книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела

пространить

на другие задачи без дополнительных обоснований. По­

этому всегда

возникает необходимость проверки точности

и пределов

применимости

полученных приближенных результатов

в каждой

ми последовательными приближениями

выполняется

неравенство

| 0£/+1> И a \f | < | of} |/| а!/- 0 !, то оно

выполняется и

для после­

ше членов

ряда нам известно.

2.1.

Некоторые основные неравенства. Решение краевых задач

механики

кусочно-однородных тел с ортогональными (гл. 2) и неорто­

поверхностями) с помощью первого и второго вариантов

МВФГ ищется

в виде рядов

оц,1 = S

(6-16)

/1=0

4 .1

т(и)

(6.17)

Jf/./

( П > 1).

■Лп)

лож ения, будут приведены в пп.

2.2, 2.3.

Н а основе (6.17) имеем

И /М 3

(6.18)

1

( п > 1).

I

ность отыскания точного значения более

высоких приближений.

Из (6.16) следует; что для

любого k ^

0 имеем

k

(6.19)

К ' . / К

+

1 Rk I»

п=0

где

(от+й+1)

| / ? . ы « П < № 1 Е 1 « г

aii,l

(6.20)

m=О

Т ак как из (6.17) следует, что

т

_(m+fc+l)

„Щ,

aif.l

( m >

1),

(6.21)

о<*+1>

°ij.l

Ihi

то

для оценки

остаточного

члена

Rk ряда

получаем неравенство

19

„<*>

—

,ft+i

1 —

/tW.

(6.22)

| К , К

- Ь

^

(*—1)

| е

Г

К л 7 и 1

аш

Тогда исходный ряд (6.16) может быть оценен через k +

1 известны х

его

членов

(fe)

12

n(fe)

1—1

ft-H

I

I < a i/.t =

е

(Ji/j

+

T O

1 —

. (6.23)

| 8 |

(fe-1) I

o g j 1'

п=0

I ai/7

Эквивалентным

является

такж е несколько другое неравенство

,<*)

1—1

11 ././1< <1.7./ =

Е в"«й ,

+ 1

е |* / о й ||

1 —

Jt/J

(6.24)

t/./

л=О

(6.16).

Т ак как

для последовательности остаточных

членов

вы полняю тся

неравенства

| Rk | > I Rk+\ | > | Rk+ч | >

то

оценки

(6.23),

(6.24)

будут тем точнее, чем больше k.

Допустим, что, как и прежде, известно

k +

1 членов

рядов

(6.16)

для того, чтобы остаточный член не превосходил

наперед заданное по­

лож ительное

число 5*,

т,

е.

(6.25)

С этой

целью представим (6.19) в виде

k—2

(s+fc-1)

К / . / К

2 j е а Ч‘1

E

l e f

Jij.l

(6.26)

aif.l

s=0

s=0

П риняв

во внимание (6.21) и выделив из

(6.26) л членов (л >

k), по­

лучим

к—2

п—k

(Ь\

Т О / К

гт\К)

Е

+ и

П

о 1 ‘ 7 '’ 1 Е |® 1 !

+ | R n -i I-

(6-27)

Здесь

s=0

5=0

° V

]

(Лк) ft—k-\-{ 00

°£/.1

S

(6.28)

з«7»

(/г-1)

чЛ

S=О

о)Ш

В предположении, что ряд

(6.16) сходящ ийся, т. е.

,<*)

&

7и,1

< 1

(6.29)

T(ft-1)

рическую прогрессию.

Следовательно, на основе

(6.28),

(6.29) условие

(6.25) примет вид

„(*)

Л—ft-fl

1 __

„(ft:

—I

аш

0(fe-D

(6.30)

|в Г 1 о В 7 1,|

1 ■

J

аш

аШ

Отсюда находим

ft—1

„(ft)

lg

I —

°ИЛ

T(ft-H

I °if,I

•8 7 "

(6.31)

Лк)

1a,i

lg

fMt-U

aij.l

где £* [а] — число а, округленное до

целого

по общепринятым

пра­

вилам .

на поверхности

ж есткого

включения

so

I

е>

Щ (Р. V. Ф) Ip=i =

■«/(р> ъ

Afsm (Р- Y' Ф>

ф )|р= 1 = — 5 ] Ц -

1CD|s 10>' Г

Р=1

5=0 т —0

на поверхности

свободной от напряж ений

полости

(6.32)

*1

-

В/ т (Р- У»

Ф> $

<Гр/ (р, у, ф) ]р=1 =

— Ору (р,

у, ф) |р=|

- S

S

К о Г |ш 'Г

s=0 m=(

#л

Re ак

1гп (и

|ш |

cos kQ =

—— — ,

sin& 0 =

г =

со

I <в|*

(6.34)

c o s n P = . K

g

s , s ln n p =

? g y >

.

P | (O1

| Ofl

I

p

I 0) |n I 0)

I

Т ак как

<в (£) = г<Г' 1C +

е/ (£)], то характер

сходимости рядов по

степеням

параметра

е, полученных в результате разлож ений правых,

частей (6.32), (6.33), зависит

от показателей s, т . Т ак, наприм ер, если

без

кручения)

в

соответствии с (6.34)

содержат

(r0r)~ s =

| со |“ s, а

л

,

Л

иа (при

осесимметричном кручении) — | со |~ , то

напряж ениям а гг,

СТ0О,

оаа,

огв будет

отвечать

| со | s

а

ога, а 0а ~

| со | к

'.

Следова­

тельно,

согласно

(2.135) — (2.136),

(6.34)

наблю дается

соответствие

ир,

иу — | со |

s 1J со' J

\

ыф ■—-1 со |

k,

Орр,

Oyy,

Opy ~ | со |—15—31 со' \~2,

а,рф ~ | со |—s_l,

(6.35)

"'Рф!

со I—k—2 ICO'

H a

основе неравенств

| с

о

Г

< Л

- 5 ( 1

- |

| со' Г * < ro m (1 - 1б 11f

|Г т (6.36)

имеем

(6.37)

Расклады вая

правые части (6.37) в ряды по е, получаем

I—s |

/ \—т

^

—s—т

р

s

(п + tn +

S— I) !

со I

I

со

I

^ Г о

Я=0

п ! (m + s — 1) ! 1 « П / '|

(я + m + s - l ) ! j ,п

(6.38)

/1=0 п \ (т +

s — l)l

|Е |

частям

(6.32),

(6.33)

такж е

будут сходящимися

при

условии

(6.39).

Т ак как

для

любого

положительного

s справедливо

неравенство

д + 7

< -

и --------

( п > и

т > \ ) ,

(6.40>

то для сходящ ихся

при условиях (6.39) рядов в правых частях

(6.38).

выполняется

условие

(6.17). Оно такж е выполняется и для

рядов

Так как в (6.40) получаем

равенство в двух случаях ( т +

s = 1*.

п Ф оо, или /п + s > 1, п =

оо), то отсюда следует вывод:

оценка

ближений.

Д л я

наглядности рассмотрим первый ряд

(6.38)

при s =

0, сходя­

щийся к соответствующей сумме (6.37), т. е.

^

= [ 1 - | 8 | | Л Г т

£ ¥ к Г г 5

| ' | « Г

1 г г

(1Е/ ' к

о

- (6 .4 0

I—о

В качестве функции / примем ее аналитические выражения

из табл. 2.7~

(№ 3—9), т. е. f (р, у) =

р-N g -tth (N >

1).

ности б*, которые вычислены при k =

2; 3, т

= 1, 2, 3, р = 1 ,7

= 0,.

е = V9 на

основе

неравенств

(6.23), (6.31), т. е. по формулам

1

-1

-----

О»

=

Е

e 'a ff

г

8 --- ------

1 ч г ц |

/=о

т

J

(6.42).-

Ig

fit*-»

I —

OS?

^

_1>

asт

lg

Числовые

данные

табл.

6.6

наглядно

иллюстрирую т

влияние

пара­

метра т , связанного с видом

нагрузки, геометрии поверхности, харак­

теризуемой

показателем

М,

а такж е

количества k известных

членов,

ряда (6.41)

на точность

маж орантных

оценок. Так, например,

мажо­

Т а б л и ц а

6.6

(6.41) (/ =

0,

1 ,2 ;

k — 2) пре*

вышает

точное

значение

Q,n

т

10“ 1

10 -

ю—3

на

18,5

% , а

при

учете четы­

рех

членов

ряда

(6.41)

(I =

N == 1, k = =2

=

0,

1, 2, 3;

к

= 3) — только

на

3,7 % .

1

1

2

3

1,125

1,125

Замечание.

Вопрос

о

схо­

2

2

3

4

1,266

1,267

димости

рядов для н о м и н ал а

3

2

3

5

1,424

1,429

ных

напряж ений в случае не­

N =

3,

k ==2

ортогональны х

поверхностей

1

2

5

7

1,500

1,500

раздела

(см. гл. 3)

рассм атри ­

2

5

8

11

2,250

2,333

вается

в

той

ж е

последова­

3

9

15

21

3,375

4,000

тельности

и

приводит

к

ана­

N =

3,

k ==3

логичным

результатам

и вы­

водам.

В

частности,

по

ана­

1

2

5

7

1,500

1,500

логии с исследованной

выше

2

4

7

10

2,250

2,266

задачей

для

случая

ортого­

3

6

11

14

3,375

3,500

нальных

поверхностей

разде­

ла рассмотрим пространствен­

ную

краевую задачу для бесконечной среды

с

замкнутой

осесиммет­

ричной

неортогональной поверхностью полости или ж есткого

вклю че­

н и я,

находящ ейся на «бесконечности» под действием

усилий, которым

л

л

отвечаю т номинальные перемещения щ и напряж ения а (/ (/, / =

х, у, г).

Согласно (3.76), (3.77) граничные условия на поверхности

раздела S ,

описываемой уравнением г — г 0+ е/ (0), можно записать

в

виде:

на

поверхности

S

жесткого включения

Щ (г> 0) Is =

— щ (г, 0) Is

(j =

г,

0);

на

поверхности S

свободной от напряж ений

полости

л

л

\оп Пг -f- Oojne)s =

— (сfrffir +

o>Btto)s.

’

2

«г Is =

(гД Г 'Ь .

т

= —

Д 7 1)s ,

A *|s =

[г 2 +

) .S

Следовательно,

источниками

появления

бесконечных

маж орантны х

рядов, соответствующих правым частям указанны х

граничны х

усло­

вий,

в отличие от

(6.37) являю тся

(г-",Д 7 ') 5 < г Г ,~ '

( 1 / К 1 П ) .

( 1 /1 > 1 Л ) .

( г - ' Х ^ г

Г

V

(п + т ) !

( l / l < l f I).

^

п \ т \

п=0

(Г-МД Г')5 ^

^

S

(n + т)

! , и |П

f

г

Л—0

п \ т \

lfel '•о

( 1 /1 > 1 П ) -

И х область

сходимости опре­

Т а б л и ц а

6.7

деляется неравенствами

|е |1 Л < М 1 Л < 1 П > .

Ь/а

е

ftT

kM

а". %

УФ

ТФ

Л егко проверить, что три про­

2

—0,333

1,633

1,655

1,3

1/2

0,333

1,087

1,179

8,5

извольных

последовательных

члена этих

рядов обладаю т

2.3.

Сравнение маж орантных

значений для напряжений с точны­

ми

реш ениями.

Кручение. Обратимся

снова

к задаче

о

кручении

тела

вращ ения

с эллипсоидальной

полостью, рассмотренной в п. 1.1

гл.

6.

Непосредственной проверкой легко убедиться,

что

три най­

денных первых приближения для компонентов

напряжений оУФ(п =

= 0, 1 ,2 )

возмущенного

состояния

рассматриваемого

тела

вращения

удовлетворяю т

неравенству

(6.17),

а

условие

(6.39)

для

функции

f (£)

=

£_I

выполняется

при

| е | <

1.

В табл. 6.7 наряду с точными значениями коэффициента концентра­

ции

напряж ений kУф (е =

0,333) [48] приведены его мажорантные зна­

чения

а такж е относительные

отклонения

А*1 (в

процентах), где

kM

-

^УФ

ом

kм

— 1К уф - ^ ф !

100% . (6.43)

УФ

—

Р'Ь

+ ■р'Ь

1р=1,у=я/2

ЬТ

ЛУФ

При

этом

маж орантные

значения

вуу/р'Ь определялись

по

формуле

(6.23) при k = 2, причем

a ^ lp 'b =

0,25; а ^ /р 'Ь = — 0,7143;

o ^ lp 'b —

= 0,8842.

значения б* =

10-1 , если

взять

не

менее

трех

членов (п ^ 3). Это

подтверждают

и данные

табл.

6.1,

так

как

| £УФ— Л^ф | < 1 0 ~ 1'.

задаче об

упругом равновесии

изотропной

среды

с эллипсоидальной

полостью,

рассмотренной в п.

1.2 данной

главы.

М ажорантные зна­

Kll -- U ff | + е*

off 1

1 __

| С 1 off

(i = y, (p). (6.44)

°о

\

1

Iе !

off

Т а б л и ц а

6.8

Т а б л и ц а

6.9

,т

*и

Дм. %

Ь ..

о.

*«

10—1

КГ-2

10—3

к»—4

У

2,265

2,331

2,9

kyy

3 (0,068)

6

8

11

ф

1,461

1,483

1.5

k

2 (0,078)

5

8

11

«фф

Т а б л и ц а

6.10

6

V

*(2>

kM

*(2)

км

фф

фф

1/9

0

2,405

2,415

2,405

2,415

л/2

2,567

2,764

1,586

1,672

- 1 /9

0

1,038

1,048

1,038

1,048

я/4

2,521

2,697

1,602

1,904

чены

по формуле (6.31) при k =

2. В скобках

приведены

разности

f£fy —

ky\ и

£фф — &ф<р,

характеризую щ ие

достаточно хорош ую

точ­

ность

указанной формулы.

Приведенные данные подтверждают эффективность таки х

м аж о­

рантны х оценок. Однако

их главное назначение — получить

оценки

Т ак, например, при рассмотрении пространственной краевой

задачи

о напряженно-деформированном состоянии среды со свободной

от

н а­

пряж ений

замкнутой конической полостью (f (Q = £- 2 , е =

0,25),

на­

ходящ ейся

«на бесконечности» под действием всестороннего

растяж е-

кручении

тела вращ ения с впаянными ж естким биконическим (е =

= V9) и

конечным

цилиндрическим

(е = — V0)

вклю чениями.

В табл. 6.11 приведены полученные с точностью О (е3)

приближ енные

значения

для

коэффициента концентрации

напряж ений | k{p4>| и

его

маж орантные

значения

J £рф |, вычисленные

по формуле

(6.44), на

по-

Т а б л и ц а

6.11

Т а б л и ц а

6.12

V

1 * 1

K I

8

V

*<2)

км

*<2)

JV1

рр

РР

tv

YV

1/«

я /12

2,2490

2,2491

1/,

0

2,115

2,199

0,906

0,943

5л /12

2,5203

2,5207

- V ,

я/2

1,877

1,915

0,804

0,821

0

1,391

1,475

0,596

0,632

—У

я/4

4,6011

4,6280

я/4

1,875

1,916

0,804

0,821

я/2

0,501

1,529

0,639

0,655

чено с удовлетворительной точностью. Если

ж е этот вклад больше 8,

то оценивается последующее приближение

с помощью условных ма­

ды. Н иж е излагается общая схема исследования

практической сходи­

мости

МВФГ, соответствующая указанному критерию.

3.1.

Об одном критерии оценки точности

приближенных решений.

ненты напряж енного

состояния в краевой задаче для кусочно-одно­

родного тела с неканонической поверхностью раздела Si ищут

в виде

рядов

оо

Оц.1 =

£ e V //.1/ (/, / = a v а а, а 8).

(6.45)

т=0

ностью О (еп) найдено п первых приближений

<hl,i = s ' e 4 f t + 0(e")-

(6.46)

m=0

ближ ений

через

S g i

Е

й

=

S '

А ® ,

(6.47)

т=О

и условно

примем ее за 100 %. Здесь

(6.48)

Т огда абсолютным значением вклада произвольного члена

Дг/°/ в сум­

му (6.47)

будет

Д

= 4 % -

(Д1/.1 +

+

Д1л7 "

+ Д |/ ^ 1) +

+ A i/7 l>)- (6-49)

Относительный .вклад члена Д ^

(в процентах)

находят по известной

ф ормуле:

<«)

% =

т о %.

(6.50)

Д*7./»

Е сли

при

такой схеме определения

процентного

вклада каж дого

из

найденны х приближений установлено, что последний член

Д^”7Г1>,

%»

суммы (6.47) не превосходит наперед заданного значения б,

% , то счи­

тается, что аналитическое

решение

получено

с

удовлетворительной

Если ж е окаж ется, что значение Д1/71), %

(последнего из найден­

ных

п членов ряда (6.47)) составляет более б, %,

то последующ ий

член

Дfjtl оценивается согласно

(6.18)

на основе неравенства

тд(л—1)12

1л ^ <

4

^

Г

7

i

( /г > 2 ) -

(6-51)

I

д г / /

Е сли

такая оценка покажет,

что значение Д

% ,

составляет менее