Пример 3

Инвестор получил кредит в банке в сумме 150,0 тыс. руб. сроком на три года под 20 % годовых (сложные проценты). Определить сумму погашения долга в конце срока.

Решение: S = 150 * (1 + 0,2 )³ = 259,2 тыс. руб.

Зачастую банки, предоставляя долгосрочные кредиты, используют изменяющиеся во времени, но заранее фиксированные для каждого периода ставки сложных процентов. В этом случае наращенная сумма может быть определена по формуле:

S = P * ( 1 + i₁ ) ⁿ¹ * ( 1 + i₂ ) ⁿ² *… * ( 1 + i ₁₂) ^nk (1.7)

где:

i₁, i₂,…, i₁₂ – последовательные значения ставок процентов;

ⁿ¹ , ⁿ² ,…, ^nk – периоды, в течение которых используются соответствующие ставки.

Использование в финансовых вычислениях простых и сложных процентов дает неодинаковые результаты. Различия между ними обусловлены сроками сделок. Так, при равной величине простых и сложных процентных ставок

(i_п = i _c) при сроке ссуды менее 1 года (n < 1) наращенная сумма, вычисленная по простым процентам, будет наращенной суммы, вычисленной по сложным процентам, ибо:

(1 + n * i _п) > (1 + i_c) ⁿ

где: i _п и i_c – ставки простых и сложных процентов.

При сроке сделки больше года (n > 1) наращение по сложным процентам опережает наращение по простым процентам, т.к.:

(1 + n * i _п) < (1 + i_c) ⁿ

В cлучае, когда срок финансовой сделки выражен дробным числом, начисление процентов может выполняться двумя методами:

а) по формуле сложных процентов:

S = P * ( 1 + i ) ^a+b (1.8)

б) смешанным методом:

S = P * ( 1 + i )^a * ( 1 + b * i) (1.9)

где:

n = а + b – период сделки; а- целое число лет; b – дробная часть года.

Номинальная и эффективная ставки процентов

В контрактах на получение кредитов часто предусматривается капитализация процентов несколько раз в году – по полугодиям, кварталам, иногда помесячно. Однако на практике, в большинстве случаев, указывается не квартальная или месячная процентная ставка, а годовая ставка, которая называется номинальной. Кроме того, указывается число периодов m начисления процентов в году. Тогда для начисления процентов m раз в году используется формула:

S = P * ( 1 + j/m )^N (1.10)

где:

j – номинальная годовая процентная ставка;

m- число периодов начисления процентов в году;

N – число периодов начисления процентов за весь срок контракта;

N = n * m, где n – число лет.

Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, а начисление процентов производится m раз в году, то наращенная сумма может быть определена или по общей формуле, используемой при начислении сложных процентов, или по смешанному методу. В последнем случае наращенная сумма определяется по формуле:

S = P * ( 1 + j/m )^ml * ( 1 + а * j/m ) (1.11)

где:

ml – число полных периодов начисления процентов;

а- дробная часть одного периода начисления процентов.

Эффективная ставка при начислении сложных процентов m раз в году.

Эффективная ставка измеряет тот реальный относительный доход, который получит кредитор в целом за год. Для инвестора это реальная величина относительных расходов за использование полученного в кредит капитала.

Иначе говоря, эффективная ставка отвечает на вопрос: какую годовую ставку сложных процентов необходимо установить, чтобы получить такой же финансовый результат, как и при m- разовом начислении процентов в году по ставке j/m.

Если обозначить эффективную ставку как i_c, то ее величину можно определить по формуле:

i_c = (1 + j/m )^m – 1 (1.12)

т.е. эффективная процентная ставка больше номинальной.

Из этого же выражения следует, что:

J = m * (( 1 + i_c )^1/m – 1) (1.13)

Непрерывное начисление процентов.

На практике возможны случаи, когда проценты начисляются непрерывно. Тогда наращенная сумма, при непрерывном начислении процентов по ставке j, равна:

S = P * e ^j*n (1.14)

где е – основание натурального логарифма (е = 2,71828).