книги / Линейная алгебра.-1

§ 1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГРУПП

281

ум нож ения — единица.

2 . П о н я т и е г р у п п ы . Н е к о т о р ы е с в о й с т в а

г р у п п . С ф орм ули ­

элемент, д л я которого а Т а - 1

= е.

Если использовать м ультипликативную ф орм у записи композиции

элементов, то определению 1

мож но придать следую щ ую форму.

О п р е д е л е н и е 2 . М нож ество А элементов а,

Ь, с, ... , в котором

определен закон композиции, назы ваем ы й ум нож ением

и ставящ ий в

соответствие каж дой паре элементов а, b м нож ества А

определенны й

элемент с =

ab этого м нож ества, назы вается группой

G, если

этот

закон удовлетворяет следую щ им требованиям :

1

°)

а{Ъс) =

(аЪ)с (ассоциативность).

2

°)

С ущ ествует элемент е м нож ества А такой, что д л я лю бого эле­

мента а этого

м нож ества ае

= а (сущ ествование

нейтрального

эле­

мента) .

мент а~ 1 такой, что аа~ 1

= е.

О бы чно нейтральны й

элемент е назы вается единицей группы G.

Если закон композиции Т , действую щ ий в группе G, явл яется ком ­

м утативны м , то группа G назы вается ком м ут а т и вн о й

или абелевой.

Д л я абелевы х групп часто используется ад ди ти вн ая

ф о р м а записи

вен и комм утативен. Н ейтральны м элементом

(нулем) явл яется целое

число

нуль. О братны м элементом д л я целого

числа а служ ит целое

число

— а.

О братны м элементом д л я числа а > 0 служ ит число 1 /а .

3) Л инейное пространство

образует

абелеву группу

относитель­

но слож ения элементов. Э та

операция

представляет

собой закон

282

ГЛ. 9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП

композиции. Согласно аксиом ам линейного п ространства этот закон

ассоциативен и комм утативен. Н ейтральны м

элементом

явл яется

ну­

левой элемент пространства, обратны м

элементом д л я

элемента

х —

элемент

—х.

4)

П усть B C D — равносторонний

треугольник (см. рис. 9.1). Р ас ­

смотрим

следую щ ее множ ество А операций, совмещ аю щ их треуголь­

ник с самим собой:

а на

1°)

П оворот

2тт/ 3

вокруг

цен­

тр а Н , переводящ ий В в С .

2°) П оворот /3 на 4 7 г /3 , переводящ ий

В

в £>.

3°) С им м етрия

S u

переводящ ая

С в £>.

4°) С им м етрия

S 2 ,

переводящ ая

D

в В .

5°) С им м етрия

S 3 ,

переводящ ая

В

в С .

р ис g i

6 °) Т ож дественная операция

1.

С ледую щ ая таблица представляет за ­

кон композиции элементов м нож ества А:

1

а

р

S i

S2

s 3

1

1

а

р

S i

s 2

s 3

а

а

р

1

S 2

S 3

S i

р

р

1

а

S 3

S i

S 2

S i

S i

S2

s 3

1

р

а

S 2

S 2

S i

S 3

а

1

р

S 3

S 3

S 2

S i

р

а

1

(П равило пользования этой таблицей легко усм атривается на примере

последовательного проведения операций S i, а затем S 2 : S 2 S 1

= /3.

П риведенны й закон композиции ассоциативен, но не комм утативен,

сущ ествует нейтральны й

элем ент — тож дественная операция

1. К а ж ­

д ая операция имеет обратную

(в каж дой строке

и столбце

таблицы

имеется тож дественная операция).

284

ГЛ. 9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

ГРУПП

Э ту группу назы ваю т группой вы чет ов по модулю 2 .

7)

Рассм отрим группу, состоящ ую из

двух элементов: 1) тож де­

типликативную ф орм у записи композиции).

Т еорем а

9.1. Е сли а а _ 1

= е, то а _ 1 а

=

е.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

П усть

х — обратны й

элемент д л я

элемен­

та а~ 1:

а~ гх =

е.

Тогда а

= ае

=

а ( а ~ 1 х)

=

(а а ~ 1)х

=

еж, т. е. а

=

еж. С ледователь­

но, а _ 1 а

=

а -

1

(еж) =

(а _ 1

е)ж

= а -

1 ж

=

е,

т. е. еа =

а. Теорема

доказана.

Т еорем а

9.2. Д л я любого элем ент а а

группы справедливо

соот ­

нош ение еа

=

а.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По

теореме

9.1

а -

1

а

=

е й ,

кроме

того,

а а ~ 1

=

е. П оэтому еа

=

(а а _ 1 )а

=

а ( а _ 1

а)

=

а, т. е. еа

=

а.

Т еорема доказана.

Т еорем а

9.3. Е сли ах =

е и ау =

е,

то ж =

у.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Т ак как

ау

=

е,

то

у — обратны й

элемент

д л я

а,

и

поэтому,

согласно

теореме

9.1,

у а

=

е. Имеем

далее

у

=

= уе

=

у (аж)

=

(уа)ж =

еж

= ж. Т еорема доказана.

И з

доказанны х

теорем вы текаю т

следую щ ие

важ н ы е

следствия.

С ледстви е

1 .

О брат ным элем ент о м для элем ент а а - 1

служ и т

элем ен т а. Я лщ

иначе , элем ен т а~ 1

я в ля е т с я как правы м , т ак и л е ­

вы м обрат ным элем ент о м для элем ент а а (ш. е. а а “ 1 =

е

и а _ 1 а

=

= е).

С ледстви е

2.

В лю бой

группе уравнения

ах

=

b и

у а

=

b од­

нозначно разреш им ы . Р еш ен и ям и эт и х уравнений служ ат

соот вет ­

ст венно элем ент ы ж =

а ~ хЪ и у

=

6 а - 1 .

§ 1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГРУПП

285

3. И з о м о р ф и з м г р у п п . П о д г р у п п ы . П рим еры , рассм отренны е

в преды дущ ем пункте (см. прим еры 4 и 5, прим еры

б и 7) показы ва­

естественно н азвать изом орф ны м и.

С ф орм улируем точное определение этого понятия.

О п р е д е л е н и е

1 . Д ве группы G \ и

н азы ваю тся изом орф ны м и,

если сущ ествует

взаим но

однозначное отображ ение

/

группы

G \

на

группу G 2

такое, что д л я

лю бы х элементов

а и b из G \ вы полняется

условие /

(ah) =

/

(a) f

(Ъ .

Зам етим ,

что

если

е \ — единица

группы

G i,

а

в2

— единица

груп ­

пы

G 2 , то

/

(еД

=

в2

- Д ействительно, /

(еД

=

/

(е 1 вД

=

/

(еД

х

х /

(еД ,

и ум нож ение на элемент,

обратны й

к

/

(еД ,

показы вает, что

е 2

= / (еД .

О тм етим

такж е, что

обратное

от ображ ение /

-

1

группы

G^

па

группу G \

для лю бы х элем ент ов х

и у из G^

удовлет воряет

условию

f ~ 1

(xy)

=

/

_ 1 (ж) /

- 1

(у).

К ром е

того,

д л я лю бого

а

из

G \ из

равенства

в2

=

/

(еД

=

=

/ ( а а - 1 )

=

/ ( а ) / ( а - 1 )

следует, что обрат ным к элем ен т у /

(а)

я в ля е т с я элем ен т

/ (а~ 1).

Таким

образом , изом орф ны е группы ,

рассм атриваем ы е

аб стр акт­

но,

без указан и я

природы

их

элементов,

с

точки

зрения

групповы х

свойств неразличим ы .

З а м е ч а н и е

1

. О бы чно соответствие м еж ду изом орф ны м и груп ­

пам и G \

и С 2, назы вается

изом орф изм ом или

изом орф ны м

отобра­

ж ен и ем

одной

группы на

другую

(конечно,

при

этом обе

группы

равн оп равн ы ).

З а м е ч а н и е

2

. И зом орф ное отображ ение

группы

G на

себя н а­

зы вается авт ом орф изм ом .

А втом орф изм ы

группы

определенны м

образом

характеризую т

ее

симметрию .

Если отдельны е автом орф и зм ы группы рассм атри вать как некото­

ры е элементы ,

а

последовательное

проведение

автом орф изм ов — как

Э та группа назы вается группой авт ом орф изм ов данной

группы .

Л егко убедиться, что группа автом орф изм ов группы Z 2

(см. при ­

мер б преды дущ его пункта) и зом орф н а этой ж е группе.

В аж ную роль в теории групп играет понятие подгруппы .

286

ГЛ. 9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП

О п р едел ен и е 2. П одм нож ество G \ элементов группы G н азы вает­

ся подгруппой этой группы , если вы полнены условия:

1 ) если элемен­

ты

а и b при н адлеж ат G \ , то и ab п ри н адлеж и т G \ , 2

) если элемент а

произвольны е подм нож ества группы G.

П роизведением подм нож еств

Н \

и Н 2 назовем

подм нож ество # з ,

состоящ ее из всех элементов вида /1

1 /1 2 , где h i Е H i,

/ 1 2

Е Н ^.

Д л я произведения подм нож еств используется обозначение

# 3 = Н гЩ .

(9.2)

Рассм отрим случай, когда H i

состоит из одного элемента h. Тогда,

согласно

(9.2),

произведение Н \

и

Н 2

мож но записать

в виде /ii?2 -

О тметим,

что

если подм нож ества

Н \

и Н 2 являю тся

подгруппами

группы G, то их произведение

Н 1 Н 2 ,

вообщ е говоря,

не является

подгруппой.

П усть

Н — подгруппа группы

G, а — элемент

группы G. М нож е­

ство а Н

назы вается левы м см еж ны м

классом ,

а

множ ество Н а —

правы м см еж ны м классом подгруппы Н в G.

К онечно, при вы боре другого

элемента вместо

а,

правы е и левы е

классы подгруппы Н в G, вообщ е говоря, изм еняю тся.

О тм етим

следую щ ие свойства см еж ны х классов (эти свойства ф о р ­

м улирую тся

лиш ь д л я левы х см еж ны х классов, д л я п равы х см еж ны х

классов они ф орм улирую тся аналогично).

1°) Если a Е Н , то а Н

=

Н .

2°) С м еж ны е классы а Н

и ЪН совпадаю т, если a ~ 1b Е Н .

3°) Д в а см еж ны х класса одной подгруппы Н либо совпадаю т, либо

не имею т общ их элементов.

4°) Если а Н — см еж ны й класс, то а Е а Н .

П ервое из отм еченны х свойств очевидно. У бедимся в справедливо­

сти

свойства 2°). Т ак

как,

согласно

1°), а ~ хЪН

=

Н , то, поскольку

а а ~

1 = е, имеем ЪН

=

(а а ~ 1)ЪН

= а (а ~ 1 Ь)Н

=

а Н . Тем самы м

свойство 2 °) установлено.

П ерейдем к доказательству третьего свойства. О чевидно, достаточ­

§ 1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГРУПП

287

то они совпадаю т.

П усть элем енты h \ £ Н

и h 2

Е Н

такие, что

a h i

=

bh2.

(9.3)

(равенство (9.3)

означает,

что классы а Н

и

ЪН

имею т

общ ий

эле­

мент). П оскольку Н — подгруппа группы

G,

то элемент

h ih ^ 1

при ­

н ад леж и т Н . О тсю да и из

(9.3) получаем

а ~ гЬ = h ih ^ 1 Е Н .

С ледовательно,

согласно

свойству

2 °), а Н

=

ЪН. Свойство

3°)

доказано.

Свойство 4°)

следует из того, что подгруппа Н содерж ит единич­

ный элемент е, и поэтому ае = а Е а Н .

П усть Н — подгруппа G, д л я

которой все левы е см еж ны е классы

а Н = Н а .

(9.4)

Д ействительно,

согласно

свойству 4°),

элем ент а

Е а Н . С другой

стороны ,

класс а Н

явл яется одновременно некоторы м классом НЪ,

которы й,

очевидно

(в

силу

того, что а Е

НЪ), совпадает

с м нож е­

ством Н а .

П одгруппа Н , д л я

которой все левы е

см еж ны е

классы

явл яю т ­

группы

G.

С праведливо следую щ ее утверж дение.

Е сли

Н — норм альны й делит ель группы G , то произведение

М ы будем

использовать м ультипликативную

ф орм у записи

компо­

зиции: с =

аб, а элемент с будем н азы вать

произведением

элемен­

тов а и Ъ.

290

ГЛ. 9.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП

м ом орф изм этой группы на ф актор -груп п у G /H .

Рассм отрим следую щ ий пример.

П усть

R n — n -мерное

линейное координатное пространство, кото­

рое, как

отм ечалось в

примере 3 п. 2

этого п ар агр аф а, является

абелевой

(т. е. комм утативной) группой

относительно слож ения эле­

доченны е совокупности из п

вещ ественны х чисел (ад,

... ,

жп), причем

слож ение элементов

(ад,

... ,

х п ) и (щ, ... , у п) производится по прави-

лу (Ж1

+ 2/1 , . . ., х п + у п )).

По

определению

прям ого произведения, R n представляет собой

прям ое произведение одномерны х пространств:

R n

=

х Л у х ... х R \n).

Т ак

как, наприм ер,

R ^

представляет собой абелеву подгруп ­

пу, то, очевидно,

— норм альны й делитель группы

R n . С м еж ны м

классом элемента а

из

R n

служ ит п рям ая, проходящ ая

через точ ­

ку

а параллельно прям ой Щ пр а ф акто р -гр у п п а R n / R ^1

и зом орф н а

(п

— 1

)-мерному подпространству Д п - 1 :

R —

1

= щ г) х щ 2) x . . . x R \ n _ i y

(9.7)

О тметим, что обозначение ф актор -груп п ы R n / R ^1

определенны м

образом объясняется с помощ ью соотнош ения

равенства нуж но

рассм атри вать как изом орф изм

м еж ду соответст­

вую щ ими группам и.

М ы доказали,

что по норм альном у делителю Н

определяется го­

Т е о р е м а

9 .6 . П уст ь

/

— гом ом орф изм группы G па

G,

и

пуст ь Н — м нож ест во т ех

элем ент ов группы

G, которые

при

го­

м ом орф изм е /

от ображ аю т ся в элем ен т / (е),

где е — единица груп ­

пы G . Тогда Н

— норм альны й

делит ель группы

G.