9716

Как найти координаты точки пересечения прямых? Проведём через каждую прямую плоскость, проецирующую эту прямую на какую-нибудь из координатных плоскостей. Например, рассмотрим плоскости, проецирующие эти прямые на плоскость xOy . Пересечение этих плоскостей – это прямая, перпендикулярная плоскости xOy . Координаты точки пересечения этой прямой с плоскостью xOy совпадают с соответствующими координатами точки пересечения данных прямых (см. рис. 12.7).

L1

M 0

y

Рис.12.7

Нахождение координат точки (x0 , y0 ) сводится к решению системы

90

[Введите текст]

а третья координата может быть найдена из уравнения прямой L1 или L2 . Пример. Доказать, что прямые

пересекаются и найти координаты точки их пересечения M 0 (x0 , y0 , z0 ) Про-

веряем компланарность тройки векторов S1 = {3, −6, 2}, S2 = {4, −12,3} и

M1M2 = {0,12,−1}, вычисляя определитель:

Следовательно, эти прямые пересекаются. Координаты точки пересечения находим, решая, например, систему

Её решение x0 = 7, y0 = −20 . Из уравнения, допустим, первой прямой найдем третью координатуz0 = 3 . Итак, точка пересечения этих прямых

M 0 (7, −20,3).

12.4. Расстояние между двумя прямыми. Случай параллельных прямых мы рассматривали в п.12.2. Поэтому пусть прямые скрещивающиеся, следовательно, расположены в параллельных плоскостях (см. рис. 12.8), расстояние между которыми и будет искомым расстоянием между прямыми.

91

[Введите текст]

Рис.12.8

Пусть прямые заданы каноническими уравнениями

92

[Введите текст]

Лекция 13. Взаимное расположение прямых и плоскостей

13.1. Угол между прямыми в пространстве. Пусть заданы две пря-

мые L1 и L2 своими каноническими уравнениями

между ними полагают равным нулю. Параллельные прямые, очевидно, принадлежат одной плоскости.

Под углом между пересекающимися прямыми будем понимать угол

параллельными (см. рис.13.1).

S2

S2

ϕ

S1

Рис. 13.1

93

N L L N

ϕS

[Введите текст]

В частности, условие перпендикулярности и условие параллельности прямой и плоскости имеют вид

В последнем случае, если дополнительно выполняется равенство

Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 ,

которое означает, что точка (x0 , y0 , z0 ) прямой L принадлежит плоскости П , то прямая лежит в этой плоскости. Таким образом, принадлежность прямой, заданной каноническими уравнениями (13.2), плоскости П : Ax + By + Cz + D = 0 определяется выполнением условий

{Am + Bn + Cp = 0

Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 .

Если прямая L задана как линия пересечения двух плоскостей

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0

A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 ,

то ее направляющий вектор может быть получен как векторное произведение нормальных векторов этих плоскостей (см. рис. 12.3), т.е.

S= N1 ´ N2 ,

изадача нахождения угла между прямой и плоскостью сводится к преды-

дущей. В этом случае

канонических уравнений прямой к параметрическим

95

Найдем значение параметра t1 , при котором соответствующая точка прямой принадлежит плоскости, т.е. удовлетворяет уравнению

A(mt + x0 ) + B (nt + y0 ) + C ( pt + z0 ) + D = 0

или, что тоже,

Если Am + Bn + Cp = 0 и Ax0 + By0 + Cz0 + D ¹ 0 , то это уравнение не имеет решений. Эти условия соответствуют тому, как мы выяснили выше, что прямая и плоскость параллельны и, следовательно, не пересекаются. Если Am + Bn + Cp = 0 и Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 , то уравнение (13.2) имеет бесчисленное множество решений, т.е. прямая принадлежит плоскости. И, наконец, если Am + Bn + Cp ¹ 0 , то

Подставим это значение в параметрические уравнения прямой и найдем x1, y1, z1 – координаты точки пересечения прямой L с плоскостью П .

Если прямая L задана как линия пересечения двух плоскостей

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0

A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 ,

а плоскость задана уравнением Ax + By + Cz + D = 0 , то координаты точки их пересечения находим, решая следующую систему трех линейных уравнений:

Здесь возможны варианты. Если определитель матрицы этой системы не равен нулю, то искомая точка пересечения единственна и находится, например, по правилу Крамера. Если определитель матрицы этой системы

96

[Введите текст]

равен нулю, что означает компланарность нормальных векторов к этим плоскостям, то система может быть несовместна (см., например, рис. 13.3)

Рис. 13.3

или иметь бесчисленное множество решений, когда эти три плоскости пересекаются по одной прямой (см. рис. 13.4).

Рис. 13.4

97

[Введите текст]

Лекция 14. Другие задачи о прямых и плоскостях

Рассмотрим несколько типичных задач получения уравнений прямых или плоскостей, обладающих заданными свойствами.

2 >, , ?

0 0 0 0

L

Рис. 14.1

Очевидно, что в качестве направляющего вектора прямой можно взять нормальный вектор к плоскости, т.е. S = N = {A, B,C}. Отсюда следует, что уравнения искомой прямой имеют вид

Задача 2. Составить уравнение плоскости П , проходящей через данную точку M 1 ( x1 , y1 , z1 ) перпендикулярно к данной прямой L

98

[Введите текст]

M 0 (x0 , y0 , z0 )

M 1 ( x1 , y1 , z1 )

Рис. 14.2

Задача 3. Найти проекцию точки M 0 (x0 , y0 , z0 ) на плоскость

П : Ax + By + Cz + D = 0 .

Напомним, что проекцией точки M0 на плоскость называют основание перпендикуляра M1 , опущенного из этой точки на плоскость (см. рис.14.3). Очевидно, что эта проекция будет точкой пересечения плоскости П и прямой (14.1), проходящей через точку M0 перпендикулярно к этой плоскости.

N = { A, B,C }

M 0 (x0 , y0 , z0 )

M 1 ( x1 , y1 , z1 )