книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела
..pdfностыо. В противном случае необходимо МВФГ определить точное зна
чение Д'/у.ь а затем |
оценить A ftft с помощью условных мажорантных: |
|||||
оценок типа (6.51) и т. д. |
|
|
|
|
|
|
Н а заклю чительном этапе решения задачи следует через найденное |
||||||
число п членов определить маж орантное |
значение |
ряда (6.45) п а |
||||
формуле |
|
|
|
|
|
|
я—I |
|
|
|
„(П-1) |
1—I |
|
„м |
+ М |
" |
|
1 — £ |
1,1 |
(6.52) |
Otf,l — S |
|
|||||
т=О |
|
|
1 |
< 7 2) |
J |
|
и удостовериться, |
что отклонение |
|
|
|
|
|
|
м |
п-1 |
<п |
(т) |
|
(6.53). |
|
2 |
|
||||
|
а UJ |
*• |
а [/./ |
|
||
|
|
т —О |
|
|
|
|
не превосходит наперед заданной точности.
Применение изложенного критерия к оценке точности прибли женных решений проиллюстрировано ниже на конкретных краевых, задачах для ортогональных и неортогональных неканонических об
ластей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2. |
Практическая сходимость М ВФГ в конкретных задачах. П р и |
|||||||
м е р 1. В |
осесимметричной задаче о кручении |
тела вращения |
с эл |
|||||
липсоидальной неоднородностью (п. 1 1) относительные напряжения |
||||||||
а"ф!р’ь при |
р = |
1, у |
= я/2 |
определяю тся |
по формуле (6.5). В обозна |
|||
чениях (6.47), |
(6.48) |
при |
8 = — 0,333 имеем |
|
|
|||
2 f t = 1,586; |
A ft = |
1,25; A ft = |
0,238; |
Д^ф = 0,098. |
(6.54) > |
|||
Если сумму 2 f t условно |
принять за 100 % , то относительное значение |
|||||||
вклада A ft в |
сумму |
2 f t |
|
составляет |
|
|
|
|
A ft, |
% = |
78,8 |
%; |
A ft, % = 15,0 |
%; A ft, % = 6,2 %. |
(6.55) |
||
Отклонение k% от точного решения Aft = |
1,633 (см. табл. 6.1) состав |
|||||||
ляет 2,9 % (за 100 % принято точное решение). В этом случае мажо
рантное значение, вычисленное по формуле (6.52) |
при п = 3, состав |
||||||||||||
ляет Jfeft = |
1,655. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р . 2. |
В |
задаче |
|
об |
осесимметричной |
деформации (без |
|||||||
кручения) |
упругой изотропной среды |
с |
эллипсоидальной |
полостью- |
|||||||||
(п. 1.2) |
на |
основе |
(6.10) при |
v = |
0,3, |
р = |
1, у |
= |
л/2 получаем |
||||
|
|
2 f t = |
1,5 + |
1,85461 е | + |
2,7810е2, |
|
56) |
||||||
|
|
2 f t = |
1,5 + |
0 ,4 36 41е | + |
0,7469е2. |
|
|||||||
При е = |
—0,268 |
находим следующие абсолютные значения |
каждого |
||||||||||
из членов |
A ft (ш |
= |
0, |
1, 2) |
в |
сумме |
2 ft: |
|
|
|
|
||
A ft = |
A ft = |
1,5; |
Aft = |
0,497; |
A ft = 0,2; |
|
A ft = 0,117; |
||||||
|
|
A ft = |
0,054; |
2 f t = |
2,197; |
2 f t = |
1,671. |
(6.57), |
|||||
191
О тносительны е вклады членов |
А{и \ %, |
следующие: |
|
|
||||
A ft, |
% = 68,3 % ; |
A ft, % = 22,6 |
% ; |
A ft, |
% = |
9,1 |
%; |
|
A ft, |
% = 8 9 ,7 % ; |
A ft, |
% = 7 ,1 |
%; |
A ft, |
% = |
3,2 |
% . (6'58) |
Н аряду с этим отметим, что отклонения коэффициентов концентрации
напряж ений Aft = 2,197 и Aft = 1,437 от соответствую щ их точных ^значений Aft = 2,265 и Aft = 1,461 составляют 3 % и 1,6 % (за 100 % приняты точные значения).
Отметим, что мажорантные значения коэффициентов концентрации
напряж ений, |
вычисленные по формуле (6.52), соответственно такие: |
|||||
■Aft = 2,331, |
Aft = |
1,483. |
|
|
|
|
В рассмотренных двух примерах отклонение приближ енного реш е |
||||||
н и я, полученного с точностью О (е8), от точного не превосходило 3 |
%, |
|||||
хотя вклад Дfj, % , в сумму |
2<у не менее чем в два р аза превыш ал |
|||||
указанное процентное отклонение коэффициентов концентрации |
kfj |
|||||
от точного |
значения Aft |
|
|
|
||
Приведем теперь некоторые примеры краевы х задач для некано |
||||||
нических областей, которые |
не допускают точные аналитические ре |
|||||
ш ения, и проиллюстрируем |
практическую сходимость |
М ВФ Г. |
|
|||
П р и м е р |
3. |
В работе [102] получено с точностью |
О (е3) прибли |
|||
ж енное аналитическое решение задачи о напряж енном состоянии транс версально изотропной среды (криволинейная анизотропия) со сво бодной от напряж ений биконической полостью (f (£) = £~3; г — V9), находящ ейся под действием равномерного всестороннего растяж ения-
Т а б л и ц а 6.13 |
сж атия. |
В табл. 6.13 при |
|
ведены |
абсолютные значе |
||
|
1
2
3
4
Номер мате риала
1
2
3
4
д(0) |
д<°>, % |
д<1> |
|
Д<2) |
|
ния |
вкладов |
Д($ |
( т |
— 0. |
||||
% |
|
1, 2) в |
их суммы типа (6.47) |
|||||||||||
W |
YY /0 |
YY |
W |
|
при р = |
1, у |
= |
0. |
Н аряду |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
с этим приведен |
их относи |
|||||||
1,500 |
62,4 |
0,819 |
34,0 |
0,086 |
3,6 |
тельный |
процентный |
вклад |
||||||
2,373 |
58,0 |
1,503 |
36,7 |
0,216 |
5,3 |
в сумму |
абсолютных |
зн а |
||||||
1,513 |
58,1 |
0,959 |
36,8 |
'0,133 |
5,1 |
чений, |
условно |
принятую |
||||||
1,475 |
60,3 |
0,836 |
34,1 |
0,138 |
5,6 |
за 100 % . Числовы е расче |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
ты проведены для трансвер |
||||||||
|
|
Т а б л и ц а |
6.14 |
сально |
изотропных |
сред, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
упругие |
постоянные |
кото |
||||||
|
|
|
|
|
|
рых приведены в табл. 6.14. |
||||||||
V,, |
VJ3 |
Е,/0 |
ЕJO |
Е|/Еэ |
Д л я |
сравнения |
в |
графе 1 |
||||||
указаны значения постоян |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
ных для изотропной среды . |
||||||||
0,300 |
0,300 |
|
|
|
|
П р и м е р . |
4. В рабо |
|||||||
2,600 |
2,600 |
1,000 |
те [89] |
рассмотрена |
задача |
|||||||||
0,300 |
0,100 |
5,000 |
1,250 |
4,000 |
о напряж енном |
состоянии |
||||||||
0,357 |
0,253 |
2,771 |
3,094 |
0,896 |
при |
|
осевом |
|
растяж ении |
|||||
0,365 |
0,288 |
2,244 |
2,712 |
0,828 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
усилиями интенсивности р
'192
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
6.15 |
|
А(°) |
*<0) |
О, |
л<" |
|
|
Л(2) |
|
|
|
AZZ |
агг, |
/о |
4 г ' % |
% |
ZZ |
|||
|
|
|
ZZ |
гг |
|||||
—0,05 |
|
|
|
k = |
2. 2 = 0 |
|
|
|
|
1,000 |
81,9 |
0,209 |
17,1 |
0,012 |
1,0 |
1,197 |
|||
—0,10 |
1,000 |
68,3 |
0,417 |
28,5 |
0,047 |
3,2 |
1,370 |
||
0,05 |
|
|
|
k = |
2, г — |
1 |
|
|
|
1,000 |
67,7 |
0,421 |
28,6 |
0,057 |
3,8 |
1,478 |
|||
0,10 |
1,000 |
48,4 |
0,843 |
40,7 |
0,226 |
10,9 |
2,069 |
||
|
|
|
|
k = |
4, 2 = 0 |
|
|
|
|
—0,05 |
1,000 |
64,1 |
0,537 |
34,4 |
0,023 |
1,5 |
1,514 |
||
—0,10 |
1,000 |
46,1 |
1,075 |
49,6 |
0,094 |
4.3 |
1,981 |
||
|
|
|
|
k = |
4, 2 = |
0,5 |
|
|
|
0,05 |
1.000 |
54,3 |
0,737 |
40,1 |
0,106 |
5,8 |
1,843 |
||
0,10 |
1,000 |
34,5 |
1,474 |
50,9 |
0,423 |
14,6 |
2,897 |
||
|
|
|
|
k = |
4, 2 = |
I |
|
|
|
—0,05 |
1,000 |
64,6 |
0,516 |
33,4 |
0,031 |
2,0 |
1,485 |
||
—0,10 |
1,000 |
46.4 |
1,032 |
47.9 |
0,124 |
5.7 |
1,908 |
||
изотропного цилиндра конечных размеров с внешними периодическими выточками. При этом боковая поверхность цилиндра в безразмерных
цилиндрических координатах г, г (отнесенных к радиусу соответствую-
Ajjt щего кругового цилиндра) описывается уравнением г = I + е cos—^ -2
(2h — высота цилиндра). Реш ение задачи получено с точностью О (е3) с помощью подхода, основанного на приме! ении МВФГ в сочетании с принципом суперпозиции (см § 1 гл. 5). Быстрота сходимости второго варианта М ВФ Г в этой задаче зависит от многих факторов: частоты k и глубины е окруж ны х выточек, их расстояния от торцов и др. Об этом
свидетельствуют числовые данные табл. 6.15, |
полученные при v = V 3, |
|||||||
h = |
2, k = 2,4, e = ± 0,05; |
± 0,10. В |
последней графе |
приведены |
||||
значения коэффициента концентрации напряж ений kzl = |
<Wp, |
кото |
||||||
рые |
в |
случае отрицательных |
значений |
е |
не |
равны сумме |
(6.47) |
|
при |
п |
= 3. |
|
|
|
|
|
|
|
Приведенные в табл. 6.15 числовые значения |
первых трех прибли |
||||||
жений удовлетворяют условию (6.17). Если оценить третье приближе
ние на основе неравенства (6.51), то даж е в случае /г = |
4; z = 0,5; е = |
|
= 0,1 относительное значение третьего приближения |
составляет при |
|
мерно 4,2 % |
суммы найденных трех приближений. |
|
П р и м е р |
5. В работе [101 рассмотрена осесимметричная задача |
|
о напряженном состоянии трансверсально изотропного цилиндра ко нечных размеров с периодическими окружными выточками, находя щегося под действием осевых усилий интенсивности р. Решение полу чено МВФГ в сочетании с методом суперпозиции (см. § 1 гл. 5). При
193
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 6.16 |
|
е |
|
д'0> |
д<‘> |
|
Л<-» |
д(Э) |
|
|
Z2 |
гг |
|
|
“гг |
|
|
|
|
|
k == 2, г = 1 |
0,071 |
|
||
0,10 |
|
1,000 |
0,900 |
|
0,253 |
2,224 |
|
|
|
45,0 |
40,5 |
|
11,4 |
3,1 |
100 |
0,15 |
|
1,000 |
1,350 |
|
0,569 |
0.240 |
3,159 |
|
|
31,7 |
42,7 |
|
18,0 |
7,6 |
100 |
|
|
|
k = |
2, |
г — 0,5 |
|
|
0,10 |
|
1,000 |
1,575 |
|
0,466 |
0,131 |
3,172 |
|
|
31,5 |
49,7 |
|
14,7 |
4,1 |
100 |
0,15 |
|
1,000 |
2,363 |
|
1,049 |
0,442 |
4,854 |
|
|
20,6 |
48,7 |
|
21,6 |
9,1 |
100 |
|
|
|
k = 14, |
г = 1,5 |
|
|
|
0,10 |
|
1,000 |
1,806 |
|
0,900 |
0,241 |
3,947 |
|
|
25,3 |
45,8 |
|
22,8 |
6,1 |
100 |
0,15 |
|
1,000 |
2,709 |
|
2,205 |
0,813 |
6,727 |
|
|
14,8 |
40,3 |
|
32,8 |
12,1 |
100 |
усечении |
бесконечных |
систем |
линейных |
алгебраических |
уравнений |
||
(5.37), |
а |
такж е рядов |
для напряжений |
и их производных |
значения |
||
N к М |
вы бирались равными 40, 60, 100. Это позволяло удовлетворить |
||||||
краевы м условиям с точностью до 1 |
%. Числовые расчеты проводились |
||||||
для трансверсально изотропных цилиндров с геометрическими пара метрами и упругими постоянными сц (в Ю10 Па)
k = |
2; 4, |
h — 2, t; = 0,10; 0,15, |
сп = 5,97, с12 = |
2,62, |
= 2,17, са3 = 6,17, с14 = 1,64. (6'59) |
П ри этом оказалось, что при решении задачи с точностью О (е3) вклад второго приближения является весьма существенным. О ценка третьего приближ ения с помощью неравенства (6.51) показала, что его значе ние превосходит 10 %. Поэтому на основе подхода, разработанного в
§ 1 |
гл. 5, было получено точное значение третьего |
приближ ения |
|
(табл. 6.16), т. е. задача решена с точностью О (е4). Н ад чертой |
в к аж |
||
дой |
графе табл. 6.16 приведены абсолютные значения |
указанны х ве |
|
личин, а под чертой — относительные (в процентах). |
|
|
|
|
Так как оценка четвертого приближения с помощью неравенства |
||
(6.51) при л = 4 показала, что его значение не превосходит 4,5 |
% даж е |
||
при е = 0,15; k = 4; г — 1,5, то можно считать, что приближенное ре
шение |
рассматриваемой задачи с учетом четырех |
(л = |
4) членов ряда |
|
(6.46) |
получено с удовлетворительной точностью . |
Это |
подтверж дает |
|
такж е |
то, что мажорантное значение k&, вычисленное по формуле (6.52) |
|||
на основе полученных четырех членов ряда для kzz, равно |
6,774, кото |
|||
рое примерно на 0,7 % превышает значение kfz, принятое |
за 100 % , |
|||
Г л а в а 7
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ УПРУГИХ ТЕЛ
С ПОВЕРХНОСТЯМИ РАЗДЕЛА,
БЛИЗКИМИ К КРУГОВЫМ ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ
В настоящей главе рассмотрены пространственные статические крае вые задачи для упругих изотропных и трансверсально изотропных тел с осесимметричными и неосесимметричными поверхностями раздела, близкими к круговым цилиндрическим. И х приближенные аналити ческие решения получены преимущественно с точностью О (е3) на ос нове второго варианта М ВФГ (см. гл. 3). В случае цилиндров конечных размеров решение краевых задач построено с помощью подхода, ос нованного на использовании М ВФГ в сочетании с принципом супер позиции (см. § 1 гл. 5). П рактическая сходимость М ВФГ в рассмотрен ных задачах исследована на основе критерия, изложенного в § 3 гл. 6.
Исследованы различные варианты двух- и трехслойных поперечно и продольно гофрированных цилиндров, находящ ихся под переменным в осевом направлении внутренним и внешним давлением, и исследова ны характерны е особенности их упругого деформирования, связанные со спецификой геометрии поверхностей раздела. При рассмотрении цилиндров конечных размеров с осесимметричными выточками на бо ковых поверхностях и на торцах выявлены характерные краевые эф фекты. В частности, исследовано влияние торцов, а такж е самоуравновешенной по толщине торцевой нагрузки на концентрацию напряж е ний около выточек на боковых поверхностях.
Одним из важных результатов этой главы является разработка чис ленного алгоритма, позволившего вместо непосредственного вычисле ния функций Бесселя вычислять соответствующие их отношения, с учетом граничных значений. Это существенно расширило вычислитель ные возможности развитого подхода. В основу главы положены ра боты [55, 99, 100, 112, 113].
§ 1. Слоистые п родольно гоф рированны е цилиндры
В этом параграфе рассмотрим пространственные неосесимметричные краевые задачи для слоистых цилиндров с продольно гофрированными поверхностями раздела (в том числе граничными поверхностями), на ходящ ихся под действием периодически изменяющегося в осевом на правлении внутреннего или внешнего давления. Полученные с
195
точностью О (е3) приближенные реш ения |
соответствуют |
аналогичны м |
|||||||||||||
краевы м задачам для цилиндров конечных размеров, на торцах |
кото |
||||||||||||||
рых заданы специальные смешанные граничные условия типа (3.49), |
|||||||||||||||
(3.50) (эти условия удовлетворяются автоматически). Н а основе реали |
|||||||||||||||
зации разработанного |
численного алгоритма, |
исследуем характерны е |
|||||||||||||
механические эффекты |
[99]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1.1. |
Постановка задачи, выбор общего реш ения и численный алго |
|||||||||||||
ритм . Рассмотрим слоистый толстостенный цилиндр, у |
которого |
гр а |
|||||||||||||
ничные поверхности 5 0, S n и поверхности раздела слоев |
S t ( l = |
1 ,2 , |
|||||||||||||
..., |
N — |
1) в цилиндрической системе координат |
г, |
0, г описываю тся |
|||||||||||
уравнениям и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
г = |
п 4- есо// (0) |
(г/ = const > 0 , |
0 ^ |
е ^ |
1, |
— |
1 ^ |
^ |
1). |
(7,1) |
||||
В качестве /( 0 ) |
согласно |
(1.34) примем функцию |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
/(0 ) |
= |
sinfe0 |
+ Р sin3ft9 |
( k = l , |
2, |
3, |
|
), |
|
(7.2) |
|||
где значению р = |
0 отвечает волнистая, |
р = |
V9 — трапецеидальная, |
||||||||||||
Р = |
— V9 — треугольная (с округленными углами) формы гофриров |
||||||||||||||
ки |
соответствующих |
поверхностей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
К оординаты г, г выбираются безразмерными, отнесенными к ра |
|||||||||||||||
диусу г0 кругового цилиндра, близкого к |
поверхности |
S„. |
|
|
|||||||||||
|
Д опустим, что требуется исследовать напряж енно-деф ормированное |
||||||||||||||
состояние рассматриваемого слоистого цилиндра, находящ егося |
под |
||||||||||||||
оо
действием усилий т/,о на S 0 и t/.w на S n . В этом случае краевы е условия
в н апряж ениях |
имеют вид (3.45), (3.46), причем n 2j = 0, т. е. рас |
|
сматривается первый частный случай § 2 гл. 3. В предполож ении, что |
||
меж ду слоями |
осущ ествляется |
полное сцепление, условия сопряж е |
ния сохраняю т |
форму (3.40), |
(3.42). Реш ение задачи ищется в виде |
рядов (3.51). Тогда в произвольном приближении краевы е условия в
н ап ряж ениях на поверхностях S 0, S n |
имеют вид (3.61), (3.62), а усло |
|||||
вия |
сопряж ения — (3.57). |
П ри этом |
дифференциальные |
операторы |
||
D v |
== 0, a L\n), D j? и Dffl |
в общем |
виде |
определяю тся |
ф ормулами |
|
(3.64). |
|
|
|
|
|
|
|
Явные вы раж ения операторов D f}\ Dffl в |
первых четырех |
прибли |
|||
ж ениях (п = 0, 1, 2, 3) в предположении, что норм аль к |
5 / |
нап рав |
||||
лена в сторону увеличения функции уровня, представлены формулами
(3.143). |
|
|
|
|
|
Вектор тт |
( т |
= 0, N) переменной вдоль |
оси г внешней |
н агрузки, |
|
приложенной к внутренней S„ и внешней S n |
поверхностям цилиндра, |
||||
определяется |
выражением |
|
|
|
|
~^т — F щ (z) ^п,т |
(Cfi.m = tlr,m£r,m ~Ь Н0.тб0,ш)> |
(7.3) |
|||
где Fm (2) = |
± |
| Тш | — известная ф ункция, |
определяю щ ая |
характер |
|
нагрузки (знак |
«4-» отвечает растягиваю щ им усилиям, совпадаю щ им |
||||
по направлению с нормалью |
е„,т> а знак «— » — сжимаю щ им). В част- |
||||
|
|
|
о |
о |
|
пости, ненулевые компоненты хг,ы = F N (2) er,N и x0iW = |
F N (z) nu,/v |
||||
196
вектора xn с точностью О (е3) можно найти, если учесть разложения
2
tir,N = 1 - 4 - в2 ~ |
[/' (9)]2 - f О (е3), |
гrN
(7.4)
Пвм = - в ~ / ' (0) + е2 |
/ (0) Г (0) + о (е3). |
NП,г*- N
О О
Следовательно, если компоненты тлЛ/, те.дг представить рядами по
Оо
степеням е, то их составляю щ ие rj-% и t£']v, фигурирующие в |
правых |
|||||||||
частях |
краевых условий (3.62), в |
первых трех |
приближениях (п = |
|||||||
= О, 1 ,2 ) запиш утся в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
t?3v = |
F n (z), |
О, |
т % |
|
a N |
[/' (0)12 F n (z) |
|
||
|
= ----- S- - J - |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.5) |
= |
A |
= |
(0) F n (z), |
т $ , |
= - ^ / ( 0 ) / '( 0 ) |
F n (z). |
||||
|
|
TN |
|
|
|
r |
|
|
|
|
Соответствующие компоненты |
т£о и тв% |
относящиеся |
к |
поверхности |
||||||
S 0, будут с противоположными знаками, так как нормаль е„,о |
направ |
|||||||||
лена в сторону уменьшения функции уровня Ф 0 (г, 0) = |
г — еш0/ (0). |
|||||||||
При рассмотрении конкретных задач примем |
|
|
|
|
||||||
|
Fm (Z) = — pmqоSin K z |
= |
0, N\ |
Xn = |
-2*-j , |
(7.6) |
||||
где q0 — интенсивность |
нагрузки; |
pm — постоянный |
множитель, ко |
|||||||
торый (когда одна из поверхностей S 0, S n свободна от внешних усилий) выбирается в виде р 0 = 6, ры = 1 — 6, где 6 = 1 соответствует внут реннему давлению, а 6 = 0 — внешнему.
Предполагается, что торцы z = 0, z = h свободны от нормальной нагрузки и не смещаются в своей плоскости, т. е. на них выполняются краевые условия, которые в произвольном приближении имеют вид (3.69).
В случае краевы х задач для изотропных слоистых цилиндров ис пользуется общее решение однородных уравнений равновесия в форме К- Ю нгдала [159], согласно которому в случае отсутствия осевой сим
метрии перемещения и(и |
и напряж ения |
(k, т] = г, 0, г) выражают |
||
ся через три гармонические функции |
(i = 1, 2, 3) по формулам |
|||
(2.57) и |
(2.60) соответственно. |
|
|
|
Д ля |
решения поставленной задачи |
в /-м приближении указанные |
||
функции |
выбираются в |
виде |
|
|
|
xY'/j = М и £ |
У! [ A & u L M |
+ B J?nuKm(hr)}{ |
X |
/п=0 п==1
197
cos/M0 |
sin Xnz |
i = 1; 2; M\,i = |
1, |
M%i = 4 |
(1 — V/), Xn = |
, |
||
sin m0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
^ |
= £ £ |
|Л э .//„ ( * .„ г ) + В Й |
з . . ^ ( М |
|
sin m 0 |
|
||
|
1 , . „ т П 5 т ^ г |
|
||||||
|
m=0 n=l |
|
|
|
|
cos |
|
|
Здесь |
B $nij — произвольные |
постоянные; |
/,' (А,„г), К т |
(Хпг) — |
||||
модифицированные функции Бесселя; h — высота цилиндра.
Е сли слои рассматриваемого цилиндра трансверсально изотропны ,
то вы раж ения перемещений uj$ и напряжений |
через три |
гармони |
ческие по переменным V г , 0» 2 (или г, 0, z /V х<) ф ункции |
(г = |
|
— 1, 2, 3) имеют вид (2.66), (2.71). При этом по аналогии с (7.7) ф унк
ции Ф $ |
выбираю тся |
в форме |
|
|
|
|
ф 8 |
- Б |
[A$nt,iIm( K V * i.ir) + |
||
|
|
т=0 п=1 |
|
|
|
|
+ |
(К |
У ъ л г)} sin т 0 |
Sin К г , |
|
|
|
|
|
|
(7.8) |
|
ф $ = Б Б и ^ з . / / „ , ( > ь „ ^ г ) + |
||||
|
|
т=0 п=1 |
|
|
|
|
|
|
л__ |
sin т 0 , |
|
|
+ |
Bmn3,lKm (К VКз./Г)] ^ |
XnZ, |
||
которая |
соответствует случаю, |
когда х,.* |
являю тся вещественными и |
||
различны ми корнями характеристического уровня (2.65) и определяю т
ся |
через упругие |
постоянные /-го слоя по формулам |
(2.70). |
||
|
Т ак |
как |
при |
переходе к случаю изотропного тела ( х ^ = х 2,/ = |
|
= |
хз,/ = |
1) |
функции Ф{(] и Ф 2{} становятся линейно |
зависимыми, то |
|
для возможности численной реализации аналитического решения по ставленной задачи по единой программе при рассмотрении изотроп
ного слоистого |
цилиндра |
в |
соответствии |
с (7.7) следует |
полож ить |
|
Y $ ( r , 0, z) = |
Ф $ (г, 0, z) Uu = u |
¥ $ ( г , |
0, г) = Ф $ ( г , 0, |
z) |к3 /= ь |
||
|
0, г) = |
4(1 |
•V/) |
Б Б |
[Amn2,llm ( К г) + |
(7.9) |
т=0 п=1
cosm 0
“Ь Bmn2,lKm. (Кг)] sin m0 sin Xnz.
Реш ение рассматриваемого класса краевы х задач в больш инстве случаев требует вычисления модифицированных функций Бесселя больш ого аргумента и высокого порядка, что вызывает определенные трудности при реализации на ЭВМ численных алгоритмов. В работах 1115, 147] решения аналогичных задач для однородных цилиндров строятся таким образом, чтобы вместо непосредственного вы числения модифицированных функций Бесселя вычислялись соответствую щ ие
198
их отнош ения, учитывающие граничные значения аргумента. Такой подход дает возможность осуществить необходимые числовые расчеты для более ш ироких интервалов изменения аргумента и порядка мо дифицированных функций Бесселя. На основании этого при решении неосесимметричных задач для многослойных продольно гофрирован
ных |
цилиндров |
развит |
следующий |
численный алгоритм. Функции |
||||||
Ф $ |
в случае вещественных х и |
Ф х 2>/ |
вместо |
(7.8) выбираются в форме |
||||||
|
t |
OO |
OO |
|
|
Im (p) |
|
|
Кщ (P) |
cos m0 |
|
■ E |
E f - e |
, |
|
“ + |
BrnniJ |
||||
ФЙ = |
|
sin %nz, |
||||||||
|
C44.N |
m=0 /2=1 L |
|
Im (Рда) |
|
|
^m+l <Po) |
sin/n0 |
||
|
|
|
|
|
|
(* = |
l; |
2) |
|
(7.10) |
|
l |
|
|
|
An (p) |
|
|
/fm (P) |
sinm 0 |
|
|
II |
i |
1 |
|
Ап (Рдг) ■+ |
^nuxi.l |
^m+1 (Po) |
sin Я„г. |
||
|
C44,N |
|
. COS /Л0 |
|||||||
|
|
m=0 n=l L |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ч ерез эти функции компоненты напряженно-деформированного состоя
ния определяются по следующим формулам: |
|
|
|||||||
для |
перемещений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ur] = 2 |
дг |
Г |
г дд |
|
||
|
|
|
|
1=1 |
|
|
|
|
(7.11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,.(Л |
V |
1 |
аФ<Л |
аФ$ |
|
„</) _ |
V / , |
дФ$ |
|
“ 0./ |
L |
~ т |
~ w ~ |
дг |
• Uz‘l ~ |
2.j |
' дг |
|
|
|
1=1 |
|
|
|
|
|
i=l |
|
для |
напряжений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ки |
— k tj — 1 |
д 2 |
|
|
|
|
|
|
|
к. |
дг2 |
||
|
|
|
|
|
|
3./ |
|
|
|
1а 2
гдгд0
tf&O.f — ^44,/1 S |
I |
|
к31 |
дг2 |
4=1 L |
|
|
|
|
2 |
/ |
1 |
а 2 |
|
кз,/ |
\ |
г |
дгд0 |
|
|
|
|
2 |
^2ф(/1 |
|
0>гг,/ = |
Й4,/ |
(1 4 “ ki,l) KiJ |
^2 |
(7.12) |
||||||
|
|
|
t=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
a<!> |
Cm./ |
а |
Г А |
0 |
+ |
|
дФ(/ | |
+ |
I дФи |
1 |
|
urz,’/ = |
|
[ S |
ku ) ~ д Г |
T* “ Ж |
" ] ’ |
||||||
Л!), |
Ci\,i |
Л |
^ |
1 |
Х |
М |
> |
^ S !i |
a< |
1 |
|
00Z,„I = |
|
|
(1 |
+ |
M |
— |
- 5 9 |
dr |
) ’ |
||
199
П осле подстановки функций (7.10) в формулы (7.11), (7.12) получен
ные вы раж ения |
будут содержать производные |
первого и |
второго |
по |
|||||
рядков от модифицированных функций |
Бесселя. Рекуррентны е соот |
||||||||
ношения для этих функций и их производных |
позволяю т |
свести |
все |
||||||
возможные случаи к |
вычислению отношений вида |
|
|
||||||
|
Л(Р) |
МР) |
Ко (р) |
К1 (р) |
|
|
|||
|
/о (р) ’ |
Л>(Рл/) ’ |
/Cl (р) ’ |
/Cl (Ро) ’ |
(7.13) |
||||
/щ (Р) |
//п—1 |
(Р) |
Кт __| (р) |
|
/Сщ (р) |
|
|||
|
( P o < P < P w ) - |
|
|||||||
/т _1 (р) * |
/т _[ |
(рд/) |
’ Km (р) |
' |
-/Cm (Ро) |
|
|||
|
|
|
|||||||
Д л я первой группы отношений на основе аппроксимационных формул
1151] |
справедливы |
следующие |
выражения: |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
l\ (Р) |
I |
|
|
|
|
/о (Р) |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
*=О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
/о(Р) |
2 |
|
|
|
10 (Р/у) |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
fe=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ft=0 |
|
||
|
|
(£ = |
3,75/р, |
In |
|
= 3,75/рдг, |
3,75 < |
р < |
pw); |
(7.14) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/С0 (р) |
|
2 |
|
|
|
/Cl (P) |
|
1 / |
____ |
_Po—P |
2 |
|
|
||
|
|
fr=0 |
|
|
|
|
Po |
ft=o |
|
|||||||
|
/Ci (р) |
|
2 |
|
’ |
|
/Ci(Po) |
~ |
к |
P |
|
|
Д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
* 4 |
|
|
|
|
|
ft=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fe=0 |
|
|
|
|
|
( i = |
2/p, |
5o = |
2/p0, 2 < p 0 < p ) . |
|
|
|
|||||||
Здесь |
Cfc, D fe, |
/ ’fe, |
/?* — известные постоянные. |
|
|
|
|
|
||||||||
П ри анализе второй группы выражений типа |
(7.13) для достаточно |
|||||||||||||||
больш их аргументов р и порядков т |
рассмотрим три случая |
|
||||||||||||||
|
а ) т « р , |
|
б) |
|
|
р, |
в) |
|
р |
|
( т |
> 2). |
(7.15) |
|||
П ри этом в случаях а) и б) для вычисления отношений (7.13) |
достаточ |
|||||||||||||||
но использовать известные асимптотические представления |
ф ункций |
|||||||||||||||
(р), К т (р). полученные для фиксированных т |
и больш их р: |
|||||||||||||||
|
/ « < p ) ~ - s 4 = - |
|
1 — |
4m2 — 1 |
, |
(4т2 — 1) (4т2 — 9) |
|
|||||||||
|
|
|
! |
| |
|
|
|
-------------- |
|
|||||||
|
|
V 2яр |
|
|
|
|
8р |
|
|
2 1(8р)а |
|
|
||||
|
|
(4m2 — ]) (4т2 — 9) (4т2 — 25) |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
3 I (8р)3 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|||
|
К т (Р) |
Р |
l / j L |
h |
|
I |
4 т 2- ! |
, |
(4т3 — 1) (4т2 — 9) |
, |
||||||
|
|
у |
2р |
L1 -i |
8р |
|
+ |
---------я ш |
* |
---------- + |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
+ |
(4т2 - |
1) (4т2 - |
9) (4т2 - |
25) |
|
|
|
|
(7.16) |
|||||
|
|
|
|
3 I (8р)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
200