книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела
..pdfСледовательно, в сферических координатах г, 0, а (если угол 0 отсчи ты вается от оси выработки z, параллельной дневной поверхности) но минальны е напряж ения определяю тся по формулам
о гг = |
р + |
А (1 — cos 20) (1 + |
cos 2а), |
|
|
ае0 = |
р + |
А (1 + |
cos 20) (1 + |
cos 2а), |
g ^ |
Оаа = <7 + Л 0 |
— cos 2а), |
о,© = A sin 20 (1 + |
cos 2а), |
||
о ,а = — 2Л sin 0 sin 2 а , |
оеа = — 2 -4 c o s 0 s in 2 x [ а |
= - ~ р |
л
Тогда номинальные напряж ения о,-/ в криволинейных ортогональных координатах р, у, ф получаем на основе (5.105) и формул преобразо вания (2.135), где р — угол меж ду радиальным направлением и нор малью к поверхности выработки, определяемый на основе выражения
(2.137). Компоненты o f/, |
входящие в граничные |
условия |
(5.103), яв |
||||
ляю тся |
коэффициентами |
разлож ений |
номинальных |
напряжений |
|||
Л |
р, у, ф) в ряды по степеням е. В частности, в нулевом при |
||||||
Gij (i , /, = |
|||||||
ближении |
(п — 0) они совпадают с (5.105), если |
переменные |
г, 0, a |
||||
формально заменить на р, у, ф. В первом |
(п = |
1) |
и втором |
(п = 2) |
приближ ениях компоненты номинальных напряж ений для конечных
поверхностей |
вращ ения, описываемых |
на основе (2.174) |
при f (£) = |
|||||||
= £~N, имеют вид |
|
|
|
|
|
|
||||
|
= |
A N p~N~ l [cos (N — 1) у — cos (N + 3) у] (1 + |
cos 2ф), |
|
||||||
ofy = |
— A N p~N~ l [cos (N — 1) у — cos (N -f- 3) у] (1 + cos 2ф), сГфф = 0, |
|||||||||
|
Ору = |
A N p~N~ l [sin (N — |
1) у - f |
sin (IV -f- 3) у] (1 - f |
соз2ф), |
|
||||
|
|
a /ф = |
— A N p~N_i [sinlV y -f- sin (N + 2) y] sin 2ф, |
|
||||||
|
|
Оуф = |
ЛА^р- ^-1 [cos IVy |
cos (N + 2) y] sin 2ф, |
^ |
^ |
||||
|
a® |
^ |
AN2p-w -2 [CQS 2y _ |
cos 2 (N + 2) у] (1 + cos 2ф), |
|
|||||
Oyy = |
— A N 2p~2N~ 2 [cos 2y — cos 2 (N + |
2) у] (1 + cos 2ф), |
= |
0, |
||||||
|
Opv = |
— A N 2p ~ w ~ 2 [sin 2y — sin 2 (IV -f- 2) yj (1 + |
cos 2ф), |
|
||||||
Орф = |
- j- A N 2p~2Nr 2 [2 sin у — sin (2N + |
1) у — 3 sin (2N |
+ |
3) y] sin 2ф, |
||||||
e g = |
A N 2p~2N~ 2 [2 cos у + cos (21V + |
1) у — 3 cos (2N + |
3) y] sin 2<p. |
Замечание. Если поверхности выработки образованы вращением вокруг вертикальной оси у (перпендикулярной дневной поверхности),
17t
то компоненты осесимметричного номинального напряж енного состоя ни я, соответствующего (5.104) в сферических координатах г, 0, а (если 0 — угол широты, отсчитываемый от оси у), определяю тся по форму лам
|
orr = |
q ~ tp ■+ |
q о Р ■cos 20, |
aee = |
ЧЛ - Р-------- q 2 Р |
cos 20, |
(5 .107) |
||||||||
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
о<ш = |
Ру |
о>е = |
|
sin 20 |
& а = |
ава = |
°)- |
|
|
|||
В связи |
с этим компоненты 0I7 |
(t, J = |
р, |
у, |
ф) |
в |
рассматриваемом |
||||||||
случае |
не |
будут |
зависеть |
от |
угла |
ф. |
В |
первом |
(п — |
1) и |
втором |
||||
(а = 2) |
приближ ениях соответствующие |
им вы раж ения |
следую т из |
||||||||||||
(5.100). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И злож енны й |
подход, основанный на |
применении |
первого |
вариан |
||||||||||
та |
М ВФ Г |
(гл. 2) в |
сочетании с интегральным преобразованием Л ап л а |
||||||||||||
са |
по времени, к решению |
пространственных краевы х задач о |
напря |
женном состоянии в окрестности эллипсоидальной и конечной цилинд рической выработки в газонасыщенном массиве при нестационарной
фильтрации |
газа впервые применен |
в работах [143, 144]. |
|
||
3.3. |
Неортогональные поверхности выработок. П редполож им, что |
||||
поверхность S конечной выработки в сферических координатах г, 0, а |
|||||
(0 — угол, |
|
отсчитываемый от горизонтальной оси |
выработки |
z, па |
|
раллельной |
дневной поверхности) |
описывается |
уравнением |
типа |
(3.70). Если все линейные переменные и постоянные величины вы брать безразмерными, отнесенными к радиусу сферы г0, к которой близка
поверхность S , то ее уравнение запишется в виде |
г — 1 + |
е/ (0, а ). |
||||
Краевыми условиями в напряж ениях на S будут |
|
|
|
|
||
[(о>/ + |
ог/) пг + (0е/ + 0е/) пв + (0«/ + а а/) n«]s = |
х, {j ~ |
г, |
0, а ), |
||
|
|
л |
|
|
|
(5.108) |
|
|
|
|
|
|
|
где хг = |
— Р в, т0 = |
та = 0; 0// — компоненты |
номинального |
н апря |
||
ж енного |
состояния, |
определяемые по формулам |
(5.105); 0*/ — компо |
ненты возмущенного напряженного состояния, вызванного наличием
выработки. |
Они представляются в виде |
суммы: оц = 0?/ + а ]/, где |
||
составляю щ ие |
0?/ отвечают общему решению трехмерных |
уравнений |
||
равновесия |
в |
сферических координатах, |
а о** — частному |
реш ению |
этих уравнений с условными объемными силами, которые вы раж аю тся
через |
приведенное |
давление Р г аналогично тому, |
как в несвязанной |
||||||
теории термоупругости условные объемные |
силы |
вы раж аю тся через |
|||||||
тем пературу |
по |
формуле типа (4.75), так как уравнения |
состояния |
||||||
(4.61) |
и (5.90) имеют аналогичную аналитическую структуру . Е сли |
||||||||
учесть, что на поверхности S для давления Р |
выполняется |
равенство |
|||||||
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
(Р + |
P )s = |
Р Ву |
то |
краевое условие д л я |
приведенного давления Р 1 |
||||
на поверхности |
S с учетом (5.89) имеет вид |
|
|
|
|
||||
|
P x \s = |
|
|
зр*р* |
\ |
D* |
2ц* 0pp Is - |
(5.109) |
|
|
|
|
3 ^ + 2ц*./ + |
3?i| |
|||||
|
|
|
|
|
172
П рим еняя сначала преобразования |
Л апласа по. безразмерному времени |
||||||||||
F ° i Для напряж ений a i} и |
приведенного давления Р ъ в |
пространстве |
|||||||||
изображ ений |
аналогично |
(5.97) |
получаем |
компоненты |
а и (г, 0, a , s), |
||||||
P i (r> 9, a , s), |
где |
s — параметр |
преобразования. |
|
|
|
|||||
Если решение задачи искать в виде рядов типа |
(5.99), то в произ |
||||||||||
вольном приближении на |
основе (5.108), (5.109) в пространстве изобра |
||||||||||
ж ений получаем краевые |
условия |
|
|
|
|
|
|
||||
C(r?\r=l1г=! = ----- (огг + |
Р в), |
Оуе* |r= i = |
1 |
л |
~(0) , |
1 |
л |
||||
Г“ °г0> |
|г=1 |
Т |
° га' |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ф |
- р в) (в * |
+ |
зр*Р* |
|
D* |
2ц* |
■<т(0) |
|
||
|
|
|
|
ЗА.* |
+ |
|
ЗХ* + |
ирр г=1. |
|||
£ |
[ О р Ч Т " 1+ |
£ > Г Й Г “ ’ + |
|
|
I = |
(5.110) |
|||||
m=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ |
i}m)p f ~ m) |r=1 |
л* |
l |
n |
L(fn)a {n- nt) I |
, |
|
|
|||
|
= ---------------- -- |
У |
( n > 1). |
|
||||||||
|
m=0 |
|
|
31? + 2ц* |
s |
2 |
^ |
°pp |
!r=l |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь L <m), D*m' (k = |
1, 2, 3) — дифференциальные |
операторы, кото |
||||||||||
рые в общем виде определяю тся формулами |
(3.86), а в случае осесим |
|||||||||||
метричных поверхностей выработок, когда f = / |
(0), в первом (m = |
1), |
||||||||||
втором ( т = |
2) и третьем ( т = 3) приближениях им отвечают формулы |
|||||||||||
типа |
(3.143). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание |
1. Если |
поверхности |
выработки |
являю тся осесиммет |
||||||||
ричными |
относительно |
вертикальной |
оси у, |
перпендикулярной днев |
||||||||
ной |
поверхности, то рассматриваемая |
задача будет осесимметричной, |
||||||||||
так |
как |
номинальные напряж ения |
в сферических координатах г, 0, а |
|||||||||
(0 — угол широты, отсчитываемый |
от оси у) определяются по форму |
|||||||||||
лам |
(5.107). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание |
2. В случае бесконечной |
горизонтальной |
выработки |
с |
некруговой цилиндрической поверхностью деформация рассматривае
мой насыщенной |
пористой среды, ослабленной такой выработкой, |
||
является плоской. |
Основные |
уравнения плоских краевых задач, их |
|
приближенные решения для |
конкретных |
форм поперечных сечений |
|
иекруговых цилиндрических |
выработок, |
а такж е механические эф |
фекты, характерны е рассматриваемым классам связанных краевых задач, будут рассмотрены в гл. 8 [95, 961.
173
Г л а в а 6
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ
ЭФФЕКТИВНОСТИ МВФГ
П ри разработке приближенных методов и особенно при их |
примене |
нии к решению конкретных задач одним из главных вопросов |
является |
проверка их эффективности и пределов применимости. Эта цель до стигается различными путями в зависимости от необходимостей и воз мож ностей, которые возникают при практической реализации прибли ж енны х подходов. В настоящее время в общем случае не доказан а сходимость М ВФГ средствами функционального анализа. В связи с
этим |
проверка эффективности первого |
и второго |
вариантов М ВФ Г в |
|
различны х |
классах пространственных |
краевых |
задач для кусочно |
|
однородных |
неканонических областей |
проводилась на основе сравне |
||
ния |
полученных приближенных решений для эллипсоидальных обла |
стей с известными точными аналитическими реш ениями, м аж орантны х оценок, исследования практической сходимости процесса последо вательны х приближений, проверки точности удовлетворения краевы м
условиям , а |
такж е |
сопоставления с экспериментальными данными. |
В некоторых |
случаях необходимо проверять такж е точность удовлет |
|
ворения уравнений |
равновесия (например, при решении краевы х за |
|
дач термоупругости |
в случае, рассмотренном в § 4 гл. 4). Однако так |
к а к сходимость итерационного процесса, к которому приводит М ВФ Г, зависит не только от геометрии неканонической области, но и от вида н агрузки, а такж е упругих свойств кусочно-однородной среды и д р у гих факторов, то каждый из перечисленных способов проверки эф фективности М ВФГ может дать точный ответ на поставленный вопрос только для исследуемой конкретной задачи.
П ереносить (распространять) непосредственно полученные выводы на другие краевые задачи рассматриваемого класса без дополнитель ных аргументов нет достаточных оснований. Тем не менее полученные данные и положительные выводы служ ат определенным ориентиром в оценке эффективности и пределов применимости соответствую щ их вариантов МВФГ в рассматриваемом классе краевых задач механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела. Поэтому особое значение имеет разработка способов проверки (оцен ки) точности полученных приближенных решений. Именно такой цели служ ат изложенные в настоящей главе условные маж орантные оценки и критерий оценки точности приближенных решений (общ ая схема исследования практь .еской сходимости).
174
§ 1. С равнение приближ енны х результатов с точными аналитическими реш ениям и д л я эллипсоидальны х областей
Пространственные эллипсоидальные области (среды с эллипсоидаль ными полостями, упругими и жесткими включениями, сплошные и полые эллипсоиды вращ ения) относятся к классу канонических об ластей, допускаю щ их точное аналитическое решение многих краевых задач теории упругости в эллипсоидальных координатах. В то же время эллипсоид вращ ения (при малых значениях эксцентриситета) можно рассматривать как поверхность, близкую к сферической, и, следова тельно, реш ать соответствующие краевые задачи МВФГ. Эта харак терная особенность предоставила возможность сравнения числовых результатов, полученных на основе приближенных и точных анали тических решений для эллипсоидальных областей. При этом выявлено влияние не только геометрии поверхности (эксцентриситета эллипсои да), но и характера нагрузки на скорость сходимости итерационного процесса (сравнительный анализ процентного вклада каждого из най денных приближений в коэффициент концентрации напряжений про веден в случае кручения и растяж ения-сж атия).
Кроме этого исследовано взаимное влияние внутренней и внешней поверхностей толстостенного эллипсоида при их сближении на точность полученных числовых результатов.
1.1. Осесимметричная задача о кручении тела вращения с эллипсои дальной неоднородностью. Рассмотрим задачу об упругом равновесии
при кручении моментом М изотропного цилиндра радиуса |
со |
сво |
|
бодной от напряжений эллипсоидальной полостью, |
ось которой |
сов |
|
падает с осью цилиндра. При этом предполагается, |
что его |
внешняя |
поверхность, а такж е торцы находятся на достаточно большом расстоя нии от поверхности эллипсоидальной полости, так что их взаимным влиянием можно преобречь и реш ать задачу для массивного тела вра щения с малой эллипсоидальной полостью. В такой постановке задача допускает точное аналитическое решение, которое приведено, в част ности, в монографиях [48, 59]. При этом точные значения для напряже
ний о£ф на |
поверхности |
полости (р = |
|
1) |
определяются по формуле |
|||||
Ьт |
— |
УФ |
. |
я |
2 (It - |
О2 |
( р > _ |
2М |
(6.1). |
|
|
— |
Р'Ь |
З ф - 5 |
^ |
+ |
2 \ |
nR‘l |
|||
|
|
|
P=l.v= — |
|
||||||
где |
|
|
arcte/ Ц Е |
! |
|
|
|
|
(6.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ИЛИ |
|
|
|
|
| J |
|
|
|
|
|
‘ = 7 f = r [ , n ( l + | / 1 - |
|
|
|
|
|
В формулах (6.2), (6.3) р* — радиус кривизны поверхности эллипсоида
р = 1, который при у = |
я /2 |
имеет вид |
|
|
|
о* I |
= |
I1+ е)а |
(о — |
а ~ ь |
(6.4). |
Р lp=l,V= - j |
|
1— Б |
\ |
fl-f6 |
|
причем а, b — полуоси эллипсоида |
вращ ения. |
|
175-
8
0,2
—0,2
0,333
—0,333
в
0,2 - 0 ,2
0,333
—0,333
0
0,25
■9
1,137
1,437
1,087
1,633
kL S0S
1,137
1,437
1,087
1,633
*Т
па
7,0
2,8
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
6.1 |
||
*<о> |
|
КУФ |
Д®. % |
J2) |
А®, % |
||
А®. % |
УФ |
||||||
УФ |
|||||||
1.25 |
9,9 |
1,107 |
2,6 |
1,142 |
0,4 |
|
|
1.25 |
13.0 |
1,393 |
3,1 |
1,428 |
0,6 |
|
|
1.25 |
15.0 |
1,012 |
6.9 |
1,110 |
2,1 |
|
|
1.25 |
23,5 |
1,488 |
8.9 |
1,586 |
2,9 |
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
6.2 |
||
ь(0> |
д®, % |
ь0) |
Д®, % |
ь(2) |
Д®.% |
||
Ksa |
Ksa |
sa |
|||||
1.25 |
9,9 |
1,108 |
2,6 |
1,152 |
1.3 |
|
|
1.25 |
13.0 |
1,392 |
3,1 |
1,436 |
0,1 |
|
|
1.25 |
15.0 |
1,013 |
6,8 |
1,134 |
4.3 |
|
|
1.25 |
23,5 |
1,487 |
8,9 |
1,608 |
1.5 |
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
6.3 |
||
t (0) |
Д®. % |
А® |
Д®. % |
*0) |
А®. % |
||
па |
псс |
па |
|
|
|||
5,0 |
28,6 |
7,20 |
2,9 |
7,03 |
0,4 |
|
|
2,5 |
10,7 |
2,88 |
2,8 |
2,82 |
0,7 |
|
Приближенное аналитическое решение указанной задачи, получен ное с помощью первого варианта МВФГ (см. гл. 2) с точностью О (е3),
д л я определения напряжений aljq, приводит к формуле [101]
1,25 — 0,7143е + 0,8842е2. (6.5)
П ри этом поверхность эллипсоидальной полости описы вается на основе
-конформно |
отображающей |
функции (2.174) при |
f (£) = |
p ~ le~ lv, е |
= |
|||||||
|
В табл. 6.1 приведены |
числовые значения для |
коэффициентов кон |
|||||||||
центрации |
напряжений |
Ауф[48] |
и feljq,, полученные на основе формул |
|||||||||
(6.1), |
(6.5). |
Н аряду с |
этим |
приведены |
погрешности (в |
процентах), |
||||||
т. |
е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A*0, % = |
|Av |
d |
~ |
0 100 % |
(л = о, |
1, |
2), |
(6.6) |
|
|
|
|
|
|
*V<p |
|
|
|
|
|
|
|
где |
k%, ky<l и k$> соответствуют одному, двум и трем |
членам полинома |
||||||||||
(6.5). При этом значениям е > |
0 (а~ > Ь) отвечают вы тянуты е, а е < |
О |
||||||||||
'{а < |
Ь) — сжатые эллипсоиды |
вращения. |
|
|
|
|
.176
Приведенные числовые значения показывают, что при решении
задачи с точностью |
О (е3) |
погрешность не превышает 3 % |
при | е | ^ |
0,333. Примерно |
такая |
ж е погрешность получается для |
| е | < 0,2 |
при решении задачи |
с точностью О (е2). |
|
В работе [106] на основе второго варианта МВФГ (гл. 3) получено с точностью 0 (е3) приближенное аналитическое решение задачи об упругом равновесии при кручении моментом М изотропного цилиндра
радиуса |
с упругим |
неканоническим |
включением |
при идеальном |
||
контакте на |
поверхности раздела |
S . В |
частности, |
уравнением г = |
||
= 1 + е cos 20 при |
малых положительных значениях параметра е |
|||||
достаточно хорошо описывается поверхность S , близкая к вытянутому |
||||||
эллипсоиду |
вращ ения |
с |
полуосями |
а = 1 + е , b = |
1 — 8. В случае |
поверхности раздела в виде сжатого эллипсоида вращения необходимо
заменить в на — е. |
Получено решение для произвольных отношений |
|||
G JG X(Gx — модуль |
сдвига |
вклю чения, G2 — цилиндра), которое в |
||
частности, при GJGX = |
0 отвечает жесткому включению, а при G2/Gx = |
|||
= оо — цилиндру |
со |
свободной от |
напряж ений полостью. Так как |
|
согласно второму |
варианту |
М ВФГ |
задача реш алась в сферических |
|
координатах г, 0, а |
(а — угол долготы), то на поверхности раздела S |
(со стороны цилиндра) определялись напряж ения опао, 0sa.2 по форму лам
Ода,2 — (0га,2 + Ora) tlr ~Г (06а,2 _г 00а) По, |
(6-7) |
||
Л |
/ч |
||
|
|||
0sa,2 = (Р0а,2 "Ь 0(Эа) Пг |
(Ога.2 ~Ь 0ra) flQ, |
|
где от , 00а — компоненты, соответствующие номинальному напряжен
ному состоянию |
при |
кручении; пг, по — направляющ ие косинусы |
||
единичной |
нормали п к |
S (s — касательная к S). |
|
|
В табл. 6.2 приведены числовые значения коэффициентов концент |
||||
рации |
(л = 0, |
1 ,2 ) |
на поверхности полости (0 = л /2, GJGX= |
00) |
в тех ж е обозначениях, которые приняты в табл. 6.1. |
|
|||
Числовые данные табл. 6.3 отвечают случаям жесткого {GJGX= |
0) |
и упругого (Ga/Gj = 0,25) включений, поверхности которых описывают
ся указанным выше уравнением при s = |
0,077. Д л я |
сравнения приве |
||
дены |
точные значения коэффициентов |
концентрации напряжений |
||
kla |
148]. |
|
|
|
1.2. |
Осесимметричная деформация |
среды с |
эллипсоидальной о- |
лостью. Рассмотрим задачу об осесимметричной деформации (без кручения) упругой изотропной среды с эллипсоидальной полостью, на ходящейся под действием всестороннего растяжения-сжатия интен сивности а0 (о0 > 0 отвечает растяжению , а о0 < 0 — сжатию). Точ ное решение этой задачи получено в работе [149]. Соответствующие ему
напряж ения 0yV и |
в сечении р = |
1, у = л/2 определяются по фор |
мулам |
|
|
р=1,у=я/2 |
= - k r (2 (1 + v ) - с ( 2 ^ + 2v + 7 У 4- |
|
|
|
|
|
"Ь 1 ~f* |
"Ь 2v]f |
177
|
fveTi |
фф |
|
= |
- ^ r |
{E1 [2 (l |
+ |
v)c321 - c ( | 1 + |
6 + |
(6.8) |
||||||
|
фф — |
p=1,V=n/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
+ |
4v (2£j — 1)) + |
4v£x + |
3j |
+ |
2 (1 |
v)}, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N ' |
= - ( \ |
+ v ) c 2i l + |
c [ i ? - 2 |
( l - v |
) | 1H |
- | 1 + |
|
1 — |
v. |
(6.9) |
|||||
При |
этом |
величинам с и |
|
соответствуют выражения |
(6.2) — (6.3). |
|||||||||||
Приближенное аналитическое решение этой задачи |
получено |
в р а |
||||||||||||||
боте |
[63] с |
помощью первого варианта МВФГ с точностью |
О (е3). Н а |
|||||||||||||
его |
основе |
вы раж ения для |
определения |
напряжений |
а" |
и |
ст£ф вдоль |
|||||||||
экватора эллипсоидальной |
полости |
имеют |
вид |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
3 |
|
6(2 — v) |
|
2 4 (1104 — 131 lv + |
285v2) |
|
|||||||
|
Р=1,Т=Я/2 |
2 |
е |
7 — 5v |
+ е |
|
35(7 — 5v)2 |
|
(6.10) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 , „ 6 ( 1 — 2v) |
, |
.2 4(— i n + |
1389v— 1200v2) |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
р=1/у=я/2 |
2 |
7 — 5v |
+ е “ |
|
|
35(7 — 5v)a |
|
|
|
||||||
Если по аналогии с (6.8) коэффициенты концентрации |
k{[f определять |
|||||||||||||||
по |
формулам |
а(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
k u ~ l) - f е" |
|
|
|
(6.11) |
|||||
|
|
|
и0 |
Р=1 |
|
|
7и |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р=1,7=я/2 |
|
|||||
|
|
|
|
( « > |
1, |
i = |
Y* ф)> |
|
|
|
|
|
|
|||
то их погрешностями Д |
( в |
процентах) |
будем |
считать |
величины |
|||||||||||
|
|
|
Д Г \ |
% |
= |
1*“ ~ - и 1 |
100 % . |
|
|
|
|
(6.12) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
ku |
|
|
|
|
|
|
|
|
В табл. 6.4 наряду с точными значениями коэффициентов концентра
ции напряж ений kru (/ = у, ф) 1149] |
приведены их |
значения k?i в |
||
первых трех |
приближениях (я = 0, |
1, 2), а |
такж е |
соответствующ ие |
погрешности |
Д f , вычисленные по формуле |
(6.12). |
|
|
Сравнение |
числовых результатов |
в табл. |
6.1, 6.2, 6.4 показы вает, |
что вид внешней нагрузки оказы вает влияние на скорость сходимости
М ВФГ. |
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
6.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
е |
‘Т* |
ка |
4°>.% |
AU> |
4 l). % |
а<2. |
*fK% |
|
Rii |
|
|||||||
0,172 |
1,266 |
|
i = |
У |
|
|
|
|
1.5 |
18,5 |
1,182 |
6,6 |
1,264 |
|
0,2 |
||
—0,172 |
1,915 |
1.5 |
21,7 |
1,818 |
5,1 |
1,900 |
|
0,8 |
—0,268 |
2,265 |
1.5 |
33,8 |
1,997 |
11,8 |
2,197 |
|
3,0 |
0,172 |
1,598 |
|
t == ф |
|
|
|
|
|
1.5 |
6,1 |
1,575 |
1,4 |
1,597 |
|
0,1 |
||
—0,172 |
1,452 |
1.5 |
3,3 |
1,425 |
1,9 |
1,447 |
|
0,3 |
—0,268 |
1,461 |
1,5 |
2,7 |
1,383 |
5,3 |
1,437 |
|
1,6 |
178 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 6.5 |
|
|
Р= 1 |
|
|
Р = Р| |
|
Pi |
ДО) |
Д2) |
kT |
Л0) |
% |
|
*« |
ям |
ки |
Rii |
|
|
i = |
у, ер; у = |
0 |
|
|
1,01 |
40,438 |
50,003 |
40,543 |
|
1,05 |
8,455 |
10,016 |
8,465 |
|
1,10 |
4,454 |
5,032 |
4,460 |
|
1,20 |
2,469 |
2,560 |
2,455 |
|
1,30 |
1,803 |
1,753 |
1,790 |
|
1,50 |
1,270 |
1,132 |
1,263 |
|
2,00 |
0,877 |
0,714 |
0,876 |
|
3,00 |
0,710 |
0,558 |
0,711 |
|
1,01 |
39,797 |
50,003 |
II |
-ч» II |
40,050 |
||||
1,05 |
7,807 |
10,016 |
7,945 |
|
1,10 |
3,818 |
5,032 |
3,922 |
|
1,20 |
1,843 |
2,560 |
1,908 |
|
1,30 |
1,206 |
1,753 |
1,249 |
|
1,50 |
0,733 |
1,132 |
0,756 |
|
2,00 |
0,448 |
0,714 |
0,457 |
|
3,00 |
0,357 |
0,558 |
0,361 |
|
|
|
|
‘ = |
ф. У = |
1,01 |
54,483 |
50,003 |
52,628 |
|
1,05 |
10,971 |
10,016 |
10,665 |
|
1,10 |
5,541 |
5,032 |
5,426 |
|
1,20 |
2,837 |
2,560 |
2,807 |
|
1,30 |
1,947 |
1,753 |
1,938 |
|
1,50 |
1,257 |
1,132 |
1,262 |
|
2,00 |
0,795 |
0,714 |
0,797 |
|
3,00 |
0,625 |
0,558 |
0,626 |
39,165 |
49,503 |
39,300 |
7,224 |
9,516 |
7,262 |
3,293 |
4,532 |
3,320 |
1,399 |
2,060 |
1,420 |
0,811 |
1,253 |
0,824 |
0,386 |
0,632 |
0,390 |
0,126 |
0,214 |
0,126 |
0,034 |
0,058 |
0,034 |
to |
|
|
39,786 |
49,503 |
39,775 |
7,789 |
9,516 |
7,701 |
3,793 |
4,532 |
3,719 |
1,798 |
2,060 |
1,755 |
1,132 |
1,253 |
1,106 |
0,598 |
0,632 |
0,587 |
0,211 |
0,214 |
0,210 |
0,060 |
0,058 |
0,058 |
я/2 |
|
|
53,882 |
40,503 |
51,969 |
10,375 |
9,516 |
10,019 |
4,951 |
4,532 |
4,796 |
2,257 |
2,060 |
2,202 |
1,373 |
1,253 |
1,347 |
0,688 |
0,632 |
0,680 |
0,230 |
0,214 |
0,229 |
0,061 |
0,058 |
0,061 |
1.3. Деформация полого эллипсоида вращения под действием внут реннего давления. Точное аналитическое решение задачи о напря женном состоянии полого изотропного однородного упругого эллип соида вращ ения, находящ егося под действием внутреннего давления интенсивности р , получено в работе [44] в эллипсоидальных координа
тах |
Ti, ф. При этом внутренней S 0 и внешней |
поверхностям эл |
|
липсоида отвечают значения £ = £0 и £ = |
liПриближенное аналити |
||
ческое решение этой задачи, построенное |
с помощью первого варианта |
М ВФГ с точностью О (е3), приведено в работе [53]. При этом внутрен
ней S 0 и внешней S t координатным |
поверхностям эллипсоида |
враще |
||||||||
ния соответствуют значения р = |
1 и р = |
рг. Д ля возможности |
сравне |
|||||||
ния числовых |
результатов, полученных |
на |
основе двух |
различных |
||||||
подходов, |
установлена взаимосвязь |
|
|
|
|
|
||||
|
|
ch £о — |
1 + е |
ch |
= |
|
Р] + е |
|
(6.13) |
|
|
|
2 1 /1 ’ |
2 1^1р, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Числовые |
значения |
для |
коэффициентов |
концентрации |
напряжений |
|||||
k)j = о}//р |
и |
kfj = |
(of/ + |
го1}} + |
£2ofJ)/p |
на |
внутренней |
(р = 1) и |
179
внеш ней |
(р = |
рг) поверхности изотропного эллипсиода |
получены при |
|||||||
е = Vg, |
v |
= |
0,25» |
7 = 0, Jt/2. |
|
|
|
|
|
|
А нализ |
числовых |
результатов, |
приведенных в табл . |
6 .5, показы |
||||||
вает, |
что |
при решении указанной задачи с точностью О (е3) д л я отно |
||||||||
сительно |
тонких оболочек (1,01 ^ |
рх ^ |
1,05) м аксим альная погреш |
|||||||
ность, вычисленная по формуле (6.12), не |
превышает 3,6 |
% (для при |
||||||||
нятых |
числовых значений величин |
е, |
v, р и у). Д л я |
толстостенны х |
||||||
оболочек |
(2 ^ |
pj ^ |
3) максимальная |
погрешность при |
реш ении у ка |
|||||
занной |
задачи |
с точностью О (е3) не |
превышает 2 % (табл. 6.5). Это |
|||||||
свидетельствует о том, что при уменьшении параметра |
толщ ины рА |
|||||||||
(при сближ ении внутренней р = 1 |
и |
внешней р = рх |
|
поверхностей |
эллипсоида) их взаимное влияние увеличивается и, следовательно, уве личивается погрешность Д* (i = 7, <р). Несмотря на то что рассм атри ваемый полый эллипсоид вращ ения незначительно отличается от соот ветствую щ ей полой сферы (отношение полуосей alb внутренней эллип соидальной поверхности равно 1,25), отличие числовых значений коэф фициентов концентрации для сравнительно тонкой эллипсоидальной
оболочки и |
для |
соответствующей сферической оболочки достигает |
|
3 1 ,7 % |
(1,01 |
< |
f t < 1,05). |
При |
р^ —►00 |
решение рассматриваемой задачи для толстостенного |
эллипсоида вращ ения стремится к соответствующему реш ению задачи для бесконечной среды с эллипсоидальной полостью, находящ ейся под внутренним давлением интенсивности р . Д ействительно, последняя задача аналогична рассматриваемой в п. 1.2 для среды с эллипсоидаль ной полостью , находящейся на бесконечности под действием равном ер ного всестороннего растяж ения-сж атия. Следовательно, на основе фор мул (6.10) (если вычесть вклад номинального напряж енного состояния)
для |
сл учая, |
когда эллипсоидальная полость |
в среде находится под |
|||||
внутренним |
давлением при р = |
1, у = |
п/2, |
получаем |
|
|||
|
|
|v=a>,25,e*s1/> = |
0,331, |
&<рф |v=o,25,e=1/» = 0,565. |
(6.14) |
|||
При |
этих ж е параметрах |
на внутренней |
поверхности |
(р = |
1) толсто |
|||
стенной эллипсоидальной оболочки (рх = |
3) согласно |
табл. |
6.5 имеем |
|||||
|
Ауу |v=0,25,e=V* = |
0,361» |
^чрф |v=0,25,e=V» == 0,626, |
(6.15) |
т. е. отклонение результатов, приведенных в (6.14), от соответствую щ их
данных |
в (6.15) составляет |
9,1 % для k $ |
и 10,8 % для кщ,, |
если за |
||
100 % |
принять их значения, указанные в |
(6.14). Т ак как при |
увели |
|||
чении |
параметра толщины рх числовые значения величин, приведенных |
|||||
в табл. |
6.5, уменьшаются, то указанные отклонения числовых значе |
|||||
ний |
вполне |
объяснимы. |
|
|
|
|
§ 2. |
Условные м аж орантны е оценки |
|
|
|||
Сравнение приближенных |
результатов исследований с точными ана |
|||||
литическими |
решениями хотя и является |
необходимым ориентатором |
в оценке эффективности развитых приближенных методов, однако его недостатком является то, что оценки и выводы, полученные на основе
180