Теоретический материал

Теорема 1.Любую функциюможно представить в виде СДНФ.

Простые конъюнкции составляются для тех наборов (x₁, …,x_n), гдеf = 1; еслиx_i = 0, берем, еслиx_i = 1, беремx_i.

Составляя дизъюнкцию простых конъюнкций, получаем СДНФ.

Теорема 2.Любую функциюможно представить в виде СКНФ. Простые дизъюнкции составляются для тех наборов (x₁,…,x_n), гдеf = 0; еслиx_i = 1, берем, еслиx_i = 0, беремx_i.

Конъюнкция простых дизъюнкций дает СКНФ.

Теорема 3 (Поста). Для того чтобы некоторый набор функций был полным, необходимо и достаточно, чтобы в него входили функции, не принадлежащие каждому из классовT₀,T,L,M,S:

T₀ – класс функций, сохраняющих 0;

T – класс функций, сохраняющих 1;

L – класс линейных функций;

M – класс монотонных функций;

S – класс самодвойственных функций.

Классы функций

T₀ :f(0,0,…,0) = 0;

T₁ : f(1,1,…,1) = 1;

L : f(x₁,…, x_n) = a₀ + a₁x₁ +…+ a_nx_n;

S : f(x₁,…, x_n) = f*( x₁,…, x_n) = ;

M : f(₁)  f(₂) при ₁ < ₂ (₁= (x₁,…, x_n); ₂= (x₁,…, x_n);).

Логические функции двух переменныхf(x1,x2)

№ п/п	f_j(x₁,x₂)		f₀	f₁	f₂	f₃	f₄	f₅	f₆	f₇
№ п/п	x₁ x₂		f₀	f₁	f₂	f₃	f₄	f₅	f₆	f₇
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	0	0	0	0	1	1	1	1
2	1	0	0	0	1	1	0	0	1	1
3	1	1	0	1	0	1	0	1	0	1
Обозначения			0	x₁x₂	(x₁x₂)	x₁	(x₂x₁)	x₂	(x₁+x₂)	(x₁x₂)

№ п/п	f_j(x₁,x₂)		f₈	f₉	f₁₀	f₁₁	f₁₂	f₁₃	f₁₄	f₁₅
№ п/п	x₁ x₂		f₈	f₉	f₁₀	f₁₁	f₁₂	f₁₃	f₁₄	f₁₅
0	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1
2	1	0	0	0	1	1	0	0	1	1
3	1	0	0	1	0	1	0	1	0	1
Обозначения			(x₁x₂)	(x₁x₂)		(x₂x₁)		(x₁x₂)	(x₁x₂)	1

№ п/п	Свойства логических функций
1		x + x = 0
2
3		x + y = y + x
4	x (y z) = (x y) z	x + (y + z) = (x + y) + z
5	x  (y  z) = (x  y)  z	x (y + z) = x y + x z
6	x  y = y  x; x  y = y  x	x  y = y  x
7	x (y  z) = x y  x z	x  y = y  x
8	x  (y z) = (x  y)(x  z)	x  y = y  x
9		(x  y)  z = x  (y  z)
10	x  xy = x	x  x = 1
11		x  x = x  x =
12
13


№ п/п	Полиномы Жегалкина
1
2
3
4
5
6