книги / Численные методы в теории упругости и пластичности

размерность задачи. В частности, для пространственного случая (п — 3, т = ЗЛО развернутая запись (5.3) имеет вид

где N ^ (2 ), д = г,] = 1,2,3, — координатные функции, которые в литературе по методу конечных элементов называются «функциями формы» [26]. Введем теперь вектор деформаций {е},

Рассмотрим изотропную упругую среду, для которой матрица Гука [1?] имеет вид (при п = 3)

Тогда связь между напряжениями {<т} и деформациями {е} может быть записана в виде

Составим теперь лагранжиан для области V. Очевидно, он состоит из суммы лагранжианов С(ч) для каждого конечного эле­ мента К(?):

где последний интеграл имеет место лишь в случае, если элемент является граничным, причем на границе заданы поверхнос­

тные. силы.

Упражнение 5.1. Показать, что в матричном виде выражение (5.10) записывается следующим образом:

(5.13) Дифференцируя в (5.13) по {а}т , получим линейную систему ал­ гебраических уравнений для определения неизвестных постоян­ ных метода Ритца {а}:

Тогда алгебраическую систему метода Ритца для определения постоянных {а} можно записать в виде

Метод конечных элементов заключается в специальном выборе коэффициентов {а}, а именно в качестве таких постоянных берутся узловые перемещения конечного элемента:

/\

\ « Г ,

Таким образом, т = пN, где N — количество узлов конечного элемента. Обычно в литературе обозначают {а} = {6}. Вектор {6} состоит из N п-мерных векторов:

. V ) .

Тогда матрицу формы [ЛГ(5)] молено представить в виде ком­ бинации блочных матриц, каждая из которых [АГ(/)] является квадратной п х п :

Тогда перемещение может быть выражено следующим образом:

N

(5.21)

1=1

В силу специального выбора функций формы [Л^/)(*)] должно вы­ полняться следующее свойство: если подставить в их выражения координаты узла х^)> то

Свойство (5.22) обеспечивает непрерывность перемещений при переходе от одного конечного элемента к другому.

Лля того, чтобы разыскать матрицы [ЛГ(/)(х)], поступают сле­

Пусть задаются координатные функции оператора восполнения

координатных функций, вообще говоря, совпадает с числом узлов конечного элемента. Из (5.24) имеем для каждого узла:

Тогда при каждом фиксированном г получаем систему алгебра­ ических уравнений

N

Тогда получаем для определения величин «(ур систему трех алгебраических уравнений (аналогичную систему имеем для ве­ личин а(у)г)

где Д — площадь заштрихованного на рис. 34 треугольника, то, подставляя решение задачи для величин 0(у)« в (”•**)> полУчим

(5.35)

2Д 1 *(У )(*)« < (У ).

Упражнение 5.5. Показать, что если за начало координат выбрать центр тяжести треугольника и вектор массовых сил {Л"} является постоянным, то

(!М5)

т.е. массовые силы равномерно распределяются между узлами. Я Если тело разбито на конечные элементы одной природы (на­ пример, треугольные), то достаточно построить матрицу жест­ кости для одного элемента, а затем, используя преобразование системы координат, перейти от локальной системы, в которой построена одна из матриц жесткости, к глобальной, в которой

задаются все рассматриваемые конечные элементы.

§ 6. ФОРМ АЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ КОНЕЧНОГО ЭЛЕМ ЕН ТА

Рассмотрим теперь построение конечного элемента в п-мерном пространстве й „ . Пусть задано множество

где N — число узлов. Рассмотрим линейную оболочку /\, натяну­ тую на эти векторы х/, т.е. множество всех линейных комбинаций векторов системы к. Очевидно, К С Н,„. Зададим теперь сово­ купность действительных функций, определенных на К : р(х) € Р. Будем говорить, что к является Р-разрешимым множеством, если для любых чисел /?у (7 = 1,2, ... , А) существует функция р(х) € Р. и притом только одна, такая, что

Пусть к является Р*разрешимым множеством. Тогда назовем для каждой функции и(х) € А ее Р-интерполяцией Лагранжа ту единственную из Р функцию, такую, что

Упражнение 6.1. Показать, что функции /,(х), обладающие свойством (6.4), образуют единственный базис в Р. ■

Следовательно, справедливы формулы (6.5) и (6.4). Кроме того, так какформулами (6.14) записаны алгебраические дополнения к элементам матрицы системы (6.9), то по правилу Крамера

Координаты узлов можно выбирать произвольными, если мож­ но путем преобразования координат одни узлы переводить в другие.

Два множества Н = {х/} и к' = {х )} называются Л-эквива- лентными, если существует линейное невырожденное (аффинное) преобразование А : Кп —>К-п такое, что

Из предположения о невырожденности сразу следует, что сущес­ твует обратное преобразование А~1.

Упражнение 6.2. Показать, что если Л и Л' являются Р -раз­ решимыми множествами: /'/ = //Л-1 , то

В качестве примера рассмотрим триангуляцию области, т.е. разбиение области на конечные элементы треугольного вида: