Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Численные методы в теории упругости и пластичности

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

10.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 / 3736 37 > Следующая >>>

ФОРМУЛЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Рассмотрим вектор а в прямоугольной декартовой системе координат трехмерного евклидова пространства П3:

а = а*е,-, 1 = 1,2,3. (IV. 1)

Здесь е,' — ортонормированные векторы базиса, а по повторяю щемуся индексу происходит суммирование от 1 до 3.

Скалярное произведение двух векторов а и о определяется

следующим образом:
л * 6	б, *	е^' — ,I),&,'^у —в\|6\|,	(™.2)
где символы Кронекера
Г	1,	если I = У,	(ПГ.З)
		6а = 3.	(ПГ.З)
\ 0, если » ф ),

Для определения векторного произведения полезно ввести симво

лы Леви-Чивиты		:
-(-1,	если все индексы различны и образуют
{—1,		четную подстановку,
	если все индексы различны и образуют		(IV.4)
		нечетную подстановку,
О,	если хотя бы два индекса одинаковы.

Тогда векторным произведением двух векторов а и Ь будет вектор

с = а х Ь = е„ка ^ е к. (ПГ.5)

Образуем диадные (тензорные) произведения двух векторов бази са е,- и е,- и обозначим е,- 0 су, как формальную совокупность этих векторов. Тогда е,- 0 могут быть выбраны в качестве базиса для тензоров второго ранга а:

а = а^-е,-0 е,-.

( ^ .6)

Тензорным произведением двух векторов а и 6 назовем тензор с:

дсч	_	_ „	(1У.М
—	= ац = д,а{.
Введем дифференциальный оператор — вектор'			компонентами

которого являются символы дифференцирования по соответству ющим координатам:

	У = е,й.		(IV.Я)
Тогда скалярное произведение V на некоторый вектор а дает
V ■а = <9,а,- = а*(,- = сИуа.			(IV.10)
Векторное произведение V	на вектор а	дает
^ х а = су&а,-е = €^ка3>&к = го1 а.			(1У.11)
Тензорное произведение V на вектор 3 дает
V ® а =	= а^е,- ®	= ОгаЗа.	(IV.12)

Отметим еще часто используемые дифференциальные операторы

БеГо =	® а + а ® V) = ^(а^, + а,-,,)?* ® е7 ,			(IV.13)
	1пка = ())к(тп1	\|,ЬпС\| ® ст *		(1У.14)
Полезными бывают следующие тождества:
	&И	^:т	$гп	(1У.15)
	^1]к^1гпп — &]1		&}п	(1У.15)
	&Ы	4 т	<$*п
	^1]к(!тк — 1&]т			(1У.16)
	= 24\|\|			(1У.17)
	СщСуЬ = 6.			(1У.18)

Лля двумерных задач применяется двухиндексный символ

Леви-Чивиты
’ +1,	если г = 1,^ = 2,
су = - -1 ,	если « = 2,.? =			1,		(1У.19)
0,	если индексы одинаковые.
Лля двухиндексных символов е,;- справедливы тождества
	6{к	6{1	а	к	1 - 1 2	(1У.20)
	6]к	6ц '		’	’	’
	е>]	= 4*1				(1У.21)
	V	чГ II	ся II			(IV.22)

Отметим еще часто встречающиеся интегральные теоремы для трехмерного евклидова пространства В *. Пусть п — единичный вектор внешней нормали к поверхности Е, которая считается ре гулярной и замкнутой, ограничивающей односвязную область V:

п = п,-е,-, п,п,- = 1.

(IV .23)

Тогда для гладких вектора а и тензора Ь справедливы теорема Остроградского-Гаусса

(IV .24)

^ ЬЧ,3 № = ! Ъ*}п1

и теорема Стокса
^	(>]ка],г (IV — ^ (>]кпга] <^2,
V	Е	(^ .25)
		(^ .25)
^	(IV = ^	<12,
V	Е
	^ (<]к®],>(4; <12 =	а </®\|,
	Е	Ь
		(ПГ.26)
^	(1]кЪ}т,гпк<^2 =	^ Ь»'т ЙХ,-.

354

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ УПРУГИМИ постоянными

У п руги е					Основная пара
постоянные	(А, д)		(К, О)	(О, и)	(Е,и)		(Е ,0 )		(К, ш)	(д ,^ )
д	д		к - - о	2Оу	уЕ	- 2 1 /)	0 (Е -	20)	К(1 - ш)	2д(1 -	ш)
			3	1 - 2у	( 1 + г/)(1		3 0 - Е			Зи>
Д(О)	Д		с	О	Е		О		- А ’и»
					2(1+	V)				Д
	л			2С(1 + у)					2	2
					Е		ЕО
К		2	к						К	д
	А +	- д		3(1 - 2у)	3(1 -	2д)	3(3 О - Е )			За/

Е	(ЗА + 2д)д		9КО	2(1+ и)0	Е		Е		9Кш	6ц
	А + д		з к + о						2 и>	2 + и>

	А		ЗК - 20				Е		1 — ш	1 — ш
	2(А + д)		6К + 20		1- 2д		20	1	2 + 02	2	и>
ш	2д		20	1 - 2 у			60		и>	и>
	ЗА +	2д'	ЗК	1+ Д	1+ у		Е	~ 2

д'	А		2 0 - З К	У	у		2 0 - Е		и> — 1	и> — 1
	2д(ЗА + 2д)		18 0 К	20(1 + и)	Е		2ОЕ		9Киг	6 д
и '	1		1	1	1 + у		1		1	1
Д	4д		4 0	4 0	2Е		4 0		6К и>	4д

(А '.д ')

А'

2д'(ЗА' + 2ц<)

4ц'

3(ЗА' + 2ц')

А' + 2д' А'

А' + 2ц.'

ЗА' 4- 2ц' 2д;

д /

ЛИТЕРАТУРА

1.А м е н а д з е Ю.А. Теория упругости. Изд. 2-е, М.: Высшая школа, 1976.

2.А р у т ю н я н Н.Х. Некоторые проблемы теории ползу

чести.		М.: Гостехиэдат,		1952.
3.	Б а х в а л о в		Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975.
4.		Б а х в а л о в	Н.С., Ж и д к о в		Н.П., К о б е л ь к о в Г.М.
Численные методы.			М.:	Наука, 1987.
5.		Б е з у х о в	Н.И.,	Л у ж и н	О.В. Приложение методов

теории упругости и пластичности к решению инженерных задач.

М.:

Высшая

школа,

1974.

Б е л у х и н а

И.Г. Разностные схемы для решения некото

рых статических задач теории упругости // ЖВМ и МФ.

1968.

Т. 8,

№

4. С. 808-823.

Б е р е з и н

И.С., Ж и д к о в

Н.П.

Методы вычислений.

Т. 1,

М.:

Физматгиз, 1960.

В а з о в

В., Ф о р с а й т

Лж. Разностные методы решения

уравнений в частных производных. М.: ИЛ, 1963.

В а р г а

Р. Функциональный анализ и теория аппроксима

ции в численном анализе.

М.:

Мир,

1974.

10.

В а р в а к

П.М., Р я б о в А.Ф. (редакторы). Справочник

по теории упругости.

Киев: Будивельник,

1971.

11.

В о е в о д и н

В.В.

Вычислительные основы линейной

алгебры.

М:

Наука,

1977.

12.

В о р о в и ч

И.И.,

К р а с о в с к и й

ЮП. О методе

упругих решений // ДАН.

1959. Т. 126, № 4.

С. 740-743.

13.

В о р о ш к о

П.П.,

К в и т к а

А.Л.,

Ц ы б е н к о

А.С.

Применение метода случайных блужданий для решения задач

теории упругости // Проблемы прочности. 1973. № 4.					С.53-57.
14.	Г а в у р и н	М.Н.	Лекции по методам вычислений.			М:
Наука,	1971.
15.	Г е л ь ф а н д	И.М., Ш и л о в		Г.Е. Обобщенные функции.
Вып.	1, 2, 3. М.:	Физматгиз, 1958.
16.	Г л о в и н с к и Р.,		Л и о н е	Ж.П., Т р е м о л ь е р		Р.
Численное исследование вариационных неравенств.					М.: Мир,
1979.
17.	Г о д у н о в	С.К. Уравнения математической физики. М.:
Наука,	1971.
18.	Г о д у н о в	С.К., З а б р о д и н А.В., П р о к о п о в				Г.П.

Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой

40. К р а в ч у к А.С., М а й б о р о д а В.П., У р ж у м - 11 ев Ю.С. Механика полимерных и композиционных материалов. М.: Наука, 1985.

41.Приближенное решение операторных уравнений/ К р а с

но с е л ь с к и й М.А. и др. М.: Наука, 1969.

42.	К	р ы л о в В.И., Б о б к о в	В.В., М о н а с т ы р с
к ий	П.И.	Вычислительные методы.	М.: Наука. Т. I, 1976;

Т. И, 1977.

43.К у з н е ц о в Ю.А. Алгебраические многосеточные мето ды декомпозиции области. М.: ОВМ АН СССР, 1989.

44.К у п р а д з е В.Д. Методы потенциала в теории упру гости. М.: Физматгиз, 1963.

45. К у п р а д з е В.Д., А л е к с и д з е М.А. Метод фун кциональных уравнений для приближенного решения некоторых граничных задач // ЖВМ и МФ. 1964. Т. 4. № 4. С. 683-715.

46.Трехмерные задачи математической теории упругости/

Ку п р а д з е В.Д. и др. Тбилиси.: Изд-во ТГУ, 1968.

47.Л а д ы ж е н с к а я О.А. Математические вопросы дина мики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.

48.Л а з а р е в М.И., М а т е х и н Н.А. О краевых задачах в постановке Победри. АН СССР НПБИ НИВЦ. Пущино, 1988.

49.Л е б е д е в В.И. Метод композиции. М.: ОВМ ВН

СССР, 1986.

50.Л е в и П. Конкретные проблемы функционального ана лиза. М.: Наука, 1967.

51.Л о р а н П.Ж. Аппроксимация и оптимизация. М.:

Мир,	1975.
52.	Л у р ь е		А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970.
53. Л ю с т е р н и к				Л.А., С о б о л е в	В.И. Элементы функ
ционального		анализа.		М.: Наука, 1965.
54.	Л я в	А.	Математическая теория упругости. М.: ОН-
ТИ,	1935.
55.	Л я ш к о		И.И.,	М а к а р о в В.Л.,	С к о р о б о г а т ь -

ко А.А. Методы вычислений. Киев: Высшая школа, 1977.

56.М а р ч у к Г.И. Методы вычислительной математики.

Новосибирск.: Наука, 1978.

57.М е й з Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. М.: Мир, 1974.

58.М и х л и н С.Г. Проблема минимума квадратичного функционала. М.: Гостехиздат, 1952.

59.М и X л и н С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и

интегральные уравнения. М.- Физматгиз, 1962.

60. М и х л и н С.Г. Вариационные методы в матетатической физике. М.: Наука, 1970.

61.М о с к в и т и н В.В. Сопротивление вязкоупругих мате риалов. М.: Наука, 1972.

62.Н о в а ц к и й В. Теории упругости. М.: Мир, 1975.

63.	О б е й	Ж .-П. Приближенное			решение эллиптических
краевых задач.		М.:	Мир,	1977.
64.	О г а н е с я н		Л.А.,	Р и в к и н д	В.Я., Р у х о в е ц Л.Л

Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравт ний// Дифференциальные уравнения и их применение. Вильни><■

Институт физики		и	математики	АН ЛитССР. Вып. 5, 197.1,
вып.	8, 1974.
65.	О д е н Дж.		Конечные элементы в нелинейной механике
сплошных сред. М.:			Мир, 1976.
66.	П а р т о н В.З., П е р л и н			П.И. Интегральные уравнении
теории упругости.		М.: Наука,		1978.

67.П о б е д р я Б.Е. Об уравнениях состояния в нелиней ной теории вязкоупругости// Механика полимеров. 1967. № 3 С.427-435.

68.П о б е д р я Б.Е. Термодинамика вязкоупругих моделей// Прикладная математика и программирование. Вып. 1. Кишинев

РИО АН МССР, 1969. С. 75-86.

69.П о б е д р я Б.Е. Нелинейная моментная теория вязкоуп ругости// Прикладная математика и программирование. Вып. 2. Кишинев: РИО АН МССР, 1969. С. 66-79.

70.П о б е д р я Б.Е. О решении задач линейной теории вязкоупругости контактного типа// ДАН. 1970. Т. 190, № 2.

С.279-300.

71.П о б е д р я Б.Е. О решении задач термовязкоупругости с неоднородным полем температуры// Упругость и неупругость.

Вып. 1. М.: Изд-во Моек, ун-та, 1971. С. 172-201.

72. П о б е д р я Б.Е. О связанных задачах механики сплошной среды// Упругость и неупругость. Вып. 2. М.: Изд-во Моек, ун та, 1971. С. 224-231.

73. П о б е д р я Б.Е. О новом методе решения некоторых квазистатических задач нелинейной механики сплошной среды// ДАН. 1971. Т. 197, № 2. С. 277-280.

74.П о б е д р я Б.Е. Расчет вязкоупругих систем по чис ленной упругой реализации// Проблемы прочности. 1973. № 4.

С.58-61.

75.П о б е д р я Б.Е. Численные методы в теории вязкоупру гости// Механика полимеров. 1973. № 3. С. 417-428.

76.П о б е д р я Б.Е. Математическая теория нелинейной вязкоупругости// Упругость и неупругость. Вып. 3. М.: Изд-во Моек, ун-та, 1973. С. 417-428.

77.П о б е д р я Б.Е. О методе численных реализаций упруго го решения// Численные методы решения задач теории упругости

ипластичности. Ч. 1. Новосибирск, 1976. С. 110-147.

78. П о б е д р я Б.Е. О задаче в напряжениях// ДАН. 1978.

Т. 240, № 3. С. 564-567.

79.П о б е д р я Б.Е. Некоторые общие теоремы механики деформируемого твердого тела// ПММ. 1979. № 3. С. 531-541.

80.П о б е д р я Б.Е.. К теории вязкоупругости композици онных материалов// Механика композитных материалов. 1979.

№3. С. 414-423.

81.П о б е д р я Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во Моек, ун-та, 1984.

82.П о б е д р я Б.Е. О вычислительной механике дефор

мируемого твердого тела// Математические методы механики деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1986. С. 124-129.

83.П о б е д р я Б.Е. Некоторые проблемы вычислительной механики деформируемого твердого тела// Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Новосибирск, 1986. С. 3-9.

84.П о б е д р я Б .Е . Лекции по тензорному анализу. Изд. 3-е М.: Изд-во Моек, ун-та, 1986.

85.П о б е д р я Б.Е. О взаимосвязи геометриечской И фи зической нелинейности в теории упругости и о смысле вектора перемещений// Изв. АН Арм.ССР. Сер. Механика. 1987. Т . ХЬ,

№4. С. 15-26.

86. П о б е д р я Б.Е. Г о р б а ч е в В.И. О статических зада чах упругих композитов// Вест. Моек, ун-та. Сер. Математика,

механика. 1977.	§ 5. С. 101-110.
87. П о б е д р я	Б.Е., Д и м и т р и е н к о Ю.И. Связанные за

дачи линейной термомеханики деформируемого твердого тела//

Успехи механики.	1987.	Т. 10, вып.2.	С. 97-137.
88. П о б е д р я	Б.Е.,	М о л ь к о в	В.А. Эффективные моду

ли упругости волокнистых и слоисто-волокнистых композитов// Вычислительная механика деформируемого твердого тела. 1990.

Вып.	1. С. 41-63.
89.	П о б е д р я Б.Е., Р а д ж а б о в Н.А. Метод источников

для решения задачи теории упругости в напряжениях// ДАН.

1989.	Т. 305, № 3.	С. 536-539.
90.	П о б е д р я	Б.Е., Ч и с т я к о в П.В. Решение пространс

твенных задач теории упругости методом Монте-Карло// ПММ. 1988. № 2. С. 341-345.

91. П о б е д р я Б.Е., Ш е ш е н и н С.В. О матрице влияния// Вест. Моек, ун-та. Сер. Математика, механика. 1979. № 6. С.' 76-81.

92. П о б е д р я Б.Е., Ш е ш е н и н С.В. Некоторые задачи о равновесии упругого параллелепипеда// Изв. АН СССР. Сер. МТТ. 1981. № 1. С. 74-86.

93.П о б е д р я Б.Е., Ш е ш е н и н С.В. Численное решение задачи Ламе об упругом параллелепипеде// Изв. АН Арм.ССР. Сер. Механика. 1981. Т. 34, № 5. С. 61-71.

94.П о б е д р я Б.Е., Ш е ш е н и н С.В. О методах упругих решений// Изв. АН СССР. Сер. М ТТ. 1987. № 5. С. 59-72.

95. П о б е д р я Б.Е., Ш е ш е н и н	С.В., Х о л м а т о в Т.
Задача в напряжениях. Ташкент: ФАН,	1988.

96.	П о с т н о в	В.А., Х а р к у р и м И.Я.		Метод конечных
элементов в расчетах			судовых конструкций.	М.:	Судострое
ние, 1974.
97.	П о т т е р	Д.	Вычислительные методы в		физике.	М.:
Мир,	1975.
98.	П р а г е р	В.	Введение в механику	сплошных		сред.

М.:ИЛ, 1963.

99.Р а б о т н о в Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций.

М.: Наука, 1966.

100.Р а б о т н о в Ю.Н.. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977.

101.Р в а ч е в В.Л . Геометрические приложения логики.

Киев :	Техника,	1967.
102.	Р в а ч е в	В.Л . Методы алгебры логики в математичес
кой физике. Киев:		Наукова думка, 1974.
103.	Р в а ч е в	В. Л., Р в а ч ев В. А. Неклассические ме

тоды теории приближений в краевых задачах. Киев: Наукова

думка,	1979.
104.	Р е к т о р и с К. Вариационные методы в математической
физике и технике. М.:		Мир, 1985.
105.	Р и х т м а й е р	Р.Д ., М о р т о н К. Разностные методы
решения краевых задач.		М.: Мир, 1972.

106.Р о з и н Л.А. Метод конечных элементов в приложении

купругим системам. М.: Стройиздат, 1977.

107.С а м а р с к и й А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.

108.	С а м а р с к и й	А-А.,	А н д р е е в	В .Б .	Разностные
методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976.
109.	С а м а р с к и й	А:А.,	Г у л и н А.В.		Устойчивость
разностных схем. М.: Наука,			1973.
110.	С а м а р с к и й	А.А., Н и к о л а е в		Е.С. Методы реше
ния сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

111.С е г е р л и н д Л. Применение метода конечных эле ментов. М.: Мир, 1979.

112.С е д о в Л.И. Введение в механику сплошной средах.

М.: Физматгиз, 1962.

113.С е д о в Л.И. Механика сплошной среды. Т . 1, 2. М.: Наука, 1970.

114.С е н д е ц к и Дж. (редактор). Механика композиционных

материалов. М.: Мир,	1978.
115. С л е с а р е в	И.С., С и р о т и н А.М. Вариационно

разностные схемы в теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат,

1978.
116.	С т е ч к и н	С .Б., С у б б о т и н		Ю.Н. Сплайны в вычис
лительной математике.			М.: Наука, 1976.
117.	С т р е н г	Г.,	Ф и к с Дж.	Теория метода конечных
Элементов. М.: Мир,			1977.

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 / 3736 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги