9716

[Введите текст]

а также формулы, выражающие правила дифференцирования:

19.6. Производные высших порядков. Выше речь шла о понятии производной или первой производной функции. Производные высших порядков определяются по индукции.

скорость, а s′′(t) – ускорение в момент времени t .

Если функция задана явно, то вычисление ее высших производных сводится к повторному дифференцированию. Если функция y задана не-

явно F ( x, y ) = 0 , то для отыскания её n -ой производной нужно соответст-

вующее число раз продифференцировать определяющее ее уравнение, помня, что y и все её производные есть функции независимой переменной x . Например,

x2 + y2 =1 2x + 2 yy′ = 0 y′ = − x .

[Введите текст]

Аналогично можно найти производные более высоких порядков.

141

[Введите текст]

Лекция 20. Вектор-функция

20.1. Вектор-функция и её задание. К понятию вектор-функции

или векторной функции скалярного аргумента мы приходим, изучая переменный вектор. С переменным вектором мы уже имели дело, когда записывали уравнение прямой в пространстве в векторной форме (см. рис. 20.1)

z

переменного t . Поэтому естественно следующее определение вектор-

функции: если каждому значению вещественного переменного t из не-

которого промежутка по определённому закону поставлен в соответствие вектор

R = + +

r (t) x(t)i y(t) j z(t)k ,

z = z(t),

142

[Введите текст]

Таким образом, задание вектор-функции эквивалентно заданию трёх скалярных функций, являющихся координатами её радиус-вектора. Название

– годограф происходит от греческих слов hodos – путь и grapho – пишу. Началом всех векторов для построения годографа может служить любая фиксированная точка плоскости.

20.2. Предел, непрерывность и производная вектор-функции. По-

нятия предела, непрерывности и производной вектор-функции введём «покоординатно», а именно: вектор-функция

R = + +

r (t) x(t)i y(t) j z(t)k

в некоторой точке t0 имеет предел, непрерывна, дифференцируема, если соответственно имеют предел, непрерывны и дифференцируемы в этой точке функции x(t), y(t), z(t) . При этом полагают

ся к нулю. В математической символике это определение записывается известным образом:

Геометрический смысл производной векторной функции скалярного аргумента близок к геометрическому смыслу производной числовой функции. Будем предполагать, что годограф вектор-функции в точке

M 0 (x0 , y0 , z0 ) = M 0 (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 ))

имеет касательную, определяемую как предельное положение секущей M0M . Направление движения точки соответствующее возрастанию параметра t обозначим на рисунке стрелкой (см. рис. 20.2). Рассмотрим два

[Введите текст]

мента t0 , а в случае t < 0 в противоположном направлении. Вектор же

r будучи коллинеарным вектору r в любом случае будет направлен t

вдоль секущей в сторону, соответствующую возрастанию параметра t . Поскольку секущая при t →0 примет положение касательной к годографу, то вектор

будет касательным вектором к годографу в данной точке. Итак, производная вектор-функции в данной точке – это вектор касательный к её годографу и направленный в сторону возрастания параметра.

Рис. 20.2

Пример. Годограф вектор-функции

R = - × + - × r (t ) (t sin t ) i (1 cos t ) j

это циклоида, т.е. траектория фиксированной точки окружности единичного радиуса, катящейся по оси Ox без скольжения. Пусть t – время и окружность делает полный оборот за 2π секунд. Тогда вектор-функция

R = - × + - × r (t ) (t sin t ) i (1 cos t ) j

задаёт не только траекторию движения точки, но и закон движения.

На рис. 20.3 в точках траектории через каждые 2π/10 сек. построены векторы скорости точки

[Введите текст]

Самая большая скорость точки будет в момент времени t = π. Построен также годограф скорости точки. В одной из точек построен вектор ускорения. Это вектор касательный к годографу скорости в соответствующей точке.

2.5

2

1.5

1

0.5

0

z = z(t),

и имеет в рассматриваемой точке M 0 (x0 , y0 , z0 ) = M 0 (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) касательную. Это значит, что у вектор-функции

R = + +

r (t) x(t)i y(t) j z(t)k

существует производная в этой точке

N (u, v, w)

R′

r (t0 )

M 0

K ( X ,Y , Z )

M (x, y, z)

Рис. 20.4

У нас есть все данные, чтобы написать уравнения касательной, например в

канонической форме

X − x0 = Y − x0 = Z − x0 . x¢(t0 ) y¢(t0 ) z¢(t0 )

Соответственно, уравнение нормальной плоскости будет иметь вид

x′(t0 )(u − x0 ) + y′(t0 )(v − x0 ) + z′(t0 )(w − x0 ) = 0

Пример. Написать уравнения касательной к кривой

[Введите текст]

r′(t0 ) = r′(π / 2) = { − 1, 0, 0.5}

2x + z − π = 0

Уравнение нормальной плоскости

−1(x − 0) + 0( y −1) + 0.5(z − π/ 4) = 0

или 8 x − 4 z + π = 0 (см. рис. 20.5)

Рис. 20.5

147

[Введите текст]

Лекция 21. Дифференциал

21.1. Дифференциал. Прежде, чем ввести понятие дифференциала, рассмотрим следующую задачу: пусть скорость велосипедиста в данный момент

Какое расстояние он проедет за следующие 30 секунд? Ответ, очевидно, не однозначный:

1) если он продолжает двигаться с той же скоростью, то пройденный путь

DS = v0 × Dt =100 м;

2)если он «ускорился» (или движется под гору), то расстояние

S> 100 м;

3)если устал (или движется в гору), то пройденное им расстояние

S< 100 м.

Самый реальный прогноз (лучше иметь какую-то информацию, чем неопределённость)

S = v0 t = S′(t0 ) t ,

причём этот прогноз тем точнее, чем меньше промежуток времени пример, за время t = 3cek. велосипедист проедет расстояние

и эта величина «почти» точная, даже если велосипедист сознательно начнёт менять скорость своего движения.

Теперь рассмотрим математическую задачу. Пусть задана некоторая

[Введите текст]

можно сделать, если данная функция дифференцируема в точке x0 . Дей-

Первое из них называют дифференциалом функции в данной точке и

обозначают символом

dy = f ′(x0 ) x .

Ввиду важности этого понятия, только что определённого кратко с помощью формулы (21.1), приведём его словесную формулировку, акцентирующую внимание на наиболее характерных свойствах дифференциала.

Дифференциалом функции в данной точке называется главная часть приращения функции в этой точке, линейная относительно приращения независимой переменной x .

Второе слагаемое (заметим, что оно может быть любого знака) представляет собой бесконечно малую величину более высокого порядка, чем

149