
- •Bisection
- •7.) Метод хорд (секущих).
- •9.) Методы решения систем линейных алгебраических уравнений:
- •Постановка задачи
- •10.) Прямые методы решения слау Метод Крамера:
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом (с помощью обратной матрицы).
- •Метод Гаусса- этот метод заключается в последовательном исключении неизвестных. Пусть в системе уравнений
- •Алгоритм численного метода Гаусса:
- •1. Прямой ход.
- •Итерационные методы решения линейных алгебраических систем Метод простой итерации или метод Якоби
- •Алгоритм метода простых итераций
- •Метод Гаусса – Зейделя
- •Алгоритм метода Зейделя
- •11.) Нормы векторов
- •12.) Нормы матриц
- •Свойства норм матриц.
- •Алгоритм метода Зейделя
- •Постановка задачи
- •Задача интерполяции функции, интерполяционные полиномы:
- •Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа
- •Интерполяционные формулы Ньютона
- •Оценка погрешностей первой и второй интерполяционных формул Ньютона
- •Численные методы решения задачи Коши для оду:
- •Где .
- •Оценка элементарной площади Si правым прямоугольником.
- •Оценка элементарной площади Si центральным прямоугольником.
- •Геометрическая иллюстрация вычисления значения определённого интеграла по формуле левых прямоугольников.
Алгоритм численного метода Гаусса:
1. Прямой ход.
а) Положить
номер шага .
Переобозначить все элементы расширенной
матрицы
через
;
б) Выбрать ведущий элемент одним из двух способов.
Первый
способ (схема
единственного деления). Выбрать в
качестве ведущего элемента .
Второй
способ (схема
с выбором ведущего элемента). На k-м шаге
сначала переставить оставшихся
уравнений так, чтобы наибольший по
модулю коэффициент при переменной
попал
на главную диагональ, а затем выбрать
в качестве ведущего элемента
.
в) каждый элемент строки, в которой находится ведущий элемент, поделить на него:
г) элементы строк, находящихся ниже строки с ведущим элементом, подсчитать по правилу прямоугольника, схематически показанного на рис. 10.1 (исключить элементы, стоящие ниже ведущего элемента).
Пусть
рассчитывается значение на
k-м шаге. Следует соединить элемент
с
ведущим элементом
.
Получена одна из диагоналей прямоугольника.
Вторую диагональ образует соединение
элементов
и
.
Для нахождения значения
из
его текущего значения
вычитается
произведение элементов
и
,
деленное на ведущий элемент;
д) если ,
то перейти к пункту "б", где
вместо
положить
.
Если ,
завершить прямой ход. Получена расширенная
трапециевидная матрица из элементов
,
соответствующая
.
2.
Обратный ход. Составить
систему и
решить ее, начиная с последнего уравнения.
Итерационные методы решения линейных алгебраических систем Метод простой итерации или метод Якоби
матричный вид системы линейных уравнений:
,
где ,
,
.
Предположим, что диагональные элементы матриц A исходной системы не равны 0 (aii ≠ 0, i = 1, 2, …, n). Разрешим первое уравнение системы относительно x1, второе относительно x2 и т.д. Получим следующую эквивалентную систему, записанную в скалярном виде:
(1),
Теперь,
задав нулевое приближение ,
по рекуррентным соотношениям (1) можем
выполнять итерационный процесс, а
именно:
(2)
Аналогично
находятся следующие приближения ,
где в (2) вместо
необходимо
подставить
.
Или в общем случае:
.
(3)
или
Условие
окончания итерационного процесса- .
Достаточное
условие сходимости: Если
выполнено условие диагонального
преобладания, т.е. ,
то итерационный процесс (3) сходится при
любом выборе начального приближения.
Если исходная система уравнений не
удовлетворяет условию сходимости, то
ее приводят к виду с диагональным
преобладанием.
Выбор
начального приближения влияет
на количество итераций, необходимых
для получения приближенного решения.
Наиболее часто в качестве начального
приближения берут или
.
Замечание. Указанное выше условие сходимости является достаточным, т.е. если оно выполняется, то процесс сходится. Однако процесс может сходиться и при отсутствии диагонального преобладания, а может и не сойтись.
Алгоритм метода простых итераций
1. Преобразовать
систему к
виду
одним
из описанных способов.
2.
Задать начальное приближение
решения произвольно
или положить
,
а также малое положительное
число
(точность).
Положить
.
3.
Вычислить следующее приближение по
формуле
.
4. Если
выполнено условие ,
процесс завершить и в качестве
приближенного решения задачи принять
.
Иначе положить
и
перейти к пункту 3 алгоритма.