книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела

ф ормулам (9.26). Н а внутренней свободной

от н апряж ений

поверх­

ности подкрепления граничное условие имеет вид

(o>a,i«r,o + crea.iHe.oJso =

0.

(9.46 V

цилиндром и

подкреплением

условиям и

соп ряж ен и я

будут

(Ца,1 — «а,2)5, =

о,

1(агад — a ra,i) «г.1 +

(овал —

<*00:,2) «0,1]s, =

0.

(9 .47)

В произвольном

приближ ении

на

основании (3.81), (9.46),

(9.47) г р а ­

ничные условия

и условия

соп р яж ен и я

приним аю т форму

сг(/) . I

—

£

[ D

i W t f

г=г01

ига, 11г=г0 — -

к=\

/-1

[ой ., -

с ®

] , . ,

=

-

£

[O n

-

< № * ) + O g ’ ( o f c p

-

(9.48>

— Ofla.2ft))]r=l —

[7?п (<*ra.l — <*га,2 — °>а) +

й> /„(?>.

<*0а?2 — <*0а)]/-=1>

^ 2 ? (<*00,1 —

/-1

[ « а

-

«(d w = i -

-

s

L(k) w

i i k) -

« а - V

i

-

k=\

Д иф ф еренциальны е

операторы

L (fe),

Z?!?,

D ti (/ =

0,1)

в

общ ем

случае имеют вид (3.86), а

при

реш ении

поставленной задачи с точ­

ностью

0

(е3) — (9.22).

В ы раж ен ие д л я

ком понентов

««?!

оЙд

опре-

деляю тся

суммой

соответствую щ их

вы раж ений типа (9.13)

и (9.14), в

ко ­

торы х

постоянные G,

В \п, Вчп следует

заменить

на

Glt

В\пл,

В й{ л .

С остав­

ляю щ ие

««,2,

JKj)

на

cr<a,2 записы ваю тся

основе

(9.14)

заменой

G,

Въп

на

Gz,

< 2 .

И сследование

напряж енного

со­

стояния

проведено д л я

сл у ч ая, когда

/о (0)

=

fi

(0)

=

cos № .

Н а

рис. 9.28

показано

изм енение

Опад/р'г*

и

O sadp'r* (р ' =

2 M h lR i),

определяемы х

по ф орм улам (9.34),

на

поверхности S x в зависим ости от Gn

=

= Gx!G2 (Glt Gz — модули сдвига

под­

крепления и цилиндра соответствен­

но) при двух зн ачениях

парам етра

толщ ины

г0 =

0,8

и

г0 =

0,9 .

П ри

этом

принято

е0 =

ех = 0,1;

k

=

4.

Д л я сравнения приведены ш триховы е

кривы е,

соответствую щ ие

случаю

кой . Случай G12 =

0

отвечает

цилиндру со свободной от напряж ений

поверхностью полости

S v

При

подкреплении

рассматриваемой

нека­

нонической

полости

(&i =

0,1)

толстостенной

оболочкой

(е0 =

0,1)

больш ей

жесткости

напряж ения O sadp'r*

при 0 =

л /2

уменьш аю тся

д о

номинальных

напряж ений,

когда

модуль

сдвига

подкрепления

примерно в два раза больше модуля сдвига

цилиндра при г0 =

0,8

и

примерно в четыре раза — при

г0 — 0,9.

4.4.

Замечание.

К

рассматриваемой в

этой

главе

тем атике

отно-

■сятся такж е работы

152— 54,

97, 98,

148],

посвященные исследованию

напряж енного состояния толстостенных

тел

вращ ения

с

ортогональ­

ными и неортогональными граничными поверхностями, близкими к

сферическим. В частности, в работах [52, 53, 97] исследовано осесим­

метричное упругое равновесие замкнутых толстостенных изотропных

оболочек

вращ ения

(конических, биконических и

цилиндрических),

ортогональны е граничные

поверхности

которых

являю тся

координат­

ными и описываю тся на основе конформно

отображающ ей

ф ункции

(2.174), где / (£) = £-yv. Радиус кривизны

р*

внутренней

поверхности

р =

1

определяется

по

формуле

р* =

[1 — 2 ^ 6 cos {N - f

1) у - f W2e2],/* {[1 — 2 N t cos {N +

1) у +

N 2e2] x

X [1 +

2№-e cos (A M -1) у +

W4e2] — № {N +

l)a sin 2 (N + 1 ) y)-V '.

(9.49)

Р асчет напряж енного состояния оболочек,

находящ ихся

под внутрен ­

ним давлением интенсивности р, проведен для v = 0,25 при

изменении

парам етра

толщ ины

рг

в

интервале

1,4 ^ р х ^

2,0. С

уменьш ением

рад и уса

кривизны

р*

в характерной

точке

внутренней

поверхности

(р

=

1, у =

0) относительные напряж ения a VY/p

увеличиваю тся. Этому

соответствую т числовые результаты

табл.

9.2.

(в

скобках

приведены

точны е значения

[44]). П риближ енны е реш ения

получены с точностью

О (е3) с

помощью

первого варианта М ВФГ. При уменьшении

радиуса

кривизны

внутренней

поверхности

от

значения

р * =

1

(сфера)

до

р*

=

0,58

(конус) напряж ения

а п /р на ней увеличиваю тся от 1,753 до

2,915

(при

у — 2л/3,

р2 =

1,3), т. е. примерно

на 66,3 % . В работах

[54, 98, 148] получены с точностью О (е3) приближенные

аналитические

реш ения

краевых задач об упругом равновесии зам кнуты х толстостен­

ных тел

вращ ения,

неортогональные внутренняя S 0 и внеш няя

S x по-

Т а б л и ц а 9.2

Сфера (в = 0)

Эллипсоид (N =

1,

Конус (N = 2,

Биконус (N = 3.

Напряжения

е =

1/9)

е = 1/15)

е =

1/20)

р* = 1

р* = 0,71

р* = 0,58

р* = 0,50

°УГ

1,753

1,790

(1,803)

1,928

2,574

чаты х элементов

конструкций

различны х

факторов (ш ероховатости

поверхностей, неоднородности

приповерхностных слоев, м елком ас­

ш табных искривлений поверхностей раздела

в композитных м атериа­

л ах , особенностей

контактного взаимодействия между слоям и, ж естко-

основе

трехмерных

уравнений теории

упругости и

второго

вар и ан та

М ВФ Г

(см. § 1 гл.

3) рассматриваю тся

некоторые

краевы е

задачи об

с неканоническими

поверхностям и

раздела

[117]. П ри этом, след уя

Б . Ф . В ласову [14],

предполагается,

что на боковы х гр а н я х плиты вы ­

полняю тся

специальны е

смеш анны е

краевы е

условия (типа условий

ш арнирного

опирания),

которы е удовлетворяю тся автоматически за

счет соответствую щ его вы бора разреш аю щ их

ф ункций (если задан н ая

поперечная

н агр у зк а допускает

разлож ен и е

в двойны е тригоном етри ­

ческие ряды). Это

ограничение

позволяет сущ ественно упростить р е ­

чай

идеального контакта

м еж ду слоям и

(полного сцепления) так и не­

которы е случаи неидеального кон такта

(в частности, проскальзы ван и я

без отры ва). Слои составной плиты считаю тся однородными

и изотроп ­

ными. К ром е

этого

рассмотрен

случай,

когда

м одуль

сдвига

поверх­

ностных

слоев

является

переменным

(в

частности,

изменяю щ имся

по

экспоненциональному закон у). П риведено так ж е реш ение плоской

за ­

дачи

о

напряж енном

состоянии

двухслойной

пластины

с

волнистой

поверхностью

[138].

§ 1.

К р аевая за д а ч а д л я трех сл о й н ой плиты

п е р е м е н н о й толщ ины

1.1.

П остановка

задачи

и

метод реш ен ия.

Рассм отрим

трехслойную

плиту конечных

размеров,

отнесенную

к

прям оугольной

(декартовой)

системе координат х, у, z (0 ^

х <1 а, 0 ^

у

Ь, 0 ^

z ^

h3, где h 3 —

постоянная, характери зую щ ая

толщ ину

всего

пакета слоев). Д о п у с ­

тим, что н и ж няя

S 0 и верхн яя

5 3 поверхности плиты ,

а та к ж е

поверх­

ности раздела слоев

и S s являю тся неканоническим и и описы ваю тся

уравнениям и

S t ~

z =

hi +

ea>ift (х, у)

(Ю Л )

(/ =

0,

1, 2,

3;

h 0 = 0,

h . i 'C h z C h s , — 1

1),

где

функции

ft (х, у)

предполагаю тся

достаточно

гладким и

(произ­

вольное

число

раз

дифференцируемыми),

е — м алы й

безразм ерны й

положительны й

параметр

(О С

е

1).

С помощью безразм ерны х парам етров

со/ м ож но

у п р авл ять ам пли ­

тудой отклонения

поверхностей

S t

от

координатны х

плоскостей

при

неизмененных

ф ункциях /, (х. у) и

малом

парам етре

е.

П редполож им,

что

на

боковы х

поверхностях

плиты

х = 0, а

и

у — О, b для

каж дого слоя

вы полняю тся

краевы е условия

[14]

®xx.k |*=0,а =

0,

Uy'k |*=о,а — О,

Uz,k |*=0,a = 0,

Gyy.k |г/=о,б — 0,

Ux,k |i/=o,b ~

о,

tiz.k |i/=o,b =

0

(А =

1,

2,

3),

которые соответствую т случаю ,

когда боковы е грани

плиты связан ы

с

диафрагмами,

ж есткими

в

плоскостях

х =

0, а; у

=

0,

b

и

гибким и

в направлениях,

перпендикулярны х

этим

плоскостям ,

что эк в и в а л е н т ­

в научной литературе

иногда

именую тся условиям и типа

Н ав ье .

П усть

на верхню ю

лицевую

поверхность 5 3 действует н о р м ал ьн ая

сила Q =

Q (х, у) е„,з и, следовательно, краевы е усл ови я на

S 3 п р и м у т

рованного состояния составной

плиты д л я

£-го сл оя будем

и ск ать в-

виде

рядов

«/.* = Е BnufX, Оц,к = Е

( £ = 1 . 2 , 3).

(10 .8)

п=0

п=О

Д л я

определения составляю щ их u}j%, а\%

п редполагается, что ф ун кц и и

ft (х,

У)< описываю щ ие согласно

(10.1) геометрию поверхностей Si (I =

= 0,

1 ,2 , 3), а так ж е заданны е

н агру зки

Q

(х, у), Q0 (х, у)

на S 3, S 0.

таковы ,

что компоненты

напряж енно-деф орм ированного

состояния со ­

ставной

плиты

допускаю т

разлож ен и я

в

ряды Т ейлора

в окрестности

координатны х

плоскостей

г =

h t . В

этом

случае на

Si

возм ож ны р а з ­

лож ения

00

п

,jnan

/„

,а

яот„(л—от)

I

п

V

V

®м/

(дг> у>

д и)л

= 2 j e 2 j —

"

!

- ~

,т

z=h.

/2=0

/71=0

т

д*

(10.9),

2 j 8

2 j

-------sri-------------- ^ г —

п=0

от=0

( £ =

1, 2,

3;

/ =

0,

1,

2, 3).

Следовательно, в произвольном приближ ении на основе (10.2) —

(10.4),.

(10.8),

(10.9)

получим следую щ ие

краевы е

условия:

на

боковых

поверхностях

х

=

0, а; у

= 0, Ъ

Gxx,k L=0,a

=

0,

Uy.ft |д:=0,а =

|лг=0,а =

0,

(10 .10).

)y,k |у=о,ь =

0,

Ux.k |у=о.б =

u Z'k |у=о,б =

0;

на

верхней

лицевой

поверхности

5 3

Е

+

Л ^ ’<

Г

+

=

Qin>;

(10.11),

/71=0

на

нижней

лицевой

поверхности

S 0

S

( М М

7 " + М с Э Д Г 1 +

N M(

U " " J „ o

= -

Q ?n>-

(10 .12);

m=0

(10.7), (10.9)

в

произвольном

приближ ении

будут таким и:

в случае

идеального

контакта

(полного

сцепления)

Ё

I T K 7

m) -

« Й + Р ь -л * =

0 ( £ =

1;

2),

ш=0

*

£

|Л ф ( о й ? 0

- о й ? ? ,)

+ л ® ( о В " -

с +

' о +

(10 .13),

т = 0

J ot M ? ( ^

+ p

^ ,) + A ^ ( o V

+

p

X

^

+

00.14)

+

M ? (o g r* +

рХ *7°)Ь=а* =

0,

£ lM ? ( < 7 n) +

р / £ Г )

+ M f ( < 7 ° +

p

^

m)) +

m=0

+ Mfr* (GyzJ™* +

Р^гг./т,)]г=Ай = 0

(/ =

k, k +

l) -,

Е U m) [ « 2 r e - « И W

к

= 0 (k = 1; 2),

m=0

-4- A/l'LJ>rr('l“;w) _L Л/И)-^—m),

л

А + 1).

"Г

Oyyj +

УУз/г 0^,/ |г=/, =

О 0= *ft,

m=0

Дифференциальные

операторы

Цт), МД1>(j =

1, 2, 3) в

общем слу­

</>

_

* %

+

„(/) —

дх ’

и*-к *

дх

ду » Uу.It — ду

(10.16)

= ~ ~

[Q& +

-

4(1 -V*)

дг

При

нагрузке

(10.20)

для

удовлетворения

краевым

условиям

(10.10) — (10.12)

и каким-либо из условий сопряжения (10.13) — (10.15)

в нулевом

приближении,

которое соответствует задаче для пли­

ты

со

слоями

постоянной

толщины,

гармонические функции

(t — 1, 2, 3) выбираем в форме

Ч^.й (JC, Уу2)—

2

2

ch £глл “1“ Bmnlk sh |mn] Sin XnlX sin X„y

m=l n=1

(i =

1; 2),

(10.22)

Ч ^ \( к ,у ,г ) —

Yi

S

ch | mn-

1

- sh | mn] cos Я,т дсsin

m—\ n=1

где

Alnn,k,

Bmn,k — произвольные

постоянные,

подлежащие

определе­

нию

из

краевых

условий;

1

V ™

. - t ( - ^

) 4

( ^

- ) » ] 2

(10.23)

и]с}к =

S

2

S

Мтя.*^яш,л (г)

B^rtlkplnn.ii (z)] cos Хт х sin Хпу,

rn—1П=1 (=1

uffk —

S

S

S

[Anrntk^rnntk (2) + Bmn!k%inntk (2)] sill %т Х COS Я<пу, (10.24)

т —1Г2=1 1—[

:

U*z!k

=

S

S

S

(2) +

Bm'ruk$mn.k (2)] Sin %т Х sin кпу,

1

Л1=1 п—\ i=l

l\nn,k — Хт ch £ты

$nruk —

5гг т о - л 5 ™ . & * —

;* » < * !.

4(1 —V*)

6тл,й = Хп ch |шп1 Smn.ft ------- 4 ^

sh \ mn, &mn.k = Xm ch £mn»

(10.25)

^(0

_

Vtnn, .

£

&mn,k —

Sh

Vтп

[(3

4vfe) sh i,tnn ~

0)

t _

I

&mn,k — 4 jj

%mn ch %mn]> а тя.Л — 0.

Формулы ДЛЯ ртп.к,

fimn.lt МОЖНО ПОЛуЧИТЬ ИЗ СООТВвТСТВуЮЩИХ

(2)

^mn^rn

Ртп,k — Я»т sh \tmnt Pmntk —

Chi,imn* • • 1