9716

которого номера N , члены последовательности xn будут находиться в

ε-окрестности точки a , а члены последовательности yn будут находиться

вε -окрестности точки b , т.е.

что противоречит предположению xn ≤ yn .

Рис. 16.3

Заметим, что из строгого неравенства для членов последовательности следует, вообще говоря, нестрогое неравенство для их пределов: например,

числа π в его десятичном представлении. Предел этой последовательности

равен нулю так как

0 ≤ αn ≤ 9 , n n n

т.е. она заключена между двумя последовательностями, имеющими общий предел равный нулю.

3. Предел суммы (разности) двух сходящихся к конечным пределам последовательностей равен сумме (разности) их пределов

lim(x ± y ) = a ± b.

n→∞ n n

110

[Введите текст]

что и доказывает указанное свойство. Здесь мы применили замечательное неравенство

| x + y | ≤ | x | + | y |,

которое для любого числа слагаемых формулируется так: абсолютная ве-

личина суммы не превосходит суммы абсолютных величин слагаемых.

Докажем это неравенство для двух слагаемых. Сложив очевидные неравенства

− | x |≤ x ≤| x |

,

− | y |≤ y ≤ | y |

получим

−(| x | + | y |) ≤ x + y ≤| x | + | y |.

Это двойное неравенство эквивалентно доказываемому неравенству.

4. Предел произведения двух сходящихся к конечным пределам последовательностей равен произведению их пределов

lim xn yn = ab .

n→∞

Это свойство следует из неравенств

| xn yn − ab |=| xn yn + xnb − xnb − ab |=| xn ( yn − b) + b(xn − a) |≤

5. Предел частного двух сходящихся к конечным пределам последовательностей при условии, что предел делителя отличен от нуля, равен частному их пределов

111

[Введите текст]

Доказательство следует из следующей оценки разности

| xn - a | = | xnb - yna | = | xnb - ab + ab - yna | £

6. Неубывающая и ограниченная сверху последовательность имеет предел (см. рис.16.4). Невозрастающая и ограниченная снизу по-

следовательность имеет предел.

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

Рис. 16.4

Это свойство будем считать интуитивно ясным и поэтому ограничимся его геометрической иллюстрацией и простым примером. Например, по-

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.

Пусть последовательность xn ограничена, т.е. n | xn |< M , а yn → 0. Тогда неравенство

0 ≤| xn yn |≤ M | yn |→ 0 ,

и следствие из свойства 3 всё и доказывают.

112

[Введите текст]

16.2. Второй замечательный предел. Применим понятие предела последовательности для определения одного замечательного числа. Рассмотрим последовательность

Непосредственные вычисления нескольких первых членов последовательности показывают их рост с увеличением номера:

рациональным, но настолько важным для математики и её приложений, что получил собственное имя

e ≈ 2.718281828459045K

По традиции предел

Через год величина вклада с учетом начисленных процентов будет следующей:

Это формула сложных процентов, её название сложилось исторически, а в самой формуле нет ничего «сложного». Однако начисление процентов по этой формуле имеет определённые неудобства: начисление процентов по вкладу производится только в конце года. А если вкладчик потребует свой вклад через полгода или через месяц? Нужно чаще начислять проценты. Так, если проценты начислять ежеквартально, то в конце года величина вклада будет равна

Было замечено, что в этом случае вклад растёт быстрее. Рассмотрим упрощённый пример. Пусть начальный вклад равен 100 р. при 100% годовых. Если процентные деньги прибавлять один раз в конце года, то вклад превратится в 200 р. Если это делать поквартально, то в конце первого квартала вклад будет равен 100(1+0.25)=125 р., через полгода 125(1.25)=156.25 р., а в конце года ≈ 244.14 p . А если начисление процентов производить ещё чаще? Например, при ежедневном начислении процентов каждая денежная единица будет умножаться на величину

При непрерывном начислении процентов, т.е. при n → ∞ мы получаем

Таким образом, даже при таком «фантастическом» проценте (к =100%) в конце года вклад увеличится приблизительно в 2.7 раза.

ращение к его определению. Однако на этом пути возникают трудности, связанные с невозможностью непосредственного применения этих свойств. Поясним на примерах. Пусть требуется найти предел отношения двух последовательностей, сходящихся к бесконечности

n→∞ yn

114

[Введите текст]

Мы не можем непосредственно применить свойство о пределе частного двух последовательностей. Предварительно необходимо преобразовать это выражение к виду, допускающему применение указанных свойств. В связи

степенных функций, является деление того и другого на такую степень n , чтобы неопределенность исчезла. Например,

она появляется, когда нужно найти предел выражения xn yn , в котором последовательность xn →1 (но не тождественно равна 1!), а последователь-

115

[Введите текст]

Лекция 17. Предел функции. Непрерывность

17.1. Предел функции. Понятие предела функции служит для исследования функции в окрестностях точек, в которых непосредственное вычисление значения функции вызывает трудности, а также при больших значениях аргумента (в окрестности бесконечности). Интуитивно, предел функции – это определенное число (или бесконечность), к которому неограниченно приближается последовательность значений функции, когда последовательность значений аргумента стремится к некоторому числу или к бесконечности. Поэтому предел функции определим через уже изученное понятие предела последовательности.

Пределом функции y = f (x) , когда x стремится к x0 , называется число A, если для любой последовательности значений аргумента {xn } , сходящейся к x0 , последовательность соответствующих значений функции yn = f (xn ) стремится к A. Это определение как частный случай включает в себя возможность каждому из чисел x0 и A быть бесконечностью.

Согласно определению для вычисления предела функции требуется найти предел последовательности

lim f ( x ) ,

n→ ∞ n

f ( xn ( 2 ) ) сходятся к разным пределам (включая случай, когда один из них не существует), то функция не имеет предела в данной точке. Например,

лучим

117

[Введите текст]

нуля). Эти свойства используются для раскрытия неопределенностей при нахождении предела функции аналогично тому, как это делалось при нахождении пределов последовательностей.

17.2. Первый замечательный предел. Продемонстрируем в качест-

ве примера нахождение так называемого первого замечательного преде-

ла

то значение аргумента x , измеряемое в радианах, будем считать положительным и малым. Рассмотрим часть дуги окружности AFC единичного радиуса.

x

графическую иллюстрацию (см. рис. 17.3). Применим это неравенство для оценки площади прямоугольника ABCD

119