Часть 1 Основы теплопередачи

++

Полученная нами в общем виде система дифференциальных уравнений описывает множество решений, поскольку дифференциальные уравнения учитывают лишь наиболее общие черты процессов и не учитывают индивидуальные особенности каждого процесса. Для однозначного решения этой системы необходимо к ней добавить условия, определяющие индивидуальные особенности данного процесса. Такие условия получили название условий однозначности, или крае-

вых условий.

Условия однозначности включают в себя: геометрические, физические, начальные и граничные условия.

Геометрические условия, характеризуют форму и размеры поверхности твердого тела, участвующего в процессе теплоотдачи. Например: процесс теплоотдачи протекает в трубе, которая круглая, прямолинейная, с внутренним диаметром d и длиной l (рис. 2.11).

Рис. 2.11

Физические условия характеризуют физические свойства среды, участвующей в процессе теплоотдачи. Например, в процессе теплоотдачи средой является вода, которая несжимаема ( ) В этих условиях должны быть заданы законы изменения коэффициента кинематической вязкости ν и коэффициента теплопроводности λ от температуры t: ( ) ( ).

Начальные условия определяют поведение процесса в начальный момент времени, например в процессах нагревания и охлаждения. В начальный момент должны быть заданы начальные распределе-

- 63 -

ния W и t при входе жидкости в канал. Для стационарных задач начальные условия теряют смысл.

Граничные условия характеризуют граничные значения искомых переменных или их производных. Так, условием протекания процесса теплоотдачи на границе стенка – жидкость является задание температуры стенки в зависимости от координат пространства для каждого момента времени или задание скоростей на входе в трубу. Задание таких распределений затруднено, так как оно связано с процессами, протекающими по другую сторону стенки.

Система дифференциальных уравнений совместно с записанными для конкретной задачи условиями однозначности составляет математическое описание процесса.

Аналитический путь решения полученной нами в общем виде системы дифференциальных уравнений с записанными условиями однозначности связан со строгим решением этой системы уравнений. Однако строгое решение этой системы наталкивается на серьезные трудности, так как не решается система дифференциальных уравнений трехмерного течения Навье-Стокса без ее упрощения.

Физический анализ процессов конвективного теплообмена позволяет в ряде случаев существенно упростить математическое описание процесса без внесения существенных погрешностей в результат решения. Так, введение понятия пограничного слоя позволяет существенно упростить исходную систему уравнений и тем самым получить строгое решение данной системы.

Однако использование упрощений ввиду чрезвычайной сложности процесса не всегда отвечает действительным условиям его протекания. Поэтому большое значение приобретает экспериментальный путь исследования. Достоверность этого метода бесспорна, однако суждение на основе полученных данных о свойствах какого-либо другого физического процесса не является закономерным, так как каждое экспериментальное исследование имеет частный характер получаемых результатов, присущих лишь данному процессу, невозможность научных обобщений и теоретических прогнозов. Поэтому каждое экспериментальное исследование должно опираться на научно-обоснованный метод обобщения, позволяющий данные единичного опыта использовать для расчета других родственных процессов. Таким методом является разработанный академиком М.В. Кирпичовым метод, который носит название теории подобия. Метод разработан применительно для тепловых процессов.

- 64 -

Теория подобия – метод получения решения на основе подробного экспериментального исследования физического процесса на модели, подобного рассматриваемому процессу, и перенесение его количественных характеристик с модели на рассматриваемый процесс.

Несмотря на имеющиеся успехи, достигнутые в рамках такого подхода, возможности этого метода ограничены необходимостью выдерживания условий кинематического, динамического, теплового и геометрического подобия, поэтому применимы для ограниченного числа систем. Дальнейшая разработка этого метода совместно с академиком М.А. Михеевым привела к созданию метода приближенного подобия тепловых процессов (моделирование тепловых устройств).

2.2.5. Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена для пограничного слоя

Допустим, что мы имеем случай стационарной теплоотдачи при вынужденном продольном омывании плоской поверхности твердого тела безграничным в направлении оси 0Z потоком жидкости с постоянными физическими свойствами. Рассмотрим возможности упрощения исходной системы дифференциальных уравнений, полученной нами в общем виде.

Дифференциальное уравнение энергии. Так как рассматрива-

- 65 -

и дифференциальное уравнение энергии для пограничного слоя запишется:

+

Дифференциальное уравнение вынужденного движения при наличии свободного движения. Для проекций сил на ось 0X

(так как процесс стационарный). Принимая во внимание, что поток безграничен в направлении оси 0Z

→

где ρ t – объемная подъемная сила, возникающая в жидкости при наличии в ней разности температур. Размерность этой силы составит:

Оценка порядка членов дифференциального уравнения движения для проекций сил на ось Y позволяет сделать вывод, что эти члены существенно меньше соответствующих членов дифференциального уравнения движения для проекций сил на ось X, поэтому для пограничного слоя дифференциальное уравнение движения для проекций сил на ось Y можно опустить.

Дифференциальное уравнение теплоотдачи

(2.8)

сж

-66 -

Дифференциальное уравнение неразрывности

2.3. Теория подобия

Термин «подобие» заимствован из геометрии. Прежде чем говорить об условиях подобия физических процессов, вспомним некоторые свойства геометрического подобия. Допустим, что мы имеем два подобных треугольника (рис. 2.12). В подобных треугольниках отношения сходственных сторон равны:

Эти отношения носят название константы подобия

Константы подобия – это постоянные величины для однородных геометрических (физических) величин, однако при переходе к новым подобным системам числовое значение константы подобия меняется.

Допустим, имеем третий треугольник (рис. 2.13), подобный первым двум. Тогда

=Idem/Inv.

Здесь Inv обозначает «одинаковы» (лат.), Idem – «одно и то же» (лат.). Инварианты подобия (Inv) – это относительные геометрические (физические) величины, которые неодинаковы для различных элементов данной системы, но одинаковы для сходственных геометрических (физических) элементов любых подобных систем. Основное свойство

– их неизменность при подобном преобразовании систем. В качестве примера inv геометрического подобия можно привести число , все тригонометрические функции.

Рассмотренные свойства геометрического подобия могут быть распространены и на физические процессы, при этом различают следующие частные формы физического подобия:

условием кинематического подобия является геометрическое подобие.

ственных точках. В качестве масштабных значений скоростей может быть выбрана скорость движения во внешнем потоке.

Условие кинематического подобия для двух процессов:

( ) ( )

где W – инвариант кинематического подобия.

2. Динамическое подобие – подобие полей, действующих в системах сил. Определяется следующим требованием: в геометрически сходственных точках, то есть в точках, подобно расположенных, относительные значения действующих в системах сил по величине и

- 68 -

2.3.1. Приведение системы дифференциальных уравнений, описывающих подобные процессы для пограничного слоя к безразмерной форме записи

(метод масштабных преобразований)

Допустим, что мы имеем два подобных стационарных процесса конвективного теплообмена с постоянными физическими свойствами. Пусть это будут процессы теплоотдачи при продольном обтекании поверхности твердого тела безграничным в направлении оси 0Z потоком жидкости, при этом будем считать, что скорость W0 и температура tж во внешнем потоке постоянны.

Выберем новое начало отсчета температуры, в качестве которой возьмем температуру жидкости вдали от стенки:

ж, ж

Заметим, что

ж

Для определенности будем считать, что это процессы нагревания жидкости: ж Обозначим величины, характеризующие первый процесс, одним штрихом ( ' ):

… …

Аналогично запишем величины, характеризующие второй процесс, обозначая их двумя штрихами ( '' ).

Запишем исходную систему дифференциальных уравнений для пограничного слоя для первого процесса с учетом принятых нами обозначений. Уравнение теплоотдачи запишется в виде

+

Запишем исходную систему дифференциальных уравнений для пограничного слоя для второго процесса, подобно первому, обозначая величины двумя штрихами ( '' ), и потребуем их тождественности.

Выполним запись уравнений теплоотдачи и энергии в относительных величинах. Для этого сформулируем условия теплового, кинематического и геометрического подобия. Дифференциальные уравнения движения в относительных величинах для двух процессов будут записаны без вывода с использованием той же методики. Для записи дифференциальных уравнений теплоотдачи и энергии в относительных величинах необходимо записать условия теплового, геометрического и кинематического подобия. Для этого, в свою очередь, необходимо выбрать масштабы приведения.

где – инвариант теплового подобия. Перепишем эти условия в виде:

Текущие значения температур могут быть выражены через их масштабные значения и инвариант теплового подобия.

Условие кинематического подобия

Перепишем в виде

Условие геометрического подобия:

Запишем дифференциальные уравнения теплоотдачи для первого процесса в относительных величинах с учетом принятых нами обозначений:

Дифференциальные уравнения теплоотдачи для первого процесса

(2.10а)

Дифференциальные уравнения теплоотдачи для второго процесса:

(2.10б)

Правые части этих уравнений представляют собой инвариантные производные. Потребуем тождественности дифференциальных уравнений теплоотдачи для первого и второго процессов, записанных в относительных величинах. Для этого должны быть равны левые части уравнений:

где Nu – число Нуссельта. Для раскрытия его физического смысла запишем его в виде

В числителе получим плотность теплового потока в процессе теплоотдачи, передаваемого через слой жидкости у стенки, согласно уравнению Ньютона – Рихмана, в знаменателе – плотность теплового потока, передаваемого через слой жидкости у стенки, согласно уравнению Фурье.

Число Nu определяет соотношение между плотностями тепловых потоков, предаваемых через слой жидкости у стенки путем теплоотдачи и теплопроводности. Число Нуссельта (Nu) характеризует теплоотдачу на границе «стенка – жидкость».

- 72 -