книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела

Согласно [32] краевая задача о

напряж енном

состоянии тяж елого

массива с выработкой, находящ егося под действием собственного веса,

мож ет быть сформулирована

как соответствую щ ая задача для невесо­

мого пространства с выработкой при действии на бесконечности на­

грузки вида (8.13).

Задача реш ается с помощью подхода (см. § 3 гл. 5), основанного на

совместном использовании первого

варианта

М ВФГ

и

интегрального

преобразования Л апласа по времени. При этом краевы е условия в про­

странстве

изображений

в

произвольном

приближении

имеют

вид

'(8.10), в которых номинальные

напряж ения Орр,

а $ ,

а |$

находятся

на основе (8.18) при N

— 1. Н ачальное условие для приведенного дав­

ления Р ъ

определяемого

по формуле

(5.92),

имеет вид (8.12), где

ОрР = 4BJP-2 cos 2у -f- 4е (В2р~ 2 cos 2у +

В хр-4 cos 4у) - f

+

4еа (Вар~ + cos 4у + BiP-6 cos 6у) +

0 (е3).

(8.26)

П осле определения неизвестных постоянных функций (8.16) из краевых

условий (8.10) легко найти компоненты м акронапряж ений и

давление

в жидкости на основе соотношений

(5.99) — (5.100). Приближенное

аналитическое решение в пространстве изображ ений

получено с точ­

ностью О (е3). О днако

слож ная

зависимость

полученных

решений

от

параметра s интегрального

преобразования

Л ап ласа

затрудняет

их

асимптотический анализ при s

оо. Эти трудности можно значитель­

но

уменьшить,

если

использовать

рекуррентны е

соотношения

для

ф ункций

М акдональда

(8.19). Т ак

как

в

рассматриваемом

классе

за­

дач

при

конкретных

расчетах

значение

Fo

изменялось

в

пределах

О ^

Fo ^

10_3, то для упрощ ения вычислений используем асимптоти­

ческое представление (8.20).

К ак показываю т исследования,

формальное использование асимп­

тотических представлений (8.20) может привести к наруш ению началь­

ного условия Р |fo,=o =

0. В связи

с

этим

после определения

неиз­

вестных

постоянных,

компонентов

напряж ений

и давления жидкости

в полученных реш ениях в каждом приближении применялись сначала

рекуррентны е соотношения для функций М акдональда, а затем исполь­

зовались соответствующие их асимптотики. П роверка

удовлетворения

начальным условиям в каждом приближении подтверж дала

достовер­

ность такого приема. П ереход

к оригиналу

в полученных

реш ениях

для значений безразмерного времени 0 ^

Fo ^

10~3 осущ ествлялся с

помощью

известных таблиц

изображ ений.

3.2.

Н апряженное

состояние

и

давление.

Х арактерной

особен­

ностью горных

пород

является

сущ ественное различие

их

прочности

на

растяж ение

и сж атие. Эту особенность

необходимо учитывать

при

выборе критерия прочности. В

настоящ ем

параграф е критерий

проч­

ности твердой

фазы принят

в виде

[119]

выработки от р качественно

изме­

няется (рис. 8.10).

Н а

возм ож ность р азр у ш ен и я

скелета

заметное в л и ян и е

о к азы ­

вает такж е глубина Н . С ее увели ­

можного

разруш ения (рис. 8 .11).

Таким

образом,

полученны е

числовые результаты

даю т возм ож ­

и ф ильтрации в окрестности

вы ра­

ботки

на

напряж енное состояние,

давление ж идкости и

прочностны е

свойства среды. Это вл и ян и е стано­

вится

более

сущ ественным,

когда

ж идкость

является

несж им аем ой .

Расхож дение

меж ду

р езу л ьтатам и

связанной

и

несвязанной задач

в

случае

несжимаемой

ж идкости

в

интервале

0 ^ Fo ^

1СГ3

дости­

гает 25— 35 % .

ных

Орр (у =

0,

Р 0 = 0,5) и

окруж ны х

(у = 0,

Р 0 — 0,5)_ м акро -

напряж ений,

а такж е в табл.

8.4 — для давления

ж идкости

Р * (р =

=

1,005;

у =

0; Fo =

10- 4 ; Р 0 = 1).

100 % .

Отметим, что если

оце­

нить

на основе критерия, изложенногов § 3 гл. 5, вклад Д^’, % ,

при

р

=

1,005, то можно убедиться, что он не

превыш ает

4,7 % .

Т а б л и ц а

8.3

р

и

Ар. %

II

Af». %

i f . к

ъп

1,005

—0,0145

51,1

i =

Р

—0,0102

35,9

—0,0037

13,0

—0,0284

1,050

—0,1280

53,8

—0,0824

34,7

—0,0274

11,5

—0,2378

1,000

—2,7924

72,5

/ = : Y

—0,8816

22,9

-0,1763

4,6

—3,8503

Т а б л и ц а

8.4

Задача

р*(0)

&1р\ %

еР*<‘>

а £ \ %

е«р*<2)

а £ . %

Р*

Св занная

0,5202

85.4

—0,0877

14.4

—0,0014

0,2

0,4311

Несвязанная

0,4034

84.5

—0,0733

15.4

—0,0003

0,1

0,3298

рическим .

П остановка и метод реш ения краевы х

задач теории упру­

гости для

такого класса кусочно-однородных тел

излож ены в § 3 гл. 2'

крепленными толстостенными замкнуты м и упругим и оболочками,

а

такж е сред с упругими

вклю чениям и. Эти результаты вклю чаю т

и

важ ны е частные случаи,

относящ иеся к краевы м задачам для тел

со-

связанны е с

геометрией

поверхности раздела;

изучена концентра­

ция напряж ений в зависимости от формы и упругих свойств подкреп­

ляю щ их элементов и др. Ч исловы е результаты

получены

на основе

аналитических

реш ений

соответствую щ их краевы х задач,

которые

го в § 3 гл. 6, проверена

практическая сходимость М ВФГ в рассматри­

ваемом классе задач . В

основу главы положены результаты работ-

118,

104— 109].

§ 1.

Р асп р ед ел ен и е напряж ений в телах

нений равновесия в сферических

координатах для изотропной и транс­

версально

изотропной среды, изложенных в § I гл. 2, приведем вы ра­

ж ения для

компонентов вектора

перемещений и тензора напряж ений

нальными

и неортогональными

неканоническими

ж естким и

вклю че­

ниями и свободными от напряж ений

полостями вы явим

характерн ы е

краевые механические эффекты. Исследуем распределени е

н ап р яж е ­

ний в изотропном упругом поле с неканонической полостью ,

подкреп­

ленной толстостенной изотропной упругой оболочкой, в

зависим ости

*от геометрии и жесткости подкрепления.

1.1.

Выбор

общего

реш ения.

В

случае

сферической

тран свер ­

сально изотропной

среды

компоненты

перемещений

«е, иа ,

иг опреде­

ляю тся через потенциалы Ф„ и ¥ „ по формулам (2.75). П ри этом постоян­

ные vn и А,п, входящ ие в аналитическую структуру ф ункций

Ф„

и

согласно

представлению

(2.78),

являю тся

корням и

характеристиче-

-ских уравнений (2.81), (2.82). Если выражение ап —

Ьп >

0, то в

соот-

ветствии с (2.84) характеристические числа

v(n ( i =

1, 2,

3,

4 ) — дей­

ствительные (различные) и потенциал Ф„ (0, а ,

г) согласно

(2.78),

(2.79)

примет

вид

Ф„ (0, а

А„!т cos т а , v£!

2 Рп.т (COS 0),

(9.1)

Cifjm sin т а

•где Р п.т (cos 0) — присоединенные функции Л еж андра первого

рода;

■Ап!т, Cn.m — произвольные постоянные.

Если ап — Ь„ =

0, то корни характеристического

уравнения

(2.82)

•являю тся

кратными (v ^ == v®, vjf =

v|,4)) .

В

этом

случае

потенциал

Ф п (0, а ,

г) принимает вид

п

2

и(0

Ла+2)

c o sm a

(i)

I

• Ф„ (0, а ,

г) =

2

n turn

v7 + —

(9.2)

Ml)

+

r (i+2) 'П Г

sin m a

r

P/i.m(cos 0).

т = 0 1=1

9

(2.82)

В случае a„ — bn < . О корни характеристического уравнения

будут комплексными, допускающ ими представление

где

vS* =

V® —

vg*.

=

=

(9.3)

а п =

У (i,i + Q* cos

, К

= У

a l +

sin

(9.4)

(ф = a r c t g i k . . iQn =

V

а " — bn) •

Здесь а п и Ьп определяю тся через упругие постоянные С(,- по

формулам

(2.83).

В

этом

случае потенциал Ф„ (0, а ,

г) допускает

представление

лП,

* .

4(3)

.

ч

Ф

„ ( 9 , а , г ) = £

я п,т

Пп,т .

+

(1)

cos {Ьп In г)

r0 )

sm (bn In г)

‘,1(2)

т=О

y>ntm

ит

И(4)

.

*

-ап + -j-l

cos т а

Г^Аn»tm

л п,т

Р п,т (cos 0).

+

М2)

C0S (Ь“ 1П Г) + Г (4)

Sin Фп !П Г)

I sin т а

| с £

^п,т

19.5)

П о т е н ц и а л '^

(0,

а , г)

согласно

(2.78), (2.81)

представляется

в виде

цу (п

, а ,

к

V

V

C° S т<Х

г

+

Рп,т (COS 0),

(9-6)

¥ „ ( 0

г ) =

2 j

2 j п ю

■

корни

v(n

действительны е

(различные)

4

... V ' -X- ___

(9.7)

ф „ (0 . 0 =

Е

4 ‘V " >+

2 Р п (cos 0);

1=1

корни

vl,” кратные

(v!,1*

v,(,3),

= vj,4))

ф „ (0. r) =

2

(Л,(,° +

Л ?+2) In г) г

vH) 4- —

р а (соз 0);

(9.8)

£

п

+

2

1=1

корни

vj,1'

ком плексны е

Ф л (0» г) =

{[Л^п cos (6Л In л) + A f

sin (b„ In г)] г

2 - f

♦

f

1

+

[A ^ cos (bn In r) +

A™ sin

(6,* In r)]r

”

2 }

P „(cos0).

(9.9)

П отенциал

Чгп при

осевой симметрии

упрощ ается

к виду

•

7W 4 --L

У я (0. «) =

I

Вп]г 'п

2

Р п (cos 0).

(9.10)

1= 1

В вы раж ениях

(9.7) — (9.10) Р п (cos 0) —

полиномы

Л еж андра;

Л

В ,1} — произвольны е

постоянные.

Н а основании

вы раж ений

(9.1) — (9.6) для

ф ункций Ф„

и

по

ф ормулам

(2.75)

определяю тся компоненты

вектора

перемещений, а

по ф ормулам

(2.76) — составляю щ ие тензора

напряж ений . В случае

осевой симметрии

(если корни

v£’

действительны е и различные) соот­

ветствую щ ие

вы раж ен и я

для

перемещ ений и,

и

напряж ений

а/с/ на

основе (9.7),

(9.10) принимаю т

соответственно вид (2.87) и (2.88)

Зти

вы раж ения при переходе

к изотропному телу

в соответствии

с

(2.86)

на основе представления

в форме

П. Ф . П апковича

— Г. Н ейбера.

П ри этом задача теории

упругости разделяется

на

две

независимые:

осесимметричной

деформации

(без кручения) и осесимметричного

кру ­

чения.

Приведем

вы раж ения

для

перемещений

и

напряж ений

от­

дельно

в .у к аза н н ы х двух сл учаях .

О с е с и м м е т р и ч н а я

д е ф о р м а ц и я .

Предположим,

иг =

иг (0, г), щ

=

ын (0, г) (ы„ =

0). Этому случаю отвечают функции

Ф „ =

Фп (0. г) ('F„

= 0). В случае изотропного тела, в сферических

координатах

г, 0, а

имеем:

для внутренней

задачи

иг -

£

М

, , / ' - 1+ (п +

1) (/г - 2 + 4v) Л3„г“+1] Р п (cos 0),

Г*

/1=0

т

=

- J -

S

+ (Я + 5

-

4v) b

s »

\

“РАм

Щ •

Г*

гс=1

О гг= -Щ -

£

[ n ( f t - l ) v 4 „ / -

2 +

r .

л=0

+

(n + 1) (я2 — л -

2 -

2v) Л3„гп] Я,, (cos 0),

cree =

— - у

§

{ [ я М ,,/1" 2 +

(л +

1)

(яа +

4 я +

(9.11)

+

2 +

2v) Лз„л"1 Я„ (cos 0) +

+

[Alnr n~ 2 +

(л +

5 -

4v) Лз„г"1 c

t g

e

-

^ ^ }

,

а ка = ~

f

( [п Л .,/1- 2 +

(n +

1) (п -

2 - 2nv ~

2v) Лз„гп1 P„(cos 0) +

+

[Л|„г"

' +

(я + 5 — 4v) Лзллп] ctg 0

"^q0S^

| »

= - f -

S

[(n -

1)Л . - / -2

+

("г +

2 n -

1 +

2v) A3nr n]

dP^ cQos6) ■;

*

«=1

для

внешней задачи

Ur =

i

00

I— (Л +

1) Л 2пг-Л -2 +

rt (n + 3 -

4v) Ainr ~ n\ P n (cos 0),

—

Е

r*

n=0

m

-

y

-

i

+

(

-

« +

4 -

2v) V

” l

,

*

/7=1

Оn

OO

uU

= - J -

2

+

!)(« +

2) А ы г~п~~ъ -

О » »

4

- 1

I - (»> + !)■ < 4 v

+

^

/1=0 l

+

n (л2 — 2л —

1

+

2v) Л4г,г~'1-1] P n (cos 0) —

— IA2nr~ n~ i + (— я

- f 4 — 4v) Ainr~ n~ l1 ctg 0 —

?^c9os6)

|

,

(9.12)

ОП

oo

(

Gaa. = ~T~

^

H— (n +

1) A-inf

П~ 3 +

.

n=0 4

+

n (я +

3 — 4nv — 2v) A4nf

"

*] P n (cos 0) +

+

[A?,/

3 +

(— я +

4 — 4v) Л4/1г

”

'] ct® 0 -

(cos 0)

\

’

л

do

I

" rt = - T -

f l -

(n +

2) A a„r -

-

+ (я» -

2 +

2v) A w

'" - 'l

eP’ S '5-3 - •

'*

n=l

J

ao

В (9.11) — (9.12) и далее

все

линейны е

переменные и

постоянные

ве­

личины — безразм ерны е, отнесенные к

/•*.

О с е с и м м

е т р и ч н о е

к р у ч е н и е .

Д опустим, что

де­

формированное

состояние

тела

характери зуется перемещением

иа =

=

иа (г, 0)

(иг — «о = 0). Этому случаю соответствую т ф ункции

lFn =

=

¥ „ (г, 0) (Ф„

=

0). Следовательно, в случае изотропного тела

полу­

чим:

для внутренней

задачи

Ua ~ т г

dPn (cos 0)

£ * - ' • ■

dQ

n=I

Ora =

dPn (cos 0)

(9.13)

7

- f

( « —

O B .n '-" -1

dQ

r *

ra=l

4 e « = 4 -

f

B u r " - '

п ( л + 1 ) P „ (cos 0)

+

2 ctg 9

^

c0osO)

Г*

/2=1

д л я внешней

задачи

—

j - ' L

B

—гг—l dP„ (COS 0)

*

dQ

*& П=1

°r« =

4 -

£

(Л +

2) B2nr - n~ 2

- P^

s9)

(9.14)

r -

n=l

a 9a =

£

B 2„ r - " - 2 [л (n +

1) P n (cos 0) +

2 ctg 0 - - - n- ^ s6)

] .

В

(9.11) — (9.14)

G — м одуль

сдвига;

v — коэффициент

П уассона;

A mn ( т =

1, 2, 3, 4), Bin (l —

1, 2) — произвольны е

постоянные.

1.2.

Растяж ение-сж атие.

Рассмотрим

осесимметричную

задачу о

напряж енном состоянии изотропной упругой среды с изотропным упру ­

гим (близким

к

сферическому)

вклю чением

с другого

м атериала,

на­

ходящ ейся

под

действием двухосного

р астяж ения-сж атия

«на

бес­

конечности». Соответствующ ие

этой н агр узке

компоненты

номиналь­

ных напряж ений

в декартовы х

координатах х, у, г имеют вид

/Ч

/Ч

Л

Л

Л

Л

0).

(9.15)

оXX ~

Оуу — q,

Огг — X

(Оху = Охг =

Оуг =

В

сферических

координатах г,

0, а компонентами указанного основ­

ного напряж енного

состояния

будут

Огг — Ро ~~ ”д“ Йо "1--- д- QqP2 (cos 0),

000

Ро ”Ь

g

Яо

g Яо^2 (COS 0),

л

л

2

_

dP г (cos 0)

(9.16)

0<xa — Ро

9o*

a r0 = ~з~ Йо

/

”1 + 4

„

x — 4 \

(Po == — §— ’

*“

2

j ’

_

«

л

П еремещ ения ип

ив, отвечаю щ ие напряж ениям (9.16), на основании

зак о н а

Г ука определяю тся

по

формулам

Ur ~

\ q ~

" Т + 5 Г i2q +

т)] +

~L~ ^ ~ +

+

^

^

^ 2 (СО8 0 )} ,

(9.17)

«о = —

Г£_

dP2 (cos 0)

6G2

(<? — *)

dQ

г = 1 + е / ( 0 ) ,

(9.18)

где f (0) — достаточно гладкая дифференцируемая

ф ункция, характе ­

ри зую щ ая форму

поверхности

S ,

а

малый

параметр

е (| е | <£ 1) —

отклон ение S от сферы г =

1 (г — безразм ерная

переменная,

отнесен­

ная к

радиусу

г* сферы,

к которой близка

поверхность

S).

И деальны й

контакт

(полное

сцепление).

Д опустим ,

что

между

средой

и вклю чением осущ ествляется

идеальны й

контакт. Тогда усло­

виям и

сопряж ен и я

на

поверхности

5

согласно

(3.72) будут

(U ,i —

Ut,2)s =

0

(t =

г, 0),

(9.19)

[(Дг/,1 — Grts) nr 4~ (°r0U — 0(W,o) ttols — 0»

где ui.\ и 0/7,1 — перемещения

и напряж ения

во вклю чении,

опреде­

ляем ы е вы раж ениям и (9.11); И/,2 и

0/7,2 ~

перемещ ения

и. н апряж ения

в среде, представляю щ ие суммы:

й/,2 =

u?,2 +

щ,

0,7,2 =

о//,2 +

О//,

где составляю щ ие а?,2, 0//,2 определяю тся

по формулам (9.12). Н ап р ав ­

ляю щ ие косинусы

пг, пв

единичной

нормали

к

5 в соответствии

с

(3.74),

(9.18)

такие:

1

п, =

- L ,

пв =

—

,

А = {1 +

t J -

[/' (в)!2} 2

(9.20)

П оставленная

выше задача

р'ешается методом возмущ ения формы

гра­

ницы,

излож енным для

рассматриваемого класса объектов в § 3 гл. 3.

Т ак к ак перемещ ения

ut,i и напряж ения

otf,i

во

вклю чении

(I =

1)

и в среде (/ =

2) ищ утся в виде рядов (3.80), то в произвольном прибли ­

ж ении

на основе (9.19) в соответствии с (3.85)

условиям и сопряж ения

будут

п—I

V

s>|

I

г (П) /0(0) .

2 .

=

V

/ ю .Л "—*> I

Li L

и<Л

|r=l

2j

^

и*А

|г=1 Т

L

{Щ'2 Н- u t)r= I,

s=0

s=О

L

QrU1

+ D i oe/tl

|r=1 =

£

+

(9-21)

s=0

H~ l^ in) (a r/?^ + °rl) +

D i* (ацД +

Oo/)]r=l.