3. Случайные векторы
|
Дискретный случайный вектор |
Непрерывный случайный вектор | ||||||||||||
|
3.1. Законы распределения | |||||||||||||
|
Функция распределения: | |||||||||||||
|
F(x, y) = P(X < x; Y < y); F(–, y) = F(x, –) = F(–, –) = 0; F(+, +) = 1; F(x, +) = Fx(x); F(+, y) = Fy(y); F(x,y) – неубывающая поxиy. | |||||||||||||
|
|
| ||||||||||||
|
Таблица распределения |
Плотность распределения: | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
|
Pij 0; |
F(x, y) 0; | ||||||||||||
|
|
| ||||||||||||
|
Условие нормировки: | |||||||||||||
|
|
| ||||||||||||
Y
;
.
.
|
Дискретный случайный вектор |
Непрерывный случайный вектор |
|
3.2. Числовые характеристики | |
|
Математическое ожидание: | |
|
|
|
|
Дисперсия: D[X] =M[(X–M[X])2] =M[X2] – (M[X])2. Корреляционный момент: K[X,Y] = M[(X – M[X]) (Y – M[Y])] = M[X Y] – M[X] M[Y]. | |
|
Коэффициент корреляции:
| |
|
3.3. Независимые случайные величины | |
|
Условия независимости: F(x,y) = Fx(x) Fy(y); | |
|
Pij = Pi Pj. |
f(x,y) = fx(x) fy(y). |
|
Свойства числовых характеристик: | |
|
M[X Y] = M[X] M[Y]; D[X + Y] = D[X] + D[Y]; K[X,Y] = 0, r[X,Y] = 0. | |
|
3.4. Зависимые случайные величины | |
|
Условные законы распределения: | |
|
|
|
|
Условные математические ожидания: | |
|
|
|
.
|
3.3. Свойства числовых характеристик | |
|
Математическое ожидание: xminM[X]xmax;
M[X + Y] = M[X] + M[Y]; M[X Y] = M[X] M[Y] + K[X,Y]. |
Дисперсия: D[X] 0;
D[X + Y] = D[X] + D[Y] + 2K[X,Y]; D[X] = K[X,X]. |
|
Корреляционный момент:
K[X,Y] = K[Y, X]; K[Y,Y] = D[Y]. |
Коэффициент корреляции:
r[X,Y] = r[Y, X];
|
;
;
;
.
Контрольная работа
В условиях заменить параметр а– суммой предпоследней цифры номера вашей зачетки и 1; параметрb– суммой последней цифры и 1.
1. В партии абракованных и (b+3) небракованных изделий. Наудачу взяты 4 изделия. Найти вероятность того, что среди них:
а) одно бракованное;
б) хотя бы одно бракованное;
в) бракованных и небракованных поровну.
2. В первом ящике (а+4) белых и (b+1) черных шаров, а во втором ящикеb– белых и (а+1) – черных шаров. Из первого ящика во второй переложили два шара:
а) после перекладывания из второго ящика вынуты 3 шара. Какова вероятность того, что среди них 1 черный?
б) после перекладывания из второго ящика вынуто 2 белых и 1 черный шаров. Найти вероятность того, что переложены шары разных цветов.
3. Стрелок произвел (b+5) выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 1/(2а). Найти вероятность того, что:
а) было 2 попадания;
б) было не более (3 + (–1)b+ (–1)а) попаданий;
в) было хотя бы одно попадание.
4. Найти надежность цепи, если надежности элементов указаны на схеме (рис. 4, 5)
|
а– четное |
а– нечетное |
|
Рис. 4 |
Рис. 5 |
5. Дан ряд распределения дискретной случайной величины X.
|
X |
–a |
0 |
1 |
(b+1) |
|
P |
0,1 |
0,3 |
p3 |
0,2 |
Найти: p3;M[X];D[X];P(–1 X b);F(x); графики многоугольника и функции распределения.
6. Дана плотность вероятности непрерывной случайной величины X.
|
а– четное |
а– нечетное |
|
|
|
Найти: c;M[X];D[X];P(–1 <X<b);F(x); графикиf(x),F(x).
7. Дана функция распределения непрерывной случайной величины X:
Найти: d;c;P(X> 0,5);M[X];D[X];f(x); графикиf(x) иF(x).
8. Дана корреляционная таблица случайного вектора (X,Y).
|
X |
–b |
0 |
a+1 |
|
–a |
0,1 |
0 |
0,2 |
|
0 |
0,05 |
P22 |
0 |
|
1 |
0 |
0,2 |
0,05 |
|
b+1 |
0,1 |
0 |
0,1 |
YНайти: P22; зависимыXиYили нет;F(1,a);rxy; линию регрессииYпоX.