книги / Линейная алгебра.-1

входят преобразования, определитель м атрицы которы х полож ителен. Э та подгруппа обозначается L + (п) и назы вается собственной группой Лоренца.

С обственны е преобразования Л оренца, которы е при н ад леж ат под­

ется конус Т на связные компоненты Т + и Т ~ , и дается физическая интерпретация этих компонент.

8) В п. 3 этого параграф а было введено понятие сходимости элементов в груп­ пу GL (п) в n -мерном евклидовом пространстве и связанное с понятием сходимости понятие компактной группы.

Эти понятия легко переносятся на случай группы в произвольном конечномер­ ном линейном пространстве V. Сначала вводится понятие сходимости точек в V (например, можно выбрать в V систему координат и рассматривать сходимость последовательности векторов { х т } как сходимость последовательностей коорди­ нат этих векторов). После этого в полной аналогии с определением сходимости в случае группы GL (п) в евклидовом пространстве вводится понятие сходимости в группе, заданной в линейном пространстве, и определяется понятие компактной группы в таком пространстве.

Согласно (9.27) и (9.28) вектор х перейдет при действии указанной последовательности преобразований Л оренца в следую щ ую последова­ тельность векторов {хп } с координатам и

Таким образом, из бесконечной последовательности преобразова­

ний Л оренца в группе L+ (2), определенной соотнош ениям и (9.26), дл я значений /3 из равенств (9.28) н ельзя вы делить сходящ ую ся последо­

м нож еством . П ри действии рассм отренной вы ш е последовательности преобразований из группы L+ (2) зад ан н ая точка на этой окруж ности преобразуется в бесконечно больш ую последовательность точек на ука­ занной вы ш е гиперболе, а из бесконечно больш ой последовательности точек н ельзя вы делить сходящ ую ся последовательность.

7. У нитарны е группы . В этом пункте мы обратим ся к ком ­

такого пространства. Т ак как комплексное число определяется двум я

вещ ественны ми числам и (действительной и мнимой частью ), то пол­ н ая линейная группа G L (п ) преобразований n -мерного комплексного линейного п ространства и зом орф н а полной линейной группе преобра­ зований вещ ественного 2п-мерного п ространства G L (2п) (вместо это­ го сим вола часто пиш ут G L (2п, Л ), подчеркивая тем самы м, что речь идет о группе преобразований вещ ественного пространства).

В полной линейной группе преобразований комплексного евклидо ­

унитарны е преобразования (унитарны е операторы ) определялись как линейны е преобразования, сохраняю щ ие скалярное произведение; та­ ким ж е образом в вещ ественном случае определялись и ортогональны е

преобразован и я).

Ка к и в вещ ественном случае, в группе U (п ) унитарны х преоб­ разований вы деляется подгруппа S U (п), д л я которой определители

унитарны х преобразований равны единице.

§3. П редставлен и я групп

Впреды дущ ем п ар агр аф е мы рассм атри вали группы линейны х преобразований линейного пространства. Таким образом , линейны е

преобразования исследовались с точки зрения их групповы х свойств. П ри этом не игнорирую тся геом етрические и другие свойства линей­ ны х преобразований.

В этом п ар агр аф е нас будет интересовать в определенном смысле обратны й вопрос — в какой мере свойства абстрактно заданной группы м огут бы ть охарактеризованы посредством групп линейны х преобра­ зований.

О дин из способов реш ения этого вопроса заклю ч ается в гом ом орф ­ ном (и в частности, изом орф ном ) отображ ении абстрактной группы на подгруппу (или на всю группу) линейны х преобразований .

Таким образом, возникает понятие предст авления данной группы с помощ ью подгруппы группы линейны х преобразований 9) .

И зучение разли чн ы х представлений данной группы позволяет вы ­ яви ть важ н ы е свойства группы , нуж ны е д л я разли ч н ы х прилож ений.

Во многих разделах ф и зи ки (кри сталлограф и я, теория относитель­

9) Конечно, можно рассматривать и более общий вопрос о представлении дан­ ной группы путем отображения ее на какую -либо группу преобразований.

304 ГЛ. 9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП

ности, кван то вая механика и т. д.) требуется построение представлений разли чн ы х групп (конечны х и дискретны х подгрупп группы G L (3), групп О (3), L (3), U (3), S U (3) и т. д.). Эти построения вы ходят д ал е­ ко за рам ки н ачальн ы х понятий теории групп и не м огут рассм атри ­ ваться в данном руководстве.

М ы ограничим ся некоторы ми понятиям и, используем ы м и в теории представлений, и прим ерам и.

1.Л инейны е п редставления групп . Т ерм инология.

Оп р едел ен и е. Л и н ей н ы м предст авлением группы G в конечно­ мерном евклидовом пространстве Е п назы вается такое отображ ение / , посредством которого каж дом у элем енту а этой группы ставится в со­

ответствие линейное преобразование Т а п ространства Е п так, что дл я

пространства.

И спользуется следую щ ая терм инология: пространство Е п н азы ва­

Т р и ви а льны м предст авлением группы G назы вается гомом орф ное отображ ение G в единичны й элемент группы G L (п ).

Если отображ ение / группы G на подгруппу G L (п ) явл яется изо­

м орф изм ом , то представление назы вается т очны м .

О чевидно, что не у всякой группы есть точное n -мерное представ­ ление д л я заданного п. Н априм ер, у группы О (10), конечно, не м ож ет бы ть точного одномерного представления (это следует, в частности, из

О тм етим следую щ ие свойства сопряж енны х элементов.

1) К аж ды й элем ен т а сопряж ен сам ом у себе. Д ействительно, если

е — единица группы , то, очевидно, справедливо соотнош ение еа е - 1 = = а, которое и означает, что а — элемент, сопряж енны й а.

ляется элемент и, мы убедимся в справедливости сф орм улированного

мент и~ xv~ 1, то из (9.33) следует, что элем ент с сопряж ен элем енту а.

О бъединим в один класс все те элем енты группы , которы е сопряж е­ ны данном у элементу а. Таким образом, согласно свойству 3), каж ды й

П усть а и b — сопряж енны е элементы , т. е. справедливо соотнош е­

О бращ аясь опять к определению представления, получим , согласно

(9.32), соотнош ение D (b) = D (и) D (a) (D (и))~ 1.

П ерейдем теперь к м атрицам операторов, ф игурирую щ их в послед­ нем соотнош ении. М ы видим, что м атрицу оператора D (b) мож но рас­ см атривать как м атрицу оператора D (а) при переходе к новому бази ­ су с м атрицей перехода D (и) (см. п. 2 § 2 гл. 5). П оскольку при таких преобразованиях след м атрицы инвариантен и по определению равен характеру элемента, мы можем заклю чи ть, что % (а) — х (Ь).

И так, характ еры всех элем ен т о в , принадлеж ащ их одному классу сопряж енны х элем ен т о в , равны друг другу.

О чевидно такж е, что характ еры элем ент ов для эк ви ва лен т н ы х предст авлений совпадают .

Понятие хар ак тер а в теории представлений используется обы чно следую щ им образом .

Пусть д ан н ая группа G м ож ет бы ть разбита на конечное число р аз­

личны х классов сопряж енны х элем ентов К i , К 2 , . . ., K v . Тогда к аж ­ дом у элементу класса в данном представлении D (G ) (и в лю бом эк ­

вивалентном ему представлении) отвечает один и тот ж е характер Xi-

П оэтому представление D (G) мож но описать с помощ ью набора ха­

рактеров x i, X v 4 которы й мож но рассм атри вать как координа­

ты вектора в евклидовом пространстве разм ерности v. Таким образом, различны м представлениям будут отвечать различны е векторы .

У казанны й геом етрический подход позволяет во многих случаях

реш ать важ н ы е вопросы теории представлений групп. 5. П р и м е р ы п р е д с т а в л е н и й г р у п п .

П р и м е р 1. П усть G — группа симметрии трехмерного простран ­ ства, состоящ ая из двух элементов: тож дественного преобразования I (единица группы ) и отраж ен и я Р относительно н ач ал а координат. Т а­ ким образом, G = {I, Р } .

У м нож ение элементов группы задается следую щ ей таблицей:

(9.34)

линейного невы рож денного преобразования А^1) в этом пространстве: