Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Часть 1 Основы теплопередачи

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

2.96 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

grad t		t	cos(n,x )	t
	x	n		x

;

cos(n,x )	n	n	.
	x	x

Коэффициент теплопроводности λ характеризует способность тел проводить теплоту, его величина характеризует количество теплоты, которое проходит в единицу времени через единицу площади поверхности при температурном grad = 1. Коэффициент теплопроводности, как правило, определяется опытным путем и зависит от температуры и давления:

=	\|q \|
	grad	t

,Вт/(м∙К).

(1.6)

Таблица. 1.1

Ориентировочные значения λ различных веществ при t=20 °C

Вещество		λ Вт/(м К)
Воздух		0,025
Вода		0,6
	Твердые материалы
Асбест		0,11 – 0,3
Кирпич		0,8
Пенопласт		0,05
Стекловата		0,047
	Металлы
Углеродистая сталь		45 – 60
Медь		390

Количество теплоты, проходящее через единицу площади поверхности в единицу времени, называют плотностью теплового потока:

Вт

(1.7)

Плотность теплового потока есть вектор, положительное направление которого указывает в сторону уменьшения температуры (рис. 1.1). Тогда основной закон теплопроводности может быть записан в виде

(1.8)

- 13 -

Направления grad t и q противоположны, этим объясняется знак «–» в законе Фурье.

Для подсчета q в любой точке тела необходимо знать значение grad t = ∂t/∂n. Температурное поле внутри тела может быть определено в общем случае для конкретной задачи лишь путем решения дифференциального уравнения теплопроводности.

1.3. Дифференциальное уравнение теплопроводности

Для упрощения вывода сделаем следующие допущения: будем считать, что тело однородно и изотропно. Его физические параметры, например λ= const, P = const ρ const, не зависят от температуры. Пренебрежем также деформацией объема вследствие переноса теплоты, так как она мала по сравнению с самим объемом. Вывод дифференциального уравнения теплопроводности основан на применении закона сохранения энергии, который применительно к данному случаю может быть сформулирован следующим образом: количество теплоты dQ, введенное в элементарный объем dV за промежуток времени dτ, вследствие теплопроводности идет на изменение внутренней энергии вещества dU, содержащегося в данном объеме:

dQ =dU=ρCV	t	dVdτ ,кДж, (1.9)

где ρ – плотность, кг/м³; CV, – теплоемкость при постоянном объеме,

кДж/(кг∙К);	t	, К/с; dV, м³; τ, с.
кДж/(кг∙К);		, К/с; dV, м³; τ, с.

Выделим в теле элементарный объем (рис.1.2). Обозначим через dQx, dQy и dQz количества теплоты, которые подводятся к граням элементарного объема в направлении осей 0X, 0Y, 0Z. Обозначим также через dQx+dx, dQy+dy и dQz+dz количества теплоты, которые отводятся от противоположных граней элементар-

Рис. 1.2 ного объема в направлении тех же осей.

- 14 -

Подсчитаем dQx = qxdydzdτ (dydz = dF), где qx – проекция вектора плотности теплового потока на ось 0X:

dQx+dx = qx+dxdydzdτ.

Подсчитаем избыток теплоты в направлении оси 0X и всех остальных осей:

dQx– dQx+dx = (qx– qx+dx) dydzdτ = …

Для получения этого избытка теплоты функцию (qx+dx) разложим в ряд Тейлора с точностью до второго члена ряда:

qx+dx= qx+

q		x

	x

 

dx+…

и подставим значение функции qx+dx в избыток теплоты. Получим

dQ	x

dQ	x dx

dydzd

dVd

где dxdydz = dV.

По аналогии

dVd

;dQ

dVd .

y dy

z dz

Согласно закону сохранения энергии этот избыток Q идет на изменение внутренней энергии вещества, содержащегося в данном объеме:

q		x	q	y	q	z
dQ							dVd
	x		y		z

C		t	dVd
	v

Тогда

По закону Фурье

q	x	q	n	cos(n,X
	x		n

)

t	cosn,X ;	t	cos(n,X )	t	.
n		n		x

- 15 -

q			t	t
				2
	y
y				y	2
					2
		y	y

C	v

где a – физический параметр вещества, характеризующий скорость изменения температуры в нестационарных процессах, который был назван коэффициентом температуропроводности. Это мера теплоинерционных свойств тела. Чем больше значение а, тем больше скорость изменения температуры в теле и тем меньше тепловая инерционность тела. Наивысшее значение для а характерно для металлов. Размерность коэффициента температуропроводности:

	3	кг К		2
а	Вт м	кг К	=	м	,
а			=		,
	м К кг Дж			с
	м К кг Дж			с

тогда

t	2
	а t ,

2 оператор Лапласа.

(1.10)

Дифференциальное уравнение теплопроводности устанавливает связь между пространственным и временным изменением температуры. Рассмотрим применение дифференциального уравнения теплопроводности для решения некоторых практических задач теплопроводности.

- 16 -

Рис. 1.3

1.4. Применение дифференциального уравнения теплопроводности для решения практических задач 1.4.1. Теплопроводность плоской однослойной стенки при стационарном режиме

Сформулируем задачу. При этом будем считать, что два размера стенки, например, в направлении осей Y и Z являются существенно бóльшими по сравнению с ее толщиной (рис. 1.3), и поэтому

2t 0;

у 2

Тогда

t
2
z	2

	t	0.
		0.

t=f(x). (1.11)

При стационарном режиме на поверхностях стенки установились во времени тем-

пературы tc1 и tc2.

Для получение формулы для плотности теплового потока необходимо решить дифференциальное уравнение теплопроводности для сформулированной нами

задачи, чтобы получить закон изменения температуры в данной стен-

ке. Поскольку t=f(X), то	2t	0	– и мы имеем дифференциальное
	x 2

уравнение теплопроводности для стационарной одномерной задачи. Первое интегрирование дает

	t	C .
	x
		1

Второе интегрирование дает закон изменения температуры в такой стенке: t = C1X+C2. Это уравнение прямой. Значит, в плоской стенке температура меняется по линейному закону и не зависит от свойств материала.

Запишем граничные условия:

1. X=0, t=tc1=C2;

- 17 -

2. X= ,t=tc2=C1∙ +tс1.Отсюда

c 2

c 1

Запишем закон Фурье:

Вт

c 2

c 1

c 2

где

– тепловая проводимость плоской однослойной стенки. Отсюда

плотность теплового потока:

c 1

c 2

где – термическое сопротивление теплопроводности плоской одно-

слойной стенки.

Если известна площадь поверхности, через которую передается

теплота, то
			t
Q = qF=	t	c 1	t	c 2
		c 1		c 2	, Вт.
					, Вт.

Площадь теплового потока пропорциональна температурному напору на поверхности плоской стенки tc1 – tc2 и обратно пропорциональна термическому сопротивлению.

1.4.2. Теплопроводность плоской многослойной стенки

Допустим, что плоская стенка состоит из n разнородных слоев толщиной 1, 2… n с коэффициентами теплопроводности λ1, λ2…. λn (рис. 1.4). Слои такой стенки плотно прилегают друг к другу, поэтому температура на соприкасающихся поверхностях одна и та же.

При стационарном режиме в стенке установились во времени температуры tc1,tc2,tc3,tcn,tc(n+1). Тогда для первого слоя

- 18 -

			t
q	t	c 1	t		c 2	.
		c 1			c 2

				1
				1
				1
При		стацио-
нарном режиме				чис-

ленно то же значение плотности теплового

потока для					второго
слоя:
			t
q	t	c 2	t		c 3	.
		c 2			c 3

				2
				2
				2

Рис. 1.4

Докажем, что это так.

Для этого используем промежуточное выражение дифференциального уравнения теплопроводности


	(	+	+		)
	(	+	+		)
Это объясняется тем, что при стационарном режиме				t		0	,
						0

(1.12)

1	0	.
	0

	v
	v

Тогда

, qx

= const. Для n-го слоя значение плотности теплово-

го потока составит

c (n 1)

Записанные исходные соотношения переписываем каждое относительно температурного напора и складываем:

- 19 -

					1	2		n
t		t		q	1	2	.....	n	.
t	c 1	t	c (n 1)	q			.....		.
	c 1		c (n 1)
					1	2		n

Тогда

	t	c 1	t	c (n 1)			Вт
q		c 1		c (n 1)		,	Вт		.
q			n			,	м	2	.
			n				м	2
					i
					i
			i 1		i

Последнее соотношение может быть переписано в виде

( ( ))

	Вт	(1.13)
∑	Вт

Заметим, что знаменатель представляет собой сумму термических сопротивлений многослойной плоской стенки. Его величина не меняется от перестановки слоев многослойной стенки, и поэтому не изменяется плотность теплового потока и сам тепловой поток.

1.4.3. Теплопроводность однослойной цилиндрической стенки

Задача решается в цилиндрических координатах (рис. 1.6). При этом уравнение температурного поля в общем виде запишется:

t=f (τ,r,φ,z)

(1.14)

Переход от полярных (рис. 1.5) к цилиндрическим координатам приводит к дифференциальному уравнению теплопроводности в общем виде

1 t

r r

Сформулируем

задачу.

	Пусть l >> r2 – r1, тогда	2t	0.
Рис. 1.5		z 2

- 20 -

Будем считать, что температура в цилиндрической стенке не меняется по окружности цилиндра, поэтому

2	t
2
	2	0	,	а также
			,	а также

t	0	(так как ста-
	0

ционарный режим). Тогда дифференциальное уравнение для сформулированной нами задачи запишется в виде

2		1 dt
d	t		0.
r	2	r dr

Введем новую переменную u:

Рис. 1.6

Разделим переменные:

dt	u
dr	u
dr
du		dr
u		r
u		r

du	u	0.
dr	r	0.
dr	r
0

и проинтегрируем: lnu+lnr = const				1. Перепишем последнее выра-
жение в виде u∙r = 1'. Подставим значение u:
dt	dt	C1 '
dr r	1 ', dr		.
		r

Разделим переменные: dt 1 'drr .

Проинтегрируем:

t= 1'∙lnr + 2.

- 21 -

lnd2 d1

В цилиндрической стенке температура изменяется по логарифмическому закону и не зависит от свойств материала.

	Применим граничные условия:
1.	r=r1 то t=tc1= 1'∙lnr1 +	2 ;
2.	r=r2,то tc2 = 1'∙lnr2 +	2.

Из выражения 2 вычтем выражение 1 и получим

t		t		C 'ln	r	,
t		t		C 'ln	2	,
					2
	c 2		c 1	1	r
					r
					1

1 ' tc 2 tc 1 .

Применим закон Фурье:

	dt	F
	dr	F
	dr

где F – площадь боковой поверхности цилиндра.

Тогда тепловой поток через цилиндрическую стенку запишется

Q	1	'	2 r							'2 .
	1
	r								1
									1

Подставим значение 1' :
Q	(t			c 1	t		c 2	)	,Вт
Q									,Вт

			1	ln		d	2
				ln

		2				d	1
							1

где

1	ln	d
2		d

2 1

представляет собой линейное термическое сопротивле-

ние теплопроводности однослойной цилиндрической стенки.

Часто тепловой поток через цилиндрическую стенку относят к

единице трубы , тогда
q	Q	, Вт/м,

где qℓ - линейная плотность теплового потока.

c 1

c 2

)

Вт

(1.15)

- 22 -

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.2025338.43 Кб12худ.мат урок 2-3.doc
#
13.07.2019999.8 Кб85цели Организации и их классификация.rtf
#
12.03.201539.4 Кб24Ценообразование.docx
#
21.04.2019704.51 Кб44цил.зубч.передачи.doc
#
01.05.202584.99 Кб2ЦО лекции сокращенные.docx
#
12.03.20152.96 Mб80Часть 1 Основы теплопередачи.pdf
#
01.07.2025153.26 Кб2часть 2 Введение Обоснованный выбор материалов.docx
#
12.03.20154.51 Mб71Часть 2 Основы теплопередачи.pdf
#
15.09.2019152.06 Кб28ЧАСТЬ I.doc
#
01.07.20251.53 Mб5часть Абез ответов.docx
#
01.04.202562.01 Кб7Часть В (2).docx