книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела

или другую эквивалентную форму

е ш = ~ Щ ~ (а ^

----- Щ Т Щ - a ^ j +

* iT $ ih

(4.62)

Компоненты Oij,i и е*/,; аналогично

(4.58)

состоят

из двух

частей:

0 |/,/ ~ Oif.t

Gij.h

&if,I ~

&ij,l ~j~ &ij,h

(4.63)

тельно, определяю тся

через термоупругий потенциал Vt на основе

(4.59) (температурные

члены в (4.61), (4.62) отвечают тепловому

рас­

ш ирению /-го слоя, т. е. без учета его термоупругой деформации

е*и).

согласно определениям (гл. 2— 3) одну и ту ж е

поверхность S можно

считать ортогональной (если она совпадает

с координатной поверх­

мы координат

р, у, а у ) и неортогональной (если исследования прово­

дятся в другой

криволинейной ортогональной системе координат, на­

цилиндра описываются уравнениями (2.121), (2.124),

а много­

слойного тела вращ ения — уравнениями (2.175), (2.177).

Исследова­

ния термонапряж ениого состояния рассматриваемых тел

будем про­

на граничных поверхностях S 0, S n заданы

перемещения

vt-,о, v/tN (/ =

= р, у, аз-) или напряж ения тр/|0, Тр/,#, то

(ввиду того,

что 5 0 и Sn

являю тся

координатными и, следовательно, в системе криволинейных

ортогональны х

координат р, у,

а у описываются

уравнениями

р =

= р0 =

1 и р =

рn) граничные условия имеют вид

(«/,1 + M/,i)p=Po — Vj'O,

(u},N + U/,n)p=pn

= Vj,N>

(4.64)

или

(Op/,1 4- <Tp/,l)p=Po — Tpy.o,

(°p/,iV 4- Op/,iv)p=p,v — Тф/.Л'-

(4.65)

Кроме

этого на одной из поверхностей 5 0, S n могут быть заданы

пере­

мещ ения,

а на

другой — напряж ения. В данном

случае граничные

у с л о в и я

на

н и х б уд ут

п р ед ставл ять

определенную

ком бинацию у р ав ­

н ен и й вида

(4 .64),

(4.65).

У сл о ви ям и

со п р яж ен и я l-то и

(/ 4

1)-го слоев

в рассм атриваем ом

с л у ч а е

соответственно

будут:

при

идеальн ом

кон так те (м еж ду

слоям и

осущ ествляется

полное

сц еп лен и е)

(M/.f 4

U/.l)p=pj — (М/,/4-1 4

W/,i+l)p=p/»

(4.66)

(Цр/./ 4

<Jp/,/)p=pi = (^p/.i+i

4

^p/./+i)p=pj

(/ — Р» Y* «в');

при

н еи деальн ом кон такте (м еж ду

слоями

возм ож но проскальзы ­

в ан и е

без

отры ва)

(ир.1 4* wP.i)p=Pj =

(Mp,/+i 4

Up,/+i)p=p^

(^рр,/ 4

<?рр,/)р=р1 ~

(opp,/+i 4

°fpp,/+i)p=p/»

(4.67)

(CTpv./ 4

°PY.*)p=P/ = 0»

(°гРУ./+1 4

Gpv,l+l)p=Pi — О*

(Ора3- 4

°ра3-)р=р( ~

(Стра3-Л-Н

4 °ра3-,/-|-|)р=р/ =

0.

П ри

этом а 3< =

| в случае многослойных

цилиндров и ад- =

<р в сл у ­

чае

зам к н уты х

многослойных

толстостенны х оболочек

вращ ения,

ны ком поненты , отвечаю щ ие общему реш ению однородных

уравнений

равн овеси я (4.56), а звездочкой — частному реш ению этих

уравнений,

соответствую щ ем у тем пературном у полю Т, (I = 1, 2, ...,

/V). П ереме­

щ ения

Uj,i и

н ап р яж ен и я a t/l/

будем искать

в виде рядов

к,.г =

X

а ш

=

Е

(*» /' = р,

у, а 3-; 1 = 1 ,2 ,

. . . . N).

л—0

п=0

(4.68)

Компоненты

в произвольном

приближении

определяю тся

по форму­

лам (2.157),

(2.158)

(в

случае

многослойных некруговы х

цилиндров)

и (2.188), (2.189) (в

случае многослойных

толстостенных

оболочек

(4.64), (4.65) в произвольном

приближении будут следую щ ими:

u fl |»-р„ = *

-

Б

[ Л Г " " и ,7 + A f - 't t S ? W .

к

rn Q

fi

m=0

/7—1

«0Ч |р _ р . =

<

’» -

Б

,

(4.69)

R

m=0

„(*)

I

_

Л—l

a (n—m)

(m) I

V

^ot3f/ lp=p. — V<x,yji — 2j

л 1

Ua-sA Ip—

ИЛИ

m—0

< J Ip-p, - C « - £

[ л Г " 'С !

+ A ? - “ >( o f t

- 0*5) + л Г ^ У Й

Ь , t ,

m=J

(S0 ~

l =

1, k =

0;

S n ~

l — k =

N).

Если на одной из поверхностей

5 0, 5 ^ заданы перемещения, а на дру­

гой напряж ения,

то

краевые

условия

в

произвольном

приближении

будут

представлять

определенную

комбинацию

уравнений

(4.69)

(4.70).

У словия идеального

контакта (4.66) в произвольном

приближении

на поверхности раздела S, (р =

р,,

/ =

1, 2, ...,

N —

I) примут вид

[«Я -

ий+О р-р, =

-

2

{ л ? - ” ’ [ 4 ?

-

* " + .) +

т=0

+

л

Г

” ’ [ 4 ?

1 4 3 — 4 3 + , к -» , = -

s ' (Л Г " > [« S ’ - 4 У + . 1 -

171=0

- л

Г

" ’ !4

? -

4

” V,])»-»,.

\Ua],l — Wai/-)-1]p=P/ ~

—

S

Л-1

*

Uas!/+l]p—pj>

(4-71)

т=0

№

-

а ^ +1]р=р. =

-

S

{А?~т) [ a $

-

o*3+i 1 +

Л Г "т) Л

-

1

т=0

-

о й + н

-

(4 Й

-

4 Й + 0 1 +

л Г

" 1[ 0 »

-

0 ® + |]Ь ,-р ,,

IOr$.i — сГгв),г+г]р=р/ =

—

S

[М ”- т ) [в?в,1 — Grcw+i] +

+ 4

Лз"- " ’ 1 0 »

-

0 » + , -

(0 Й

-

0Й + ,)]р -р,.

[0Ж..< -

о Я . ,+ ,1 ^ ,

=

-

2

( л Г " »

[0® ., -

C V h I +

1

т = 0

+

Л ? - ” 1 [ о » , — 0Й ’„|+|11р-р,

( / -

1, 2 ............Л Г - I).

° 'Z + , u , = -

S

( л ! Г " '’° ® + . +

4 -

^

[с® + ' - а Я + 1,}р-р, •

m=0 ^

1

(4.72)

о‘™ , U

,

=

-

Б . [ Л ? - “ 'а Г ,., +

Д Г

m=0

ti—l

ОЙ../+. I„-P, =

-

S l A T C

t !

+

M " - % ffi.;+ i]p - o r

m=0

согласно (2.162),

(2.190),

(4.58),

(4.63) представляю т зависим ости

дЙ? = и ° Т

(р, у,

«зО +

и ; Т

(р,

у. «зО»

• • • .

=

=

< ©

(Р> V» а з0 +

° о £ / (Pi Ъ

а з')>

(4 -73)

При

этом

составляю щ ие

u?jn) (р, у, а 3')»

.

(р> V»

а з0 соответст­

вую т

общим

реш ениям

однородных

уравнений

равновесия

(4.56)»

a

u * f } (р, у, а 3'),

,

а е £ |/ (р, у, а 3<) —

частным

решениям

уравнений

(4.56)

в

круговы х

цилиндрических

(сс3 =

z)

или

сферических (а 3 =

=

а )

координатах,

в

которых формально заменены

переменные г,

0,

г на р, у , Ъ, а г, 0, а

на р, у, ср. Дифференциальные

операторы A*rt) (k

=

= 1 , 2 ,

..., 6),

входящ ие в

условия (4.69) — (4.72), в

общем

случае

имеют вид (2.161), а в некоторых частных случаях — (2.173).

Т

е м

п е р а т у р н о е

п о л е

з а д а н о

в

в и д е

Т ( = Т ( (р,

у, аз-)-

П редполож им теперь, что функция Т {, описываю щ ая тем пера­

турное поле 1-то

слоя

составного

тела

с

граничными

поверхностями

S 0, S N и

поверхностями

раздела S t (I =

1, 2,

...,

N

—

1), известна

из

реш ения

соответствующ ей краевой

задачи теории

теплопроводности

в

форме

7) =

Т, (р,

у,

а 3'). Тогда

если

возможен

обратный

переход

к координатам г, 0, а 3

(а 3 =

z или

а 3 =

а ), то для этого случая мето­

д и ка

реш ения

краевы х

задач

стационарной

теории терм оупругости

излож ена выше. Если

ж е такой

переход

невозможен

(или слиш ком

гром оздкий),

то для

реш ения

поставленной задачи

предлагается сле­

дую щ ий

подход.

В

случае

слоистого

изотропного

тела

уравнения

равновесия в

компонентах

перемещений

u/,i

согласно

(2.13)

примем

в

форме

1 — У/

_[___ _________ 1

Г

а (Я3со3|/)

д (Ягш2 <)

]

1 — 2v^

ffj

fl®!

HjWj

|_

da2

3oij

J

+

- щ

- К и

=

0

0

, 1

3).

(4.74)

Здесь согласно (2.99), (2.102) компоненты

Ki.i вы раж аю тся

через тем ­

пературу T t

по

формуле

1

г,

1 +

V,

~

1

дТ,

- Щ - К U =

1 — 2vj

щ ~Н~ ~да~ •

(4 -75)

ты а / (/ = 1, 2, 3) принимают значения

а х

=

р, а 2 =

у, а 3 = £ (для

слоистых некруговых цилиндров) и =

р, а

2 =

у, а 3 =

ф (для слоистых

тел вращ ения,

близких

к сферическим). Объемное

расш ирение et =

=

div Uj связано

с

перемещениями

u /j

соотношением

<?/ =

1

д (НгН3ии )

d(H iH su,y[)

д (Я1Я 2м31)

(4.76)

и ,н гн 3

дах

+

------ Ш

Г ^

+

Д еф ормации ец,1 вы ражаю тся

через

перемещения

иы

по формулам

1

диI,/

дН,

дНг

£ц./ =

даг

+

Я ,Я 2

да2 Uo I

1

Я гЯз

дал Щ,ь

(4.77)

Н2

д

Si2,l =

' Hi

да1

+

0 .2 .3 )

Компонентами ш,-,/ вектора вращения о»/ =

у

rot щ согласно (2.11) будут

5 (Н3w3t/)

^

2W2,/)

3).

®м

2я 2Яя

[

<?а2

] (1 ,1 ,

дс^-----(4-78)

В (4.74) — (4.78) и далее в § 4 индексам

1, 2,

3 соответствует р, у, а 3

(а 3 =

£ или а 3 =

ф),

а символ

(1, 2, 3) означает, что два других урав­

нения

получаются

из

приведенных

круговой

перестановкой индексов

1,

2,

3.

П редположим,

что граничные поверхности S 0,

Sfj

и поверхности

раздела

S,

(I =

1, 2,

...,

N — 1) совпадают с

координатными поверх­

ностями

соответственно р =

р0, р =

рл) и р =

р{ криволинейной

орто­

в случае некруговы х цилиндрических

поверхностей

х =

р cos у +

* h (р,

Y)> г/ =

р sin у - f е/2 (р, у), г = %\

(4.79)

в случае

поверхностей

вращ ения

х =

[р sin у +

е /2 (р,

у)] cos ф,

(4.80)

у =

[р sin у - f

е /2 (р,

у)] sin

ф, г =

р cos у +

еД (р,

у).

Здесь

___

___

U (Р, V) =

t ' f ~

•

f* (P,

V) =

■

(£ =

p / v).

(4.81)

Краевые условия на

поверхностях

5 0 (р =

р0) и S n

(р =

p/v) при за­

вид (4.64) и (4.65), а условия

сопряж ения

— (4.66)

или (4.67).

При

этом компоненты

и%,

оД/ отвечают общему решению однородных

уравнений равновесия

(4.74),

a u*.i,

ст’/,/ — частному

решению

не­

однородных уравнений

(4.74) с объемными силами (4.75), причем век­

тор перемещений и/ определяется по

формуле (4.59) через термоупру-

гий потенциал Vlt

который удовлетворяет уравнению

Пуассона

1

д

( Я 2Я3

—

Н3Нг

dV

д аt

\

Hi

f-

da2

daa

V

+

д

(

Я ,Я 2

£ М

‘

1

v

(4.82)

д&з

\

Нз

да3

/.

L ^ T t.

1 — v

П ри этом парам етры Л ам е Н { определяю тся по

ф орм улам

(2.7)

и &

случае

некруговы х

цилиндрических

поверхностей

на

основе (4.79)

имею т

вид

Я , = У

1 +

вФ , (р, V) + е1Ч ', (р,

у).

W , “

p V ^ l + е Ф а (р, v) +

e2,P a (p, V),

Н

, =

1.

(4.83)

П р и рассмотрении

поверхностей вращ ения

на основе (2.7), (4.80)

вы ­

р аж ен и я д л я

парам етров

Н г и Н 2 по форме совпадаю т

с (4.83),

а Н 3

оп ред еляется

по

ф ормуле

Н а = р sin у +

е/з (р, у).

(4.84)

В (4.83) ф ункции

Ф й (р, у) и

(р, у)

(k =

1; 2) таковы :

ф 1 (Р. У) = 2 ( Л

.

cos V +

T f - s i n v ) .

V i (p. V) =

( - f r ) ’ +

( ' e ^ ) ’

(4.85)

® . (p. t ) -

- f

(■ % - cos y ■~

- Щ - sin v ) .

О чевидно,

что

получить общее реш ение уравнений

равновесия (4.74)

и частное реш ение уравнения

(4.82) в

переменных р, у,

а 3

непосред­

ственно

не

представляется

возможным. В связи

с этим

перемещ ения

u /j и н ап ряж ен и я

ac/j

будем искать в виде

рядов (4.68). Кроме этого

представим

параметры

Л ам е

Н } и

обратные

им

величины

H J X — h f

в форме

OQ

ОО

Я / =

S

е " # Г ,

h , =

£

»”A f .

(4.86)

n=0

ft=0

где на основе (4.83) имеем

я!°> = 1,

M 0) =

p,

(4.87)

п

k

л

£

я

Г

- 2

M -’ - p S

S

4

2Jn

(* +

т =

я > 1 ) .

k=l m=0

fe=l m=0

h f

=

£

£

< & ,

АГ> -

4 -

i

£

C & ,

( и -

m =

л >

0).

k=0" m=0--- л

p

b0m =0

Здесь

Л M

— (__1 \*-H

k I (2k — 3) 1!

»iWrm

1}

~m \ (k — m)l (2k) II

Ф /

T / '

(4.88)

Cbln = (— П* -

fe'(2fe— 1)11

m

( / = 1 , 2 ) .

ft,m

'

'

m I (k — m)\ (2ft) И

V

Коэффициентами разлож ений параметров Я 3 и h3 = Я Г 1 в ряды

(4.86}

согласно (4.84) будут

Яз0) = р sin у, Н з( ] = / 2, Hin) = 0 (п > 2 ) ,

(4.89}

|е (Ф / + в ^ ) | < 1 ,

e - J - < 1 ,

(4,90)

У

Согласно (4.61) они

связаны меж ду собой соотношениями

о*}"} =

8 (/1

— (ЗА* + 2р./) а/Г /л>].

(4.92)

Б произвольном

приближении краевые условия

(4.64), (4.65)

будут

им еть вид

+

W/.<r >]p=Po =

+

u/.jV)]p=pA/ — vfhy

(4.93)

или

тпт

,

„*(11)1

An)

0(tt)

*<«>!

r('0 .

гт

ГггиЧЧ _i_ rr'VVl

__t v‘V

(4.94)

l^p/.l

"Г °p/.l]p=p0 =

Tp/.0«

l°p/./ +

a P/.i]p=PW — TPJ,N

(4.95)

при неидеальном

контакте

Г,.°(л)

|

,*</«).

_ г„0(п)

,

*(п)

,

1ирЛ

+

uo.l Jp=р( —

+

u p.H-iJp=P/*

l^PP,/ +

°рр,/]р—p; — [°pp,/+l

I CTPP.Л-1]p=pf*

(4.96)

rJ(n)

I

_ n

I

rr*<,l)

1

—

l<TpY,/+l

I

0,

l^PY.f "T~ OpY,/]p=p^ — U*

®PY.i+'Jp=P/ —

t„ m

I „»(«)

i

_л

r„o(n)

+ln\

l^paj,/ "Г ^раа.Мр=р, — U,

ICTpaj.i

ю тся из

краевы х

условий соответствующих приближений). Состав­

ляю щ ие

U / j \

соответствуют частному

решению неоднородных

уравнений (4.91)

с условными объемными

силами, которые зависят

ж ен и ях .

4.2.

Неортогональные

поверхности раздела. Предположим, что в

результате

реш ения соответствующей

краевой

задачи

теории тепло­

проводности,

рассмотренной

в

§ 3 гл.

4, определено

температурное

поле Т 1 (г, 0,

а 3) многослойного тела

с поверхностями раздела S t и

граничными поверхностями

S 0, S n , которые описываются

уравнения­

ми (4.35). При этом a 3 = z для

поверхностей

S h S 0,

S n ,

близких к

круговым

цилиндрическим,

и а 3 = а для поверхностей вращ ения S [t

S 0, S n , близких к сферическим.

нородным и изотропным)

при

заданны х на граничных

поверхностях

5 0, S n, перемещениях

o/.i,

v/,n

или усилиях

t /fi,

Т/.д/.

Следователь­

но, граничные условия

на S 0, S n

будут иметь

вид

(« « + 4 i ) s k = vi>k

(ft = 0, JV;

1 = 1

,

N),

(4.97)

(1

г , 2

0,

3 1'*' oigj

Sq

k — 0, l =

1 j 5д/

k = l =

iV).

Возможны случаи, когда на S 0, S/v заданы другие условия,

представ­

ляю щ ие

некоторую

комбинацию

уравнений

типа

(4.97), (4.98). Если

поверхности

S 0, S N свободны от

напряж ений, то

в (4.98) следует по­

лож ить

т/,/, =

0

(к = 0,

N).

У словиями

сопряж ения

на

поверхности

раздела S t будут следую­

щие:

при

идеальном контакте

(tif.i +

Ufj)s[ — («/,/+1 +

w/,/+i)s/

( 1 = 1 , 2 ,

, N —

1),

з

<4- " )

^

(<*?/./ +

Gii.l) Ki.l ^

(a f/./+l

+ a i{.l+\) Ki,l Is/»

при

неидеальном

контакте

(w?,/ +

Mi,i)sl =

(w?,/+1+ Wl.l+Os,»

3

3

£

(0°il,t +

Ofl,/) tlij

|s

=

S

(°П./-Н

+

Щ,1 |s,»

i=l

1

i= 1

1

3

3

£

(а Ш

+

a i2,l) Hij |s, =

0,

$]

(<*£2,1+1 +

<*i2,t+l) Пи |s, =

0, (4.100)

i—l

i=l

1

3

3

£

(°Ш

+

<7t3,/) П и |s,

=

0,

2

(®ЧЗ,/+1 + 0Tf3,/_f_i) Пи Is. =

0

i= 1

‘

t= 1

1

(1 ~

r, 2 ~

0, 3 •—■w3; / = 1 , 2 ,

, N — 1).

П ри этом в уравнениях

(4.97) — (4.100)

нуликом отмечены

составля­

новесия, а

звездочкой — частному решению

неоднородных уравне­

ний (4.56).

Ввиду сложности поверхностей S lt

S„, Sn, описываемых

«/.| =

£

Л Я .

>4д

= £

е"о & .

(4.101)

п=О

/1=0

»(л)

Компоненты iif} = u ffl + tiff* вектора

перемещений м\п)

и Г

+ ш

должны удовлетворять

уравнениям

равновесия

p,/V2u{n) + (А/ + Р/) grad div U/,I) — (ЗА,/ + 2р./) a/ grad T/n) = 0,

(4.102)

где T/n) — функциональные

коэффициенты разложений

известного из

реш ения соответствующей

краевой

задачи

теории теплопроводности

температурного поля T t (г,

0, а 3) в ряды (4.37).

Ч астное реш ение

уравнений

(4.102)

согласно (4.59)

оп ределяется

через терм оупругий

потенциал И/1'

по

ф ормуле

U; (n) =

g r a d V f \

(4.103)

причем скал ярн ая ф ункция

является реш ением

уравнения П уас-

сона

W

'n) = -3^ + 2 ^ ~

(4-104)

Компоненты напряж ений

а,'}}, =

связаны

с

компонентами

деформаций

+

e ff i соотношениями

o th

=

+ Иц M

t / -

(ЗЯ, +

2ц,) аД 1 п)]

(4.105)

(e fh — объемное

расш ирение).

У читы вая разлож ения

(4.101) и ряды для

направляю щ их

косину­

сов типа (3.56),

(3.82), которые

следуют из вы раж ений

(4.41),

на ос­

ж ении

на граничных

поверхностях:

I______ _.,(«)

V

г(я—m)

(m) I

(4.106)

Щ,1 \r=rk — У/,ft

ь

‘-it

ui,i \r—rk>

или

т=0

offi | „ г, =

* й -

2

2

U

(4.107)

(1 ~ r, 2 ~ 0, 3 ~ a 3; S 0 ~ l = 1, k — 0; S n — l = k = N ).

Н а основе (4.99), (4.100) условия сопряж ения на поверхности

раздела

Si в произвольном приближении будут следующими:

при идеальном контакте

2

=

0;

(4.108)

3

ft

m=0

1

2

2

M

r m) [o j$ —-cr^V ftW , =

0

( / = 1 , 2 , 3 ) ;

t=\ т —0

4

при

неидеальном

контакте

2 t f 1-"” [Ии1 —

и !? и ]~ г , =

о,

/71=0

1

2

2

- 0 .

(4.109)

*=1 m=0

1

2

2 о Г “ '® а |w , = о,

i=l m=0

1

s

b

r

«

t , u , = o

( 4 - 2 : 3).

1=1 m=0

*

> •

'