ) прямой L принадлежит плоскости П , то прямая лежит в этой плоскости. Таким образом, принадлежность прямой, заданной каноническими уравнениями (13.2), плоскости П : Ax + By + Cz + D = 0 определяется выполнением условий

{Am + Bn + Cp = 0

Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 .

Если прямая L задана как линия пересечения двух плоскостей

A x + B y + C z + D = 0
1	1	1	1	,
A2x + B2 y + C2 z + D2 = 0

то ее направляющий вектор может быть получен как векторное произведение нормальных векторов этих плоскостей (см. рис. 12.3), т.е.

S= N1 × N2 ,

изадача нахождения угла между прямой и плоскостью сводится к преды-

дущей. В этом случае

sinϕ =

< N1

× N2

,N >

(N1,N2,N)

| N1 × N2 |

| N | | N1

× N2 |

| N |

13.3.Пересечение прямой с плоскостью. Вычислим теперь коорди-

наты точки пересечения прямой

x − x0

y − y0

z − z0

и плоскости

П : Ax + By + Cz + D = 0при условии, что они пересекаются. Перейдём от канонических уравнений прямой к параметрическим

Найдем значение параметра t1 , при котором соответствующая точка прямой принадлежит плоскости, т.е. удовлетворяет уравнению

A(mt + x0 )+ B(nt + y0 )+ C( pt +z0 )+ D = 0

или, что тоже,

(Am + Bn + Cp)t = −(Ax0 + By0 + Cz0 + D) .

(13.2)

Если Am + Bn + Cp = 0 и Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ 0, то это уравнение не имеет решений. Эти условия соответствуют тому, как мы выяснили выше, что прямая и плоскость параллельны и, следовательно, не пересекаются. Если Am + Bn + Cp = 0 и Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 , то уравнение (13.2) имеет бесчисленное множество решений, т.е. прямая принадлежит плоскости. И, наконец, если Am + Bn + Cp ≠ 0, то

	= −	Ax0	+ By0	+ Cz0	+ D
t1						.
t1						.
		Am + Bn + Cp

Подставим это значение в параметрические уравнения прямой и найдем x1, y1, z1 – координаты точки пересечения прямой L с плоскостью П .

Если прямая L задана как линия пересечения двух плоскостей

A x + B y + C z + D = 0
1	1	1	1	,
A2x + B2 y + C2 z + D2 = 0
а плоскость задана уравнением	Ax + By + Cz + D = 0, то координаты точки

их пересечения находим, решая следующую систему трех линейных уравнений:

Ax + By + Cz + D = 0

A1x + B1y + C1z + D1 = 0 .
A x + B y + C		2	z + D = 0
2	2		2

Здесь возможны варианты. Если определитель матрицы этой системы не равен нулю, то искомая точка пересечения единственна и находится, например, по правилу Крамера. Если определитель матрицы этой системы равен нулю, что означает компланарность нормальных векторов к этим плоскостям, то система может быть несовместна (см., например, рис. 13.3)

Рис. 13.3

или иметь бесчисленное множество решений, когда эти три плоскости пересекаются по одной прямой(см. рис. 13.4).

Рис. 13.4

Лекция 14. Другие задачи о прямых и плоскостях

Рассмотрим несколько типичных задач получения уравнений прямых или плоскостей, обладающих заданными свойствами.

Задача 1. Составить уравнения прямой L,		проходящей через данную
точку M (x0 , y0,z0 )	перпендикулярно	к	данной плоскости

П : Ax + By +Cz + D = 0.

, ,

Рис. 14.1

Очевидно, что в качестве направляющего вектора прямой можно взять

						=			= {A,B,C}. Отсюда следует, что
нормальный вектор к плоскости, т.е. S						=		N	= {A,B,C}. Отсюда следует, что
уравнения искомой прямой имеют вид
	x − x0	=	y − y0	=	z − z0		.		(14.1)
		=		=			.		(14.1)
	A		B		C

Задача 2. Составить уравнение плоскости П , проходящей через данную точку M 1 (x1, y1, z1 ) перпендикулярно к данной прямойL

	x − x0	=	y − y0	=	z − z0	.
		=		=		.
	m		n		p
Очевидно (см. рис. 14.2), что в качестве нормального вектора плоско-

сти можно взять направляющий вектор прямой, т.е. N = s = { m,n, p}. От-
сюда следует, что уравнения искомой плоскости имеет вид
m(x − x1 )+ n(y − y1 )+ p(z − z1 ) = 0.							(14.2)

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20236.7 Mб010541.pdf
#
25.11.20236.7 Mб010542.pdf
#
25.11.20236.72 Mб010543.pdf
#
25.11.20236.74 Mб010544.pdf
#
25.11.20236.75 Mб110545.pdf
#
25.11.20236.76 Mб010546.pdf
#
25.11.20236.77 Mб010547.pdf
#
25.11.20236.8 Mб110548.pdf
#
25.11.20236.8 Mб010549.pdf
#
21.11.2023172.76 Кб01055.pdf
#
25.11.20236.83 Mб010550.pdf