книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела

, e , =

2 i „

tj!Su =

-mn^nYn

■ch|„

(1 - 2vfr) l nymn

sh

— ' _

2(1— vfe)A3

2(1 —vft)ft3

Sh imn

[km =

,

К —

’ Imn = Утп -j^~t

1

Т«п =

[ ( М 8)г + (М з)а] ~ ) -

Формулы

для

b^njt, .... р™,*

можно

получить

из соответствующих

выражений

для ctmn.k, .... T)mn.ft

заменой гиперболических функций

ch imn на sh in„, a sh imn на ch imn, например:

С * = ~ ^ s h

imn, A&ft----- 2(1^

m; fe)-/| -

Shim„ +

4 ^ ^ " ch Smn,

[^пи».зСпм.З (А3) "Ъ BmJ?3^mn,3 (А3)] =

0,

3

['^тп.З’Пгпп.З (А3) +

Smn,3Pmn,3 (A3)l — 0,

2G3 £

lAZ&vZb (h3) +

(A,)I = qmn,

/=1

£

[A tV ^ n , (0) +

A t? ,< C i (0)1 =

0,

3

2 ( Итг?1т1тп.1 (0) +

6mn?lPmn,l (0)1 =

0,

2(?i £

MmJbl^mn.! (0) + Bmn.Wmn.l (0)1 =

—

;=i

MmnVmn,* (A*) + B%$kPrmt,k (Aft) — ^mn?ft+l/mn.ft+l (Aft) —»

Smn*ft+lP^,ft+| (A*)I = 0,

(10.28)

М 2 = 0, < >= М о ) = 0, М ? = 1,

б = — 1.

(10.31)

( М з \

(®я\

,

( МП

СО,

.МП

= =F

П у ) ,

= ±

f W - w *

.МП

мали

к

поверхности

в сторону

увеличения

функции

уровня, а

ниж­

ний — противоположному

направлению.

Краевые условия (10.11), (10.12) и условия сопряжения, например,

(10.13), в первом

приближении имеют вид

tfir.3 |z=h, =

— [МзМЦз +

МзО?г,з]2«=л, + Qi'1,

ofSl. 1*=0 =

[М оЧ .1 + M{M?,l]*=0 + Q P \

(10.32)

M !l - «а+1]г=л, = -

U IJ1ий -

{h =

1;

2),

[aflk -

о Й ц -jW

=

-

[MV {oZk -

o%.k+x) +

MV (ofi* -

ag .ft+1)]s=ftfc.

где

0 ?

=

® =

Qxl) =

$

(1) - 0,

(10.33)

Qi!’. =

— ®3/ ' («/) Q (*. г/). QS(1) =

©</ Ы Q (*» У)-

Если

функцию / (у)

принять в форме

f(y) = hs c o s -£ - у

(ю =

const),

(10.34)

то с учетом аналитической структуры дифференциальных

операторов

MU,

(10.31)

и

выражений

для

гармонических

функций

4^1

{х, у, г) = £ 2 Е [Amnlk ch

+

Bmilk sft |{JU) sin .lmx sin кЩу

m=l /i=l s=l

1

(10.35)

(i.=

1;. 2),

1Рз!& (Я* Уу 2) =

X

S

ch iLlis 4" fimns.ft sh Imrw] COS kmx sin y^nly<

m=l n=1s=l

•где

t(l)

_ fl>

2

>

Artl —

(<fl ±

*) я

'

femrts — Vmns

„ m

h

л(1)

Л>п2

(10.36)

Ym/ii_|Y mnh3 j a _j_ |

(со ±

n) nha j 3

Vmn2

Li­

n o формулам (10.16),

(10.19)

с

учетом

(10.35)^ в первом, приближении

(/ =

1) получаем выражения

для перемещений и напряжений в виде,

аналогичном

(10.24), (Ш-26), т. е.

Ux!k =

X

X

X

X

(2) Ч*

ЯХ=1Л=1 1=1 S=1

*“Ь Sm’rts.fePtfUtifc (^)]

COS

sill ^*nst/t

(10.37)

Oyl'k =

S

S

S

S

[Атп1,кУупп$,к {z) +

m=\ n=1t=l s=l

+ Bm&Wwlk (z)lsin Xmxcos X$y,.

где

функциональные

коэффициенты

Imnlk,

•••> Р т я а можно

записать

^на основе выражений

(10.25), (10.27)

заменой' Хп,

утп> | mn

соответ-

'ственно на

Я/в, Ymns*

Emits

(s =

1>

2),

например;

/0.1)

rhM ‘>

/<2Л)

__

tmns^m

,

t(l)

(10.38)

LmnStk —

bmns»

1mns,к —

4 (1 — v*)i

Sn 5mns’

Д л я

определения

ПОСТОЯННЫХ

/4mns,ft,

BmnJ.k из

граничных

условий

(10.32) с учетом аналитической структуры

(10.24), (10.26), (10.37) по­

лучаем две

(s =

1,2)

последовательности

( т , п

=

1, 2, 3, ...) систем

{в случае полного сцепления между слоями)

во* втором приближении

имеем

« Е . U

-

-

w g o f t , +

w a v ,5,3 + «

м

,

+

л ® о й ,ь _ . + Q ?,

• а , и

=

+

ш

ь

+ «

,

+

m

; v , + < зг,

\.uf!k

u?k+\]z=hk =

[L®(«®

— « $ .+ 1)4 -LjL'Ywilft — w<i!fe+i)]2=hfe) (10.30)

loflk

0?z,k+l]z=Aft =

— lM* ,(or<y,ft— 0<y>fe+i) +

Mft (fffj./i— OiD.fe-)-l) 4"

Ч- NJa (Oiz,/i — CtS*+1) 4- N3* (Oft,* —

( f t = l ; 2),

Ч~ Bmns,k sh imns] sin

sin У*п1у (t =

ly

2),

(10.41)

^

(X, y, 2) =

S

s

£

M fi& ch

+

m=1/i=I s=l

где

4“ 5mns.ft sh ^mns] COS A>mX Sin

t ® ___ P)

г

Anl _

(2«0 ±

П) П

л (2) _

ПЯ

»mns — 4mns

,

^(2)----------ft------»

Л«3

“ ft” »

A

1

_

nath3 J

_j_ ^ (2ю ± n) nh3

jaj

2

(10.42)

i s

- K

^

T

+

^ n

« а - s

f 2

Ш—1я=1 f=l s=l

э«.2)

„<(.2)

4“ Bmnl,kPmns>k (2)] COS Хт Х sill

(10.43)

° £ . = 2 2 2 2 м а . ч й . ( г> +

m=l л=1 i=l s=l

"Ь

(2)] Sin

COS кп&У*

(t Q\

...» у mns,к аналогична (10.25), (10.27),

(10.38),

например:

/<••->.

1 „Ь t®

/Р® .

бт/ts^m

„и t®

*/nns.fc —

'-|| Smns>

lmns,k — — "Т(Г—-Vft)** ^ *mns%

Постоянные

А тй *,

Втйм (i, k — 1 ,2 , 3)

определяются из

трех

(s =

1, 2, 3)

последовательностей

(m ,n

— 1, 2, 3, ...)

систем

линей­

ных

алгебраических уравнений

18-го

порядка, которые следуют из

(10.39) с учетом

аналитической структур

(10.24),

(10.26),

(10.37),

Ux,k —

1

d2

\

U P

dN f

2G*

(vftV2

dz2

)

dx

4" ■ dy

*

UyA —

1

(vftV2

a2

)

d ig

dNp

2Gk

a*2

)

dy

dx

’

dL f

д

Г

- - s r ( v

! -

dz2

f

dz

+

dz

1~ 2 6 r(v* V 2

„(/)

/'

da

v

2 +

a4

.) rlfl

1

d2Nk*

axx,k — \ Vk dy2

dx2dz2 J^k

-T 2Gft

dxdy

*

< >

- ( >

. v

- V

’ + - д а т - )

ц л ' ■20,

a2<v£/>

дхду

*

CTW. -

+

d2

V1Г (/)

UZZ,£

■ ь

Элт2

dy2

}

Uk »

^

пО)

1 ^

(

a2

axy%k == ---•(V‘ V 2

аг8)

—

о* \

a*2

ду

_(/*)

~

l

djf2- +

да \

d2L\*

d2N(^

^

а )

dxdz

■+ C* дудг

’

_.(/)

/

аа

d2 \

d2L f

d2N]f’

-------1

te a - +

~W~):

dydz

— G*

кции Lk , Щ ' удовлетворяют'уравнениям

V 2Atf>+

qk (г)

=

0, г* (г) =

-А - 1n G k (г),

Г‘ ( i r W

) -

( v - £ - ) Ц»

= 0.

Если

разрешающие функции

представить

в виде

N ? {х, у . г) =

ф& {х, у) <рй (г), L f (х, у, г) =

ф $ (*, у) Ф& (г),

(10.45)

то фиг,

ф у д о в л е т в о р я ю т

уравнению

Гельмгольца

д2\Ь*Д

„ .

- з г г - + - § $ Г - +

«/Ф& = 0

(i = 1;

2),

(10.46)

а ф й ,

ф2jt — уравнениям

+ * ( o ^ L _ e W i . o .

d*<Po\

(z)

(z) — Qk (z)

2 a ;]

+

dz4

+ 2a/<7* (2)

+ a/ {a2 + - p

^

- ^

(2) -

7, (г)])

=

0.

(10.47)

В

дальнейшем

примем

G*(z) =

C » e x p [ ^ = ^ L ]

(<7* = - £ - ) •

(Ю.48)

Д ля

удовлетворения

граничным

условиям

(10.10) функции ф(Д , ф $г

выберем

в

виде

Ф и (*. У) =

cosX„,xcosХпу,

ф ^ (х, у) =

sin Ят лгsin %пу.

00 .49)

Следовательно, параметр а 2, входящий

в (10.46), будет равен У?т + А.,2.

Функции фН1,

фгЗг, удовлетворяющие дифференциальным

уравне­

ниям (10.47), в нулевом приближении

(/ =

0) допускают

представле-

uua

ние

Y2

ф1

( - ^ - ) =

Г '157 Е

[ Лтп% ch f mn - i -

+

В£„% Sh Ста

,

(0)

ф2,/

2Л‘ S

[

( ^

c h a ^

- | r

+

^ ( 1 ^ " ) = г

(10.50)

“Ь Bmn!k sh Qmti ~~fa

j Sin bmn

4“

Ch Clmn ^

“b Bmn

sh dffin ■

j COS bmn ^

j

Здесь

приняты

следующие обозначения:

й

= ( i

w . - [ ( ^ ) ’ + ( - = £ - ) ’ f

°mn =

2

2 {l(y2 + 4V1 ) 2 +

16y2y U * I 2

±

(Y2+

4VL ) 1 2 ,

(Ю-51)

bmn

r =

vfc

t f t -

l ^ v ft

2.1. Постановка

задачи.

Рассмотрим

двухслойную

пластину

(рис. 10.2), одна

из поверхностей

которой

описывается

уравнением

х =

б (у) =

е cos пу,

(10.52)

V 2V 2^ (х, у) = 0,

(10.53)

граничным

условиям на поверхностях х =

б (у), х =

х2 и условиям

сопряжения на границе раздела х = хг.

На поверхности х = б (у)

имеем

0n.i =

0*дс,1 cos2 8 -f" 0до,1 sin2 9 4" 2охуА sin 0 cos 0 =

0,

Tn.1 =

(o**.i — аюЛ) sin 0 cos 0 — oxyA (cos2 0 — sin2 0) = 0,

(10‘54)

где

cose = — -1 -, s i„ e =

J - 4 ? - , Д -

] / i + ( - g - f

(10.55)