Алгоритм численного метода Гаусса:

1. Прямой ход.

а) Положить номер шага . Переобозначить все элементы расширенной матрицы через ;

б) Выбрать ведущий элемент одним из двух способов.

Первый способ (схема единственного деления). Выбрать в качестве ведущего элемента .

Второй способ (схема с выбором ведущего элемента). На k-м шаге сначала переставить оставшихся уравнений так, чтобы наибольший по модулю коэффициент при переменной попал на главную диагональ, а затем выбрать в качестве ведущего элемента .

в) каждый элемент строки, в которой находится ведущий элемент, поделить на него:

г) элементы строк, находящихся ниже строки с ведущим элементом, подсчитать по правилу прямоугольника, схематически показанного на рис. 10.1 (исключить элементы, стоящие ниже ведущего элемента).

Пусть рассчитывается значение на k-м шаге. Следует соединить элемент с ведущим элементом . Получена одна из диагоналей прямоугольника. Вторую диагональ образует соединение элементов и . Для нахождения значения из его текущего значения вычитается произведение элементов и , деленное на ведущий элемент;

д) если , то перейти к пункту "б", где вместо положить .

Если , завершить прямой ход. Получена расширенная трапециевидная матрица из элементов , соответствующая .

2. Обратный ход. Составить систему и решить ее, начиная с последнего уравнения.

Итерационные методы решения линейных алгебраических систем Метод простой итерации или метод Якоби

матричный вид системы линейных уравнений:

,

где , , .

Предположим, что диагональные элементы матриц A исходной системы не равны 0 (a_ii ≠ 0, i = 1, 2, …, n). Разрешим первое уравнение системы относительно x₁, второе относительно x₂ и т.д. Получим следующую эквивалентную систему, записанную в скалярном виде:

 (1),

Теперь, задав нулевое приближение , по рекуррентным соотношениям (1) можем выполнять итерационный процесс, а именно:

 (2)

Аналогично находятся следующие приближения , где в (2) вместо необходимо подставить .

Или в общем случае:

. (3)

или 

Условие окончания итерационного процесса- .

Достаточное условие сходимости: Если выполнено условие диагонального преобладания, т.е. , то итерационный процесс (3) сходится при любом выборе начального приближения. Если исходная система уравнений не удовлетворяет условию сходимости, то ее приводят к виду с диагональным преобладанием.

Выбор начального приближения влияет на количество итераций, необходимых для получения приближенного решения. Наиболее часто в качестве начального приближения берут или .

Замечание. Указанное выше условие сходимости является достаточным, т.е. если оно выполняется, то процесс сходится. Однако процесс может сходиться и при отсутствии диагонального преобладания, а может и не сойтись.

Алгоритм метода простых итераций

1. Преобразовать систему к виду одним из описанных способов.

2. Задать начальное приближение решения произвольно или положить , а также малое положительное число (точность). Положить .

3. Вычислить следующее приближение по формуле .

4. Если выполнено условие , процесс завершить и в качестве приближенного решения задачи принять . Иначе положить и перейти к пункту 3 алгоритма.