книги / Численные методы в теории упругости и пластичности

В случае, если материалы армировки и связующего являются изотропными, а ядра Суы(0 являются ядрами разностного типа, соотношения (6.25) принимают вид

° К * ,+ 1* )( 7 (Л,+1*)}

Остальные компоненты Лу* равны нулю. Если армировка упругая (Еа — модуль Юнга, иа — коэффициент Пуассона), а объем свя­ зующего не релаксирует (К с — модуль сжатия, о> — вязкоупругий оператор сдвига), композит называется простым. Тогда

7 — это отношение объема, занимаемого связующим, к объему всей ячейки периодичности.

Эффективные ядра релаксации Луы(<) и ползучести #у*»(0 для простого вязкоупругого композита могут быть представлены

При этом, согласно методу, излаженному в § 4. гл. 5, следует положить

Лля быстросходящегося метода, изложенного в § 5 гл. 5, получаем более сложное уравнение

линейное относительно Р(п)- Методы последовательных

приближений были реализованы в с помощью ЭВМ . На рис. 44 представлены «точное» решение «(*) (сплошная линия), нулевое приближение (штриховая линия)

и два первых приближения, под­ считанные по формуле (7.12) при /? = 2 и по формуле (7.13) (штрихпунктирные линии). Точность решения определялась по фор­ муле

1 К „ ) - и* II ^ (5||«7(1) - «(0)11, (7.14)

где «* — точное решение, а «(„) — п-е приближение. При этом, так как

00

В табл. 7.1 приведены значения величины 6 10-4 для приближений, подсчитанных с использованием формулу (7.12) при /? = 1 и 0 = 2, а также для быстросходящегося метдДа (б.м.) с использованием формулы (7.13).

§ 8. СВЯЗАН Н Ы Е ЗАДАЧИ ТЕРМ О ВЯЗК О УП РУГО С ТИ

Подробно связанные задачи термовязкоупругости рассмотре­ ны в [72]. Там сформулирована теорема существования, решено несколько частных задач связанной термовязкоупругости, в том числе и для квазилинейной теории вязкоупругости.

В качестве примера решения связанной задачи термовязкоуп­ ругости рассмотрим численное решение динамической задачи о бесконечной пластинке толщиной /.

Рассмотрим модель Фойгта, для которой

Функция рассеивания имеет вид

Пусть вязкость т) зависит от температуры известным образом:

где константы А, 6, С различны для различных веществ, причем

Т > С.

Обозначим перемещение в направлении х, перпендикулярном к плоскостям пластинки, через и. Введем безразмерную координату

и введем безразмерную вязкость р, тепловое расширение х, коэф­ фициент связности /?:/! = щ а2Ец12, х = 3аТ0К /Е 0, /? = ЗаК/рс».

Введем также вместо коэффициента теплообмена а безразмер­ ный коэффициент В (критерий Био) и безразмерный коэффициент с, связанный со скоростью распространения звука: В — <5//А; с = рал/Е 012.

Тогда систему уравнений задачи можно записать в следую­ щем виде:

Эта система является нелинейной из-за наличия рассеивания

Пусть при I = 0 заданы начальные условия

и граничные условия: на краях пластинки осуществляется тепло­ обмен со средой, имеющей температуру 0С, т.е. при у = 0 и у = 1

у = 0 дано внезапное перемещение, которое затем поддерживается постоянным:

где Л(<) — единичная функция Хевисайда.

Для решения задачи (8.6)-(8.9) составим разностную схему, для чего заменим производные, входящие в систему (8.6), и крае-

Тогда система уравнений (8.6) заменится разностной, имеющей явное решение по слоям:

Н +1 = 0>+ Н г ^ у - Щ + ^ К ) 2} ,

В соотношениях (8.12) ^ — числовой параметр, влияющий и . устойчивость разностной схемы, а величина р в программе оф<ч- мляется в виде процедуры-функции, зависящей от температура

Для исследования устойчивости разностной схемы был и- пользован спектральный признак.

В линеаризованную систему (8.12) при ( = 1 и /1 = сом I подставлялось представление

и приравнивался нулю определитель системы двух уравнений откуда

Исследовалось влияние коэффициента связности /? и вязкости р на решение задачи, при этом параметр ^ выбирался из условия (8.17), а остальные параметры были постоянны: щ = 0,001, В = 1, X = 0,01, с = 0,01, 9С = 5, Т? = 1.

На рис. 45-47 представлены графические данные об изменении температурного поля и перемещений при различных изменениях параметров (3 и р . Номер кривой на рисунках указывает, сколь­ ко раз волна прошла через пластинку. При т —►оо решение стремится к квазистатическому: