Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа

Имеем y_j = f ( x_j ), L_n(x). Многочлен L_n(x) построен так, что L_n( x_j ) = f ( x_j ).  Вычисляя погрешность R_n(x) таким образом: R_n(x) = f (x) - L_n(x), можно получить следующую формулу для оценки погрешности интерполяционной формулы Лагранжа: .  Такая оценка возможна только в том случае, когда известно аналитическое выражение для f. Если же f задана таблично, то производные заменяются конечными разностями.

Интерполяционные формулы Ньютона

• Первая интерполяционная формула Ньютона  Пусть y_i = f ( x_i ), x_i = x₀ + ih, i = 1, 2, :, n.  Нужно построить P_n(x), удовлетворяющий двум условиям:

1. Степень полинома не должна превышать n.

2. P_n( x_i ) = y_i.

Формула P_n(x) для первой интерполяционной формулы Ньютона имеет вид: ,  где q = ( x - x₀ ) / h.  Первая интерполяционная формула Ньютона применяется тогда, когда x находится вначале таблицы. Тогда в качестве x₀ следует брать ближайшее слева к заданному xтабличное значение.   

• Вторая интерполяционная формула Ньютона  Когда значение аргумента находится ближе к концу отрезка интерполяции, применять первую интерполяционную формулу становится невыгодно.  Для этого применяется вторая интерполяционная формула Ньютона: ,  где q = ( x - x_n ) / h.  Здесь в качестве x_n следует брать ближайшее справа к заданному x табличное значение.

Оценка погрешностей первой и второй интерполяционных формул Ньютона

Используя подстановки q = ( x - x₀ ) / h и q = ( x - x_n ) / h и заменяя соответствующим образом выражение для П_n+1(x) в формуле оценки погрешности интерполяционной формулы Лагранжа, получим формулы для оценки погрешности интерполирования по первой и второй интерполяционной формуле Ньютона соответственно:  ,  .

21.)

Отыскание параметров эмпирических формул . методом наименьших квадратов

При эмпирическом (экспериментальном) изучении функциональной зависимости одной величины У  от другой Х производят ряд измерений величины У при различных значениях величины Х. Полученные результаты можно представить в виде таблицы, графика: X X1 X2 … Xn Y Y1 Y2 … Yn Задача заключается в аналитическом представлении искомой функциональной зависимости, то есть в подборе функции, описывающей результаты эксперимента. Особенность задачи состоит в том, что наличие случайных ошибок измерений делает неразумным подбор такой формулы, которая точно описывала бы все опытные значения, то есть график искомой функции не должен проходить через все экспериментальные точки. Эмпирическую формулу обычно выбирают из формул определенного типа:   Таким образом, задача сводится к определению параметров A, B, C,… формулы, в то время как вид формулы известен заранее из каких-либо теоретических соображений или из соображения простоты аналитического представления эмпирического материала. Пусть выбранная эмпирическая зависимость имеет вид   С явным указанием всех параметров, подлежащих определению. Эти параметры А0, а1, а2,…, аN  нельзя определить точно по эмпирическим значениям функции Y0, y1, y2,…, yk, так как последние содержат случайные ошибки. Таким образом, речь может идти только о получении достаточно хороших оценок искомых параметров. Метод наименьших квадратов (МНК) позволяет получить несмещенные и состоятельные оценки всех параметров А0, а1, а2,…, аN.

Основная идея метода МНК(Постановка задачи)

Оценка параметров А0, а1, а2,…, аn определяется из условия минимума суммы квадратов отклонений измеренных значений Yk от расчетных F(Xk; а0, а1, а2,…, аn):

 

Отыскание же значений параметров А0, а1, а2,…, аN, которые доставляют Min значение функции

 (7.15)

Сводится к решению системы уравнений

 (7.16)

Наиболее распространен способ выбора функции F(Xk; а0, а1, а2,…, аn) в виде линейной комбинации:

 (7.17)

Здесь Базисные функции (известные); N << K; А0, а1, а2,…, аN – коэффициенты, определяемые методом наименьших квадратов. Запишем в явном виде условие (7.16), учитывая выражение (7.17):

 (7.18)

Из системы линейных уравнений (7.18) определяются все коэффициенты Ak. Система (7.18) называется системой нормальных уравнений, матрица которой имеет вид

 (7.19)

Здесь

 (7.20)

Матрица (7.19) называется матрицей Грама. Расширенную матрицу получим добавлением справа столбца свободных членов:

 (7.21),

Где (7.22)

Основные свойства матрицы Грама

1. Матрица симметрична относительно главной диагонали, то есть  .

2. Матрица является положительно определенной. Следовательно, при решении методом Гаусса можно воспользоваться схемой единственного деления.

3. Определитель матрицы будет отличен от нуля, если в качестве базиса выбраны линейно независимые функции ; в этом случае система (7.18) имеет единственное решение.

В качестве базисных можно выбрать линейно независимые степенные функции

 (7.23)

Следует учесть, что N << K. Тогда для этих функций расширенная матрица Грама примет вид

 (7.24)

Если выбрать N = K, то на основании единственности интерполяционного полинома получим функцию , совпадающую с каноническим интерполяционным полиномом степени K. При этом аппроксимирующая кривая пройдет через все экспериментальные точки, и функция S будет равна нулю.

22.)

Отыскание параметров эмпирических формул методом наименьших квадратов.

При эмпирическом (экспериментальном) изучении функциональной зависимости одной величины У  от другой Х производят ряд измерений величины У при различных значениях величины Х. Полученные результаты можно представить в виде таблицы, графика: X X1 X2 … Xn Y Y1 Y2 … Yn Задача заключается в аналитическом представлении искомой функциональной зависимости, то есть в подборе функции, описывающей результаты эксперимента. Особенность задачи состоит в том, что наличие случайных ошибок измерений делает неразумным подбор такой формулы, которая точно описывала бы все опытные значения, то есть график искомой функции не должен проходить через все экспериментальные точки. Эмпирическую формулу обычно выбирают из формул определенного типа:   Таким образом, задача сводится к определению параметров A, B, C,… формулы, в то время как вид формулы известен заранее из каких-либо теоретических соображений или из соображения простоты аналитического представления эмпирического материала. Пусть выбранная эмпирическая зависимость имеет вид   С явным указанием всех параметров, подлежащих определению. Эти параметры А0, а1, а2,…, аN  нельзя определить точно по эмпирическим значениям функции Y0, y1, y2,…, yk, так как последние содержат случайные ошибки. Таким образом, речь может идти только о получении достаточно хороших оценок искомых параметров. Метод наименьших квадратов (МНК) позволяет получить несмещенные и состоятельные оценки всех параметров А0, а1, а2,…, аN.

Метод наименьших квадратов для определения параметров функции g(x, a_1, а₂, ... , а_т)при аппроксимации линейной комбинацией линейно не­зависимых функций:

g(x, a_1, а₂, ... , а_т) = a₁φ₁(x) + a₂φ₂(x) +...+ a_mφ_m(x).(4.52)

Тогда условие имеет вид:

S(a₁,...,a_m) = . (4.53)

Минимум квадратичной функции существует; необхо­димым условием его существования является равенство нулю частных производных

, k = 1, ... ,m.(4.54)

Из (4.54) получим систему уравнений метода наимень­ших квадратов необходимого условия существования минимума:

 (4.55)

При линейной аппроксимирующей функции

g(x, а₀, а₁) = а₀ + а₁х (4.56)

система (4.55) имеет вид:

 

К регрессиям, нелинейным по переменным относят полиномы различных степеней.:  (1) , (2) равносторонняя гипербола , (3) функции вида (4) Нелинейность по переменным устраняется путем замены переменной. Так в регрессии (1) сделаем замену х=х₁, х²=х₂ и получим двухфакторную линейную регрессию. В уравнении (3) замена переменной имеет вид: , а в (4) - . Применение метода МНК для оценки коэффициентов соответствующих выборочной регрессии приводит к следующим системам уравнений. Для регрессии (!):  (5). Для равносторонней гиперболы система уравнений имеет вид:  (6) Для уравнения (4): (7)

23.)

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Уравнение, содержащее производные от искомой функции y = y(x), называется обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ).

Общий вид дифференциального уравнения:

(7.1)

где n – наивысший порядок производной, определяет порядок уравнения.

Решением ОДУ называется функция y = y(x), которая после ее подстановки в уравнение (7.1) обращает его в тождество.

Общее решение ОДУ имеет вид:

(7.2)

где C₁, C₂, …, C_n – постоянные интегрирования.

Задача Коши.Все условия заданы в одной,начальной точке, поэтому они называютсяначальными условиями.

Примеры постановки задачи Коши:

Краевая задача. Условия заданы в более чем одной точке, обычно в начальной и конечной. Условия в этом случае называются краевыми или граничными. Такая задача может возникнуть только при решении ОДУ с порядком выше первого.

Примеры краевых задач: