8

Лабораторная работа 233 Изучение цепи переменного тока Введение

Если в электрической цепи действует периодически изменяющаяся электродвижущая сила, то в ней возникают колебания тока и напряжения. Амплитуды и фазы этих колебаний на разных элементах цепи – сопро-тивлении (R), индуктивности (L) и емкости (C) - будут разными. Мы будем изучать цепи переменного тока с сосредоточенными параметрами, в которых R, L и C сосредоточены на отдельных участках цепи в виде резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности (Рис. 1), в отличие от цепей с распределенными параметрами, в которых они распределены по всей длине цепи. Кроме того будем считать, что ток в цепи изменяется по гармоническому (синусоидальному) закону .

Резистор Конденсатор Катушка индуктивности

Рис. 1.

П ри изучении гармонических колебаний широко пользуются методом векторных диаграмм. Суть этого метода состоит в том, что любая физическая величина (x), изменяющаяся по гармоническому закону x = x₀cos(t+₀), может быть представлена как проекция на заданную ось вектора, вращающегося против часовой стрелки. Длина вращающегося вектора равна амплитудному значению x₀. Угол, образу-емый этим вектором с заданной осью в начальный момент времени равен началь-ной фазе колебания (₀) (Рис. 2).

Сопротивление в цепи переменного тока (r-цепь)

При прохождении переменного тока

(1)

через резистор, обладающий сопротивлением R, на резисторе появляется переменное напряжение, совпадающее по фазе с колебаниями тока

. (2)

Сопротивление резистора не зависит от частоты .

На рисунке 3а представлена векторная диаграмма для рассматриваемой цепи, а на рисунке 3б - графики зависимостей I_R и U_R от времени. Так как фазы колебаний тока и напряжения одинаковы, направления соответ-ствующих векторов на векторной диаграмме совпадают.

U_R0=I_R0R

О

I_R0

Рис. 3а Рис. 3б

Индуктивность в цепи переменного тока (l-цепь)

Если через катушку индуктивности идет переменный ток

, (3)

то напряжение на ее выводах будет равно по величине, но противоположно по знаку ЭДС самоиндукции, то есть

(4)

Сравнение выражений (3) и (4) показывает, что колебания напряжения на катушке индуктивности опережают по фазе на /2 колебания тока в ней. На векторной диаграмме (рис. 4а) вектор, изображающий колебания напря-жения, повернут относительно вектора тока на угол /2 в положительном направлении (против часовой стрелки). На рис. 4б это отражено в сдвиге кривой напряжения относительно кривой тока влево на четверть периода.

t

I_L

U_0L=I_0LL

O

I_0L

Рис. 4а Рис. 4б

Сопротивление катушки индуктивности, определяемое как отношение амплитудных значений напряжения и тока линейно растет с увеличением

частоты . (5)

Емкость в цепи переменного тока (c-цепь)

Если в цепи, содержащей конденсатор, идет переменный ток

, (6)

то происходит периодическая перезарядка конденсатора. По определению I = dq/dt, следовательно

. (7)

При этом напряжение на конденсаторе

. (8)

Сравнение (6) и (8) показывает, что колебания напряжения на конден-саторе отстают по фазе на /2 от колебаний тока (см. рис. 5а и 5б).

Сопротивление конденсатора уменьшается при увеличении частоты.

(9)

Рис. 5а

RLC-цепь

Анализ цепи, состоящей из последовательно соединенных резистора, катушки индуктивности и конденсатора (рис.6), проведем с помощью век-

Рис.6

торной диаграммы.

В последовательной цепи ток I во всех элементах одинаков. Представим его вектором с модулем равным I₀, расположенным горизонтально (рис. 7). Напряжение на резисторе U_R сов-падает по фазе с током в цепи (см. рис. 3), поэтому соответствующий вектор также направим горизон-тально, его модуль будет равен

U_R0 = I₀R. Напряжение на катушке индуктивности U_L опережает ток в ней на /2 (см. рис. 4), поэтому соответствующий вектор (с моду-лем равным U_L0 = I₀L) направим вертикально вверх. Напряжение на конденсаторе U_C отстает от тока в нем на /2 (см. рис. 5), поэтому соответствующий вектор (с моду-лем равным U_C0 = I₀/C) направим вертикально вниз.

Из векторной диаграммы опре-делим общее напряжение U на концах RLC-цепи, общее сопротивление цепи Z, сдвиг фаз между этим напряжением и током в цепи I .

Общее напряжение на концах цепи U изображается вектором, равным сумме векторов, изображающих напряжения U_R, U_L и U_C . Используя известные правила сложения векторов, получим для модуля результи-рующего вектора (амплитуды общего напряжения) следующее выражение

. (10)

Выражение (10) представляет собой закон Ома для последовательной RLC-цепи. Из этой формулы следует, что общее сопротивление Z такой цепи равно:

. (11)

Сдвиг фаз между напряжением на концах цепи и током в ней равен углу  между векторами, изображающими соответствующие величины. Вели-чину этого угла можно определить из следующего выражения

. (12)