П Р И Л О Ж Е Н И Е I
ДЕЛЬТА-ФУНКЦИИ
Существует много определений дельт а-функций Лирака [36]. Здесь нам понадобятся следующие свойства этих функций:
если а < у < 6,
(1.1)
если у > Ь,у < а,
—С
Тогда для всякой непрерывной функции /(х)
I |
если а < |
у <Ь, |
}(х)6(х - у) Ах = | |
(1.3) |
|
если у > |
Ь,у < а. |
Для доказательства этого факта достаточно применить теоре му о среднем. Обозначим А область а $ х ^ 6 за вычетом е-окрестности точки у. Тогда
у+*
Ах = /(у + ае) ^ К х ~ у)
9 - е
где |а| ^ 1, е > 0. При а —►0 из (1.4) получим (1.3). Часто требуют, чтобы 6(х) была четной функцией. Тогда дополнительно нужно потребовать, чтобы
Ое
/ « , ) * « / в( . ) * 4 |
(1.5) |
-е О
Тогда можно вместо формулы (1.3) записать
/(ж + 0) + /(х - 0) |
^ |
если а < у < Ь, |
2 |
|
причем формула (1.6) справедлива и для разрывной функции /(> )
Для проведения операций с дельта-функциями иногда уд<><....
ввести так называемые дельта-образные функции |
|
М « ) = - * } а ) |
, |
(I /. |
а ^ <р(х)<1х |
|
|
где <р{х) ^ 0 — произвольная абсолютно интегрируемая функции Дельта-функцию можно определить как предел 6а (х) при а —+О При проведении выкладок можно оперировать с дельта-образными функциями и при получении окончательного результата перейти к пределу а —►0. В качестве <р(х) могут быть выбраны функции
<Р1(0 = *“*'| ^ ) = Г ^ 2 - |
0-«) |
В случае сеточных функций {/;}, г = 0 ,1 , ... , ЛГ, может быть рассмотрен сеточный аналог дельта-функции
= |
г,1 = 1,2,--.,N-1, |
(1.9) |
где 6у — символы Кронекера, Л — шаг сетки. Тогда по аналогии с (1.3) имеем
Можно определить дельта-функцию для двумерной области как некоторую плотность, сосредоточенную на кривой. Тогда обозначим ее 6(р), причем у € 2, т.е. некоторой кривой. По аналогии с формулой (1.3) имеем
1 Н у )б(у -щ < п :у = | /(»?)> |
если т) € Е, |
( 1. 11) |
О, |
если щ^ Е. |
2 |
|
Аналогично в трехмерном пространстве 6(2) понимается как плот ность, сосредоточенная на некоторй поверхности, причем 2 € V. Тогда
. |
/(О, |
если 6 € V, |
(1.12) |
I / (2 )6 (2 - 0 ^I<Д41 = 1( |
^М^ ’ |
: |
’ |
если | ^ V.
Дельта-функция мржет иметь размерность. В одномерном случае ее размерность, например, 1/см или 1/с, для плоского случая - 1/см2, а для пространственного — 1/см3.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
1. Определение преобразования Лапласа. Пусть функция /(<) определена для всех значений I, I > 0. Ее преобразованием по Лапласу !{/(<)}, или изображением по Лапласу, называется функция /*(р) действительной или комплексной переменной р, определяемая по формуле
|
|
00 |
|
/(О |
н т ) = П |
р) = / « - '7 ( 0 Л- |
(П.1) |
|
|
о |
|
Например, для функции еа* |
|
|
|
00 |
ОО |
|
ел* -г» /*(р) = У еаХе~рг <&= ^ е_0>~в)* <Й= — |
(11.2) |
|
о |
о |
|
Функция /(<) по отношению к изображению /*(р) называется ори гиналом.
2. Достаточные условия существования преобразования Лапласа. Для того, чтобы интеграл в правой части (11.1) схо дился, необходимо наложить некоторые ограничения на функциюоригинал /(I).
1°. /(<) является кусочно-непрерывной функцией на рассмат риваемом интервале.
2°. |/(01 ^ СеРх для некоторых выбранных постоянных С > О,
0 > 0.
При выполнении условий 1° и 2° существует функция-изобра
жение /*(р) для Пер > (3. |
Доказательство этого утверждения |
следует из серии неравенств |
|
ОО |
ОО |
^ |
|
|У /(1 )е -рх л| < У 1/(0|е-р* Л < С У е-р< Л = |
(11.3) |
0 |
0 |
о |
|
3. Некоторые свойства преобразования Лапласа. |
|
1°. Линейность: |
|
|
|
«1/1(0 + «2/2(0 + ••- |
^ «1ГЛР) + «2/5(?) + ■■■, |
(П.4) |
где а 1 ,а 2, - — некоторые числа. Доказательство (11.4) может быть получено применением (11.1) к каждому слагаемому в (И.4).
2°. Преобразование Лапласа от производной:
' ^ = /■(<) -5*р/*(р ) - / (0 ). |
(П.5) |
Доказательство этого утверждения может быть дано интегриро ванием по частям:
|
|
оо 00 |
|
Ч / (<)}=/ /Ч*)е_Р* <Й=/(()е_р< |
О |
+р / / (% -р‘ л = -/ (0)+ р Г (р ). |
|
о |
о |
|
|
(Ив) Таким образом, преобразование Лапласа сводит операцию диффе
ренцирования к простой алгебраической операции относительно функции-изображения. Точно такой же процедурой можно полу чить преобразование Лапласа от второй производной:
П О -Н-Р2Г (р) - р/(0) - / (0), |
(11.7) |
и аналогично от п-й производной:
/(в)(0 4* р”Г (р) - р”- 7 ( 0 ) --------- |
р/(”- 2)(0) - /("-^(О). (П.8) |
Здесь под /(*) понимается правое предельное значение Иш /(*)(<)•
з°. п Реобразование Лапласа от интеграла:
|
|
(П.9) |
о |
|
|
Доказательство этого факта следует из (Н.6). |
Пусть { /(г) йт = |
д(1). Тогда д (1) = /(I) и д(0) = 0. |
|
о |
Поэтому из (П.6) получаем |
д (1) = /(<) |
Г (Р ) = Р9*(р), |
(НЛО) |
отсюда и следует (Н.9).
Соотношение (11.9) может быть применено и для преобразова
|
ния Лапласа от п-кратного интеграла: |
|
|
г т\ |
|
|
Г(р ) |
|
/ / |
- / |
/(п)< 1т1<1т2 ...4тп : (п —1)! / (* г)п~Ч(т)<1т |
|
р” |
|
0 0 |
0 |
О |
|
|
4° |
Теорема о свертке: |
(11.11) |
|
|
|
|
|
^ /(* - г)«/(т)(/т ч* /*(р)<?*(р)- |
(И. 12) |
|
|
|
о |
|
Лля доказательства рассмотрим изображение интеграла в левой
части |
(11.12): |
|
|
I |
|
|
* |
|
оо |
|
|
I /(< - т)д(т)с1т -г* ! |
е~ргА1 ^ /(< - т)д(т) Ат. |
(11.13) |
|
О |
|
0 |
0 |
|
|
Интегрирование |
в |
правой части |
< |
|
(11.13) |
ведется |
по |
треугольнику, |
|
заштрихованному на рис. 48. |
Так |
|
|
как при Вер > /3 этот двойной ин |
|
|
теграл абсолютно сходится, то в |
|
|
нем можно изменить порядок ин |
|
|
тегрирования, и мы получим, за |
|
|
меняя еще I на ( |
= I —г, |
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
^ /(< - т)д(т) Ат -г+ |
|
Рис. 48 |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
00 |
|
|
|
|
-7+ Iд(т)А т ^ е~р*/(1 - г) А1 = |
|
|
|
|
О |
т |
|
|
|
= У д(т)е~* АтI / (О е-* |
= д * ( р )Г ( р ), |
(11.14) |
|
о |
|
о |
|
|
|
что и требовалось доказать. |
|
|
|
5°. |
Свойство интеграла Люгамеля: |
|
|
/(<М°) + У /(<- г)</$(г) |
-т+ р/*(р)9*(р)- |
(11.15) |
|
|
|
о |
|
|
|
Формула (11.15) получается после применения (11.13) и правила дифференцирования оригинала (П.5). В самом деле,
рП р)9'(р) = Г Ш О ) + 1Р9*(р) - 0(0)]/*(р) -н-
/(0»(0) + У /(< - т)</$(г). |
(11.16) |
|
о |
|
Пользуясь «симметричностью» выражения правой части (11.15) относительно /*(р) и д*(р), получим
< |
< |
/(00(0) + У / ( < - г ) а д = Щ |
) + У 9& -г)# (т ) ^р/*(р)»*(р). |
о |
о |
6 °. Теорема о начальном значении:
Шн/(<) = Д п /*(р). |
(11.18) |
Для доказательства этой теоремы воспользуемся формулой (11.6):
|
|
|
00 |
|
Ц т |
! { / ( < ) } = 1 п п ( р |
/ * ( р ) ~ / ( 0 ) ] = 1 ш г |
/ /(1)е~рХЛ = 0 . |
( 1 1 . 1 9 ) |
р—»оо |
р—►оо |
р—*-оо ^ |
|
|
|
|
о |
|
Отсюда следует, что |
|
|
|
|
Д т |
рГ(р) = /(0) = И т/(*). |
(1120) |
7°. |
Теорема о конечном значении: |
|
|
|
|
Дт/(<) = Итр/*(р). |
(П.21) |
Применяя ту же формулу (11.6), получим
оо
Дп М/ (*)} = 1нп[рГ ( р) ~ /(0)] = 1Ьп ^ /Ц)е~рХЛ=
(»-22)
[ / (I) а = 1Ш [ / (<) Л = Шп [/(<) - /(0)1.
оо
Сравнивая второе и последнее выражения всерии равенств (11.22), получим (11.21).
4. Обратное преобразование Лапласа. Процедура нахожде ния функции-оригинала /(1) по заданному ее изображению /*(р) называется обратным преобразованием Лапласа:
/(0 = Ь -,{Г(Р )). |
(11.23) |
Если /(1) удовлетворяет условиям, сформулированным в п. 2, то такое преобразование будет единственным.
Хотя может быть получена общая формула для выражения обратного преобразования Лапласа, на практике чаще пользу ются таблицами типа табл. 11.1. Кроме того, отметим частный случай, кода функция-изображение является рациональной фун кцией р, т.е.
во + в1Р Н------ 1- а т - 1 р т ~ 1 + ат р" |
(11.24) |
Г (р) = &о + К р + •••+ Ь п-гр"-1 + Ъпрп |
Разложим выражение в правой части (Н.24) на простейшие дроби:
_ Р(Р) __________ П р ) _________ |
(11.25) |
П р ) |
(Р + <*1 )(р+<*2 ) . . .(р +<*«)' |
Я (р ) |
|
Оригинал /(()
т
1
С
4 0
4* - от)
4 0 = МО
6(1 - а)
*■(*)
1
п= 0,1,2,...
е- “*
зт а( сова*
1- е-«*
Изображение Лалласу /*{р1 = Ь {/(0 >
/ /(|)е-Р*Л = /*(Р)
0
1/Р
С/р
1/Р
е -в*/Р
1
с~а*
Р
1/Р2 п !/^+1
Р+“
(р+«)*-^
О
Ир+«7
............................ ....
Здесь <*1, е*2, •••, о п — корни знаменателя ^(р), т.е. решения урав нения ф(р) = о.
|
Рассмотрим частный случай, когда все |
корни 0 1 , 0 2 , . . . , а п |
|
различны. Тогда |
|
|
|
|
М |
А2 |
Ап |
(П.26) |
|
П р) р + а 1 |
р + а 2 + ■■■ + Р + О п’ |
|
|
и обратное преобразование Лапласа может быть получено с по мощью табл. II.1:
/(<) = |
+ А2е~а’* + ■■■+ Л„е-в«‘ . |
(11.27) |
При этом постоянные А, |
(г = 1,..., п) определяются по формуле |
А{ = |
Нт |
(11.28) |
|
Р——ОТ* |
|
Заметим, что если функция-изображение /*(р) может быть
представлена в виде рациональной функции от ш*(р): |
|
г*/ \- До^* + Д1Ы*2 + ----1- атш*т |
(П.29) |
7 {Р) ~ Ьош* + Ьхш*2+ • • • + Ь„и*п |
|
гдеы(/) —►^*(р), то, обозначая через 7 ъ 7 2 >- ••>7п корни уравнения <д(ь)*) = 0, взятые с обратным знаком, и предполагая, что все они различны и отличны от нуля, получим
/* (р) = ^ 1 1 |
= —4*— + |
А2 |
и* + 7 п |
(11.30) |
|
0 > *+ 7! |
ш* + 72 |
|
Тогда функцию-оригинал /(1) можно представить в виде |
|
/(<) = ^171^, (г) + ^272^2 (О Н------1- -^п7п<7рв(0> |
(11.31) |
ГД6 |
1 |
1 |
|
(11.32) |
|
|
|
|
^-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Лля разностных функций //-преобразование играет такую же роль, что и преобразование Лапласа для обычных функций.
Рассмотрим некоторую разностную функцию {/„}, п = 0,1,___
//-преобразование переводит эту функцию-оригинал в изображе ние Р *(г) по следующему правилу:
ОО |
|
{/ п }~ 2 {/ п} = Р*(г) = Х > * - п. |
(III.1) |
п= 0 |
|
Очевидно, ^-преобразование связано с преобразованием Лапласа следующим образом:
Ь { № } = 2{1п Ь=е, = Р*(ер)> |
(Ш.2) |
где /(<) — обобщенная функция, соответствующая разностной
функции {/„}:
ОО
/(<) = Е / п ^ - п ) , |
(Ш-З) |
' п = 0 |
|
а 6(1) — дельта-функция. |
|
Из теории аналитических функций известно, что ряд в (III. 1) сходится вне некоторого круга в комплексной плоскости, т.е. при |г| > К ^ 0. Необходимым и достаточным условием существо вания такого круга является наличие двух таких положительных
констант С и а, что |
|
|
ч |
|/п |< С а п. |
(Ш.4) |
Изображение Г*(г) представляет собой при |г| > К аналитичес кую функцию, поэтому все ее особенности лежат внутри круга
\г\ < К.
Некоторыые примеры изображений приведены в табл. III.1.
|
|
|
Т а б л и ц а 111,1 |
|
Оригинал /п |
2-изображение Р *(г) |
|
1 |
|
г |
|
|
|
|
( - 1 ) " |
|
г |
|
|
?+т |
|
п |
|
|
|
ьп |
|
7=7 |
|
/о = 0. /п = |
П^ |
|
1 |
Для нахождения обратного ^-преобразования можно воснол!, зоваться формулой для коэффициентов ряда Лорана
|
|
Аг, |
п = 0,1,... . |
(III.Г. |
Так как |
представляет собой ряд по возрастающий |
степеням 2, то согласно формуле Тейлора получим |
|
/п = Л |
№ ----- |
- |
” = 0-!,•••• |
(НИ.) |
п\ |
|
|
|
|
Отметим несколько свойств ^-преобразования. |
|
Теоремы смещения утверждают: |
|
|
/м |
и Г ‘ Г ( г ) , |
4 = 0,1,2,... |
(Ш.7) |
ипри условии , что при п - к < 0 принимается /п_* = О,
к-1
|
/п+4 |
]=0 |
* = 0 ,1,2,... |
|
|
|
|
В частности, для конечных разностей имеем |
|
|
Д/п=/п+1-/п, |
Д«/„ = *(Д«-7„), |
|
Тогда |
9 = 1,2,... , Д°/п = /п. |
|
Д/п ~ ( г - 1 ) * » - /о2, |
|
|
|
Д2/п |
1)7Р *(г) - |
/о2(г - 1) - Д/02, |
Формула суммирования имеет вид
Е / .~ г г г '" М . |
|
|
ОП-Ч) |
п = 0 |
п = 0 |
1 |
|
Формула затухания оригинала: |
|
|
/Г"/» » |
Р*{(3г), |
(111.12) |
где /? — произвольное комплексное число, отличное от нуля. |
Отметим еще формулу дифференцирования изображения |
я /» ^ |
~ г ~Г^ |
(Ш .13 ) |
и формулу свертывания |
|
|
|
N |
|
|
|
5 3 |
* - |
Г ( г ) С ф{2). |
(III.14) |
п = 0 |
|
|
|
Представляют интерес также две теоремы о предельных зна чениях. Одна из них (теорема о начальном значении) утверждает:
если изображение Р *{г) |
= 2Г{/„} существует, то |
|
|
|
/о = |
г1йп Р *(г). |
(III.15) |
Вторая теорема |
(о конечном |
значении) утверждает: |
если |
Цщ /„существует, |
то |
|
|
|
|
п—* оо |
Пт /„ = |
Нт |
(г - 1)Р*(г). |
|
|
(III.16) |
п—*оо |
г — 1+0 |
7 4 7 |
|
