книги / Численные методы в теории упругости и пластичности

Введем теперь случайную величину ( как функционал вдоль

Теорема 4.1. Бели все свободные значения матрицы А по модулю меньше единицы, то математическое ожидание случайной величины (4.11) является решением системы (4.3):

Доказательство этой теоремы можно найти, например, в [119]. Для экспериментального определения величины М& органи­

где е — заданная погрешность. Таким образом, решение системы (4.3) приближенно может быть определено по формуле

(4.14)

Рассмотрим теперь решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом Монте-Карло. Пусть требуется решить урав­ нение

в некоторой двумерной области С с границей Г и пусть заданы граничные условия

Определим в области С случайную траекторию

следующим образом. Пусть нам нужно найти решение задачи (4.15), (4.16) в точке Ро(х). Тогда положим <Э0 = Р0 и из точки <Э0 как из центра проведем окружность произвольного радиуса го, а на этой окружности выберем случайную точку д ь (}\ = фо + Го^о- Далее, из точки как из центра проведем окружность произ­ вольного радиуса гх, и на этой окружности выберем случайную точку <$2 и т. д.:

а <рп — некоторый угол, равновероятно распределенный на от­ резке (0,2тг). Далее, гп — произвольный радиус окружности, т.е. задана некоторая плотность рп(г), причем рп(г) = 0 для всех г, превосходящих наименьшее расстояние от точки С}п до границы Г и при г < 0. Поэтому выбор г„ осуществляется в соответствии с плотностью р„(г).

Справедлива следующая теорема.

Теорема 4.2. Если функция и(Р) удовлетворяет в области С уравнению Лапласа (4.15), то при каждом п и при любых го,Г1,...,г„ математическое ожидание Мш(дп+1) равно значению и(Ро) в начале траектории.

В самом деле, пусть 9п(Р) — плотность распределения точки <2п в области С. Математическое ожидание величины и(фп+1) — и(<9п + гпшп) равно

что и требовалось доказать.

Воспользуемся теперь случайной траекторией для решения задачи Дирихле уравнения Лапласа.

Зафиксируем малую окрестность Ге границы Г (рис. 43). Для того, чтобы вычислить и(Р0) в некоторой точке Ро, будем строить траектории вида (4.17) до тех пор, пока точка ^N (x) = фг не попадет в область С е , ограниченную поверхностями Г* и Г. Пусть

т = 1

Легко показать, что вероятность попадания случайной точки в область С € не равна нулю. Изложенный метод решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа называется методом блуждания по сферам.

Эта схема может быть применена к решению задач теории упругости. Рассмотрим, например, первую краевую задачу тео­ рии упругости для трехмерного односвязного тела, занимающего объем V. Пусть Е — поверхность, ограничивающая этот объем, а Ее — поверхность внутри У, отстоящая от Е на расстояние е. Обозначим Ус объем, заключенный между поверхностями Е и Е с, и У° — объем, ограниченный поверхностью Ее. Пусть требуется решить задачу теории упругости для области V

с граничными условиями

Заметим теперь, что если на сфере Зр с центром в точке Р(х) задано перемещение и°(у), у 6 Зр, то перемещение в центре этой сферы Р(х) может быть вычислено по формуле

причем через Гр обозначается радиус сферы 5р с центром в точке

Р(х), а г2 = (х{ - у{)(х] - у,). Окружим теперь точку Р(х) е Уе

сферой Зр с радиусом Гр, равным кратчайшему расстоянию от точки Р (х) до границы Е. Выражение (4.29) представим в виде

Ч П = 4 ^ ( 1 « Р , Я У * 1 Я ) И р ( 0 Н I

(4.31)

где

Р р х г З р П У ' ъ Зр = З р \ Зр.

Первый из интегралов (4.31) является известной функцией ко­

ординат точки Р(й). Вектор и°((?1), где € 5р, может быть также представлен в виде среднего по сфере й'д, с центром в

по 5д, может быть заменен суммой интегралов по 5 ^ = 5’д1 П У,

и = ^ 1 \^д,- Повторив описанную процедуру многократно, получим выражение

Ч Р ) = ъ ^ 2 - / 4№ < г)«°(«) «*&•(<?)+

Ломаная Рфгфг ••• интерпретируется как траектория блужда­ ния некоторой точки в области V. В соответствии с этим пре­ дставление (4.32) показывает, что вектор перемещения и (Р ) может быть истолкован как среднее от функционалов специального вида по траекториям, исходящим из точки Р . В самом деле, пусть

в выражении (4.29) значения «°(<2) известны. Тогда вычисление и(Р) сводится к интегрированию по сфере 5р известной функции.

Метод вычисления определенных интегралов реализуется сле­ дующим образом. Вектор и(Р) в соответствии с (4.29) вычисля­ ется как среднее произведений А{Р, ф)й(ф).

Поскольку в данном случае все случайные точки находятся в 5р, то каждая траектория блужданий состоит лишь и? отрезка Р,<Э, т.е. результат действительно есть среднее произведений А(Р, <2)й(<5) по всей совокупности реализованных одношаговых траекторий, исходящих из точки Р. А интегралу

(4.33)

ставится в соответствие совокупность траекторий длины г, беру­ щих начало в точке Р и оканчивающихся в области Уе .

Разделим сферу 5 на п равновеликих элементов Д,. Из об­ щего числа М траекторий, исходящих из точки Р, через каждый

элемент А; проходит М /п траекторий (можно предполагать, что

где М\ = — общее число траекторий, завершившихся на первом шаге, Он — точки области 5р. Во втором слагаемом внутреннюю сумму по / приближенно заменим произведением ^ А (Р ,(? 1,)и(<?],), где Он — некоторая точка элемента А*. Зна­ чение «(Он) представим с помощью теоремы о среднем в виде интеграла по сфере 5^ ,:

(4.37)

Вводя разбиение сферы 5д, на п равновеликих элементов и обоз­ начая «2 число элементов, оказавшихся в К , получим

1 г М1

3(р )* л л Е 4 (^ < г 1 * )й (< г и )+ 4=1

Пр П2 М/П2

+ Е Л (Р ,Я и ) Е Е № и > Я р ) * Ш +

Здесь, аналогично предыдущему, М2 ~~ число траекторий, завер­ шившихся на втором шаге. Остаточный член К2 в (4.38) отвечает траекториям, содержащим более двух членов.

Проследив дальнейшее развитие процесса вплоть до траекто­ рий длиной ЛГ, можно записать

Сравнение формул (4.32) и (4.39) показывает, что описанный веро­ ятностный процесс реализует приближенное вычисление вектора перемещений при условии, что в (4.32) может быть отброшен по­ следний выписанный там интеграл, а в (4.39) можно пренебречь остаточным членом Кы-

Заметим, что оценка (4.14) и связанная с ней оценка (4.26) называются несмещенными. При их использовании для решения задач теории упругости сходимость решения (4.26) к точному при N —* оо оказывается плохой вследствие роста дисперсии элементов произведения случайных матриц в (4.32).

Преодолеть возникающие трудности можно различными путя­ ми, например, отбрасывая слишком «длинную» траекторию или