Результаты

x1	2,064388	2,064388	2,064388	2,064429	2,064371
x2	-0,60251	-0,60251	-0,60251	-0,60252	-0,60251
x3	-0,82641	-0,82641	-0,82641	-0,82638	-0,82642
Методы	Обратной матрицы	Крамера	Гаусса	Простой итерации	Гаусса-Зейделя
				255	21

Выводы

Системы линейных алгебраических уравнений можно решать как с помощью прямых, так и итерационных методов. Для систем уравнений средней размерности чаще используют прямые методы.

Итерационные методы применяют главным образом для решения задач большой размерности, когда использование прямых методов невозможно из-за ограничений в доступной оперативной памяти ЭВМ или из-за необходимости выполнения чрезмерно большого числа арифметических операций.

В данной работе мы рассмотрели 5 методов решения линейных алгебраических уравнений: метод обратной матрицы, Крамера, Гаусса, простой итерации и Гаусса-Зейделя. Первые 3 метода составляют группу прямых методов. Это аналитические методы, в них отсутствует погрешность метода, но погрешность вычислений неизбежна. Тем не менее, методы обратной матрицы и Крамера достаточно просты в алгоритме, тем более нами было найдено решение трехмерной матрицы (небольшая размерность), значения неизвестных сошлись. Что касается метода Гаусса, алгоритм данного метода достаточно громоздкий. Каждая следующая формула вычисления коэффициентов при преобразовании матрицы содержит результат предыдущей формулы, а значит и ее ошибку при вычислении. Наибольшее влияние на эту ошибку оказывает величина знаменателя (коэффициенты главной диагонали) – она не должна быть равна 0 и малой по абсолютной величине. В нашем случае таких предпосылок нет, метод Гаусса был осуществлен с выбором главного элемента, что дает малые невязки.

Итерационные методы простых итераций и Гаусса-Зейделя – схожи (одинаковы условия). Но погрешность метода Гаусса-Зейделя задается, погрешность вычислений не накапливается. Т.к. в формулах присутствуют величины из исходных уравнений. Недостатком метода по сравнению с прямыми методами является наличие итераций. Чем больше число итераций, тем больше требуется времени. Для метода простых итераций число итераций составляет 255, что на 234 больше чем число итераций для метода Гаусса-Зейделя, следовательно, применение данного метода для решения нашего уравнения не выгодно.

Нужно обратить внимание, что наша матрица имеет небольшую размерность, то есть для нахождения неизвестных в нашем случае можно воспользоваться прямыми методами, в частности методами обратной матрицы или Крамера. Алгоритм данных методов достаточно прост, не нужен выбор главного элемента, занимает меньше времени для решения.

Список литературы

1. Лекции по численным методам доцента кафедры химической кибернетики КНИТУ Кошкиной Л.Ю.

2. Кошкина Л.Ю. и др. Вычислительная математика в среде Excel: Методические указания. Часть 2. / Казан. гос. технол. ун-т; Казань, 2003, с. 72

3. Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учебное пособие. – М.: Финансы и статистика, 2001.-256 с:ил.

4. Рено Н.Н. Численные методы. Учебное пособие / Казан. гос. технол. университет; Казань,2007, 112 с.

5. Турчак Л.И. Основы численных методов. - М.: Наука, 1987. – 318 с.

6. Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам на языке бейсик для персональных ЭВМ: Справочник. – М.: Наука.1989. –240 с.

7. Назаров С.В., Мельников П.П. Программирование на MS Visual Basic: Учебное пособие / Под ред. С.В. Назарова. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 320 с.: ил.