книги / Линейная алгебра.-1
.pdf§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
141 |
венно отвечаю щ ие им собственны е векторы . Тогда имею т место соот
нош ения A x i = AI XI , A X 2 = А2 Х2 . П оэтом у скалярны е произведения
(A x i, Х2 ) и (x i, А Х 2 ) соответственно равны следую щ им вы раж ениям :
(А х ь х 2) = A i(xb х 2), (хь А х2) = А2 (х ь х 2 ) п ) .
Т ак как оператор А самосопряж енны й, то |
скалярны е произведения |
|||
(A x i, Х2) и (xi, |
АХ2) равны , и поэтому из |
последних соотнош ений |
||
путем вы читания получаем равенство |
|
|
||
|
(А2 - |
Ai ) (xb х 2) = |
|
0 . |
П оскольку А2 |
ф Ai, то |
из последнего |
равенства следует равен |
ство нулю скалярного произведения (xi, Х2 ), т. е. ортогональность соб
ственны х векторов x i |
и Х2 |
- Теорема доказана. |
|
||||||
3. Н орм а линейного |
оператора. П усть А — линейны й опера |
||||||||
тор, отображ аю щ ий евклидово пространство V в это ж е пространство. |
|||||||||
Введем понятие норм ы оператора А. |
|
|
|
||||||
О п р едел ен и е 3. Н орм ой |
||А|| линейного оператора А н азы вается |
||||||||
число, определяемое соотнош ением 12) |
|
|
|
||||||
|
|
|
II А|| |
= |
sup |
|| А х||. |
(5.53) |
||
|
|
|
|
|
|
1 1 *1 1 = 1 |
|
|
|
И з определения норм ы линейного оператора вы текает |
следую щ ее |
||||||||
очевидное неравенство: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1|Ах К |
| | А | | | | х || |
|
(5.54) |
||
(для доказательства |
достаточно |
воспользоваться соотнош ени |
|||||||
ем А х |
= |
^ А -—1|^ ||х||). |
И з |
соотнош ения |
(5.54) следует, |
что если |
|||
11А || = 0, то оператор А явл яется |
н улевы м . |
|
|
||||||
Н орму самосопряж енного оператора А мож но определить и другим |
|||||||||
способом. Именно, справедливо у т вер ж д ен и е: |
|
||||||||
Е сли |
А |
— сам осопряж енны й |
операт ор, то введенная |
выш е нор |
|||||
м а 11А|| |
оператора А равна sup||x|| = 1 1(Ах, |
х)|: |
|
||||||
|
|
|
sup |
|(А х, х ) | |
= ||А ||. |
(5.55) |
|||
|
|
|
11*11 = 1 |
|
|
|
|
|
11)Так как собственные значения самосопряженного оператора вещественны,
то (x i, А х 2) = A2(X I , х 2) = A2(X I , х 2). |
|
12) Напомним, что ||Ах|| = лф(Ах, А х ) . Отсю да |
следует, что ||Ах|| представ |
ляет собой непрерывную функцию х , которая на |
замкнутом множестве ||х|| = 1 |
достигает конечного наибольшего значения. |
|
142 |
|
|
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
|
||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Д л я лю бого х из V |
справедливо неравенство |
|||||||||
К ош и -Б ун яковского |
(см. п. 2 § 3 гл. 4) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1(Ах, |
х )| |
«С |
||А х || |
11х11. |
|
|
|
И з него |
и |
из неравенства (5.54) |
получаем |
следую щ ее |
неравенство: |
|||||
|(А х , х )| |
^ |
11А|| ||х ||2. П оэтом у |
число |
|
|
|
|
|||
|
|
|
/I — |
sup |
|(А х , |
х )| |
|
|
(5.56) |
|
|
|
|
|
1 1 * 1 1 = 1 |
|
|
|
|
|
|
удовлетворяет соотнош ению |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
ЦА||. |
|
|
|
(5.57) |
|
О тметим, что из |
равенства (A z, z) = |
( А — - , |
-т—т] |
||z ||2, z / 0 и |
||||||
определения числа fi |
|
|
|
|
V |
llzll |
llzll/ |
|
||
(см. (5.56)) вы текает следую щ ее неравенство: |
||||||||||
|
|
|
l ( A |
z , z ) | ^ ||z ||2. |
|
|
(5.58) |
О братим ся теперь к следую щ ему очевидному тож деству:
|
4 Re (А х, у) = |
(А (х |
+ у), х + у) |
- (А (х - у), х - |
у) |
||
(в |
этом тож дестве |
символ |
Re (А х, у) обозначает |
действительную |
|||
часть комплексного |
числа |
(А х, у), |
само |
тож дество |
легко |
вы текает |
|
из |
свойств скалярного произведения, |
см. |
п. 1 § 3 гл. 4). Б ер я |
левую и |
правую части этого тож дества по модулю , используя свойство модуля суммы и неравенство (5.58), получим следую щ ие соотнош ения 13) :
4|R e (А х , у )| |
^ |
| | х |
+ |
у ||2 |
+ м1|х - |
у ||2 = 2 |
М( ||х ||2 |
+ |
||у ||2). |
||
О тсю да при ||х || |
= |
||у|| |
= |
1 |
получаем неравенство |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|Re (А х, у)| ^ |
li. |
|
|
|
|
||
П олагая в этом неравенстве у = А х /||А х || (очевидно, ||у|| |
= 1 |
) и учи |
|||||||||
ты вая, что число |
(А х, А х) |
= |
||А х||2 явл яется вещ ественны м |
(поэто |
|||||||
му Re (А х, А х) = |
(А х, |
А х) |
= |
||А х||2), |
получим |
||Ах|| |
^ |
щ ||х|| = 1 . |
|||
О тсю да, согласно неравенству |
(5.53), найдем ||А|| |
^ ц. |
|
|
|
13) Мы использовали при этом определение нормы элемента в комплексном евклидовом пространстве.
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
143 |
Д л я заверш ения доказательства остается сравнить полученное
неравенство с неравенством (5.57) и воспользоваться определением
числа ц (см. (5.56)).
4. Д ал ьн ей ш и е свойства сам осоп ряж ен ны х операторов . В
этом пункте мы докаж ем р яд важ н ы х свойств линейны х операторов, связанны х с понятием нормы . С н ачала мы установим необходимое и достаточное условие сам осопряж енности оператора. Д окаж ем следую
щую теорему.
Теорем а 5.18. Д л я того чтобы ли н ей н ы й оператор А был само сопряж енны м , необходимо и дост ат очно, чтобы
Im (А х, х) = 0 14) .
Д о к а з а т е л ь с т в о . По теореме 5.13 произвольны й линейны й опе
ратор А м ож ет бы ть представлен в виде |
А = |
А д |
+ гА /, где А д и |
А / — сам осопряж енны е операторы . П оэтому |
|
|
|
(А х, х) = (А дх, х) + |
г ( А /х , |
х), |
|
причем, согласно теореме 5.15, д л я лю бого х числа А д и А / — вещ ест венные. С ледовательно, эти числа соответственно равны действитель
ной и мнимой частям комплексного числа (А х, |
х): |
Re (А х, х) = (А дх, х), Im (А х, х) |
= (А /х , х). |
Д опустим, что А — сам осопряж енны й оператор.
По теореме 5.15 в этом случае (А х, х) — вещ ественное число, и по
этому Im (А х, |
х) |
= 0. Н еобходимость условия теорем ы доказана. |
|||||
Д окаж ем достаточность условия теоремы . |
|||||||
П усть |
Im (А х, |
х) |
= (А /х , |
х) |
= |
0. О тсю да следует, что ||А /|| = |
|
= 0, т. е. |
А / |
= |
О. |
П оэтому |
А |
= |
А д , где А д — сам осопряж енны й |
оператор. Теорема доказана.
В следую щ их утверж ден и ях вы ясняю тся некоторы е свойства соб
ственны х значений сам осопряж енны х операторов. |
|
|||
Л ем м а . Любое собст венное зн ачение А произвольного |
ли н е й н о |
|||
го сам осопряж енного оператора А в евклидовом прост ранст ве равно |
||||
скалярном у произведению |
(А х, х), где х — некот оры й вект ор, удовле |
|||
т воряю щ ий условию ||х || |
= 1 : |
|
||
|
А |
= |
(А х, х), ||х || = 1 . |
(5.59) |
14) |
Символ I m (A x , х) |
обозначает мнимую часть комплексного числа (А х , х ). |
Равенство Im (А х , х) = 0 означает, что число (А х , х) является вещественным.
144 |
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
|
||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Т ак как |
Л — собственное значение операто |
|||||||
р а А , то сущ ествует такой ненулевой вектор z, что |
|
|||||||
|
|
|
A z |
= Az. |
|
|
(5.60) |
|
П олагая х = z /||z || |
(очевидно, |
||z|| = |
1), перепиш ем |
(5.60) следу |
||||
ющ им образом: А х |
= |
Ах, |
||х|| |
= |
1 . О тсю да получаем |
соотнош ения |
||
(А х , х) = А(х, х) = |
А ||х ||2 |
= |
А, т. е. (5.59) имеет место. Л ем м а дока |
|||||
зана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
С л е д с т в и е . П уст ь |
А — сам осопряж енны й |
оператор |
и А — любое |
|||||
собст венное зн ачение эт ого оператора. П уст ь |
далее |
|
||||||
т = |
inf (А х , х), |
М — |
sup |
(А х , х). |
(5.61) |
|||
1Х1—1 |
|
|
|
1X 1= 1 |
|
|
С праведливы следую щ ие неравенст ва :
|
|
т |
^ Х ^ М . |
|
|
|
(5.62) |
З а м е ч а н и е |
1. |
Т ак как |
скалярное |
произведение |
(А х , х) |
пред |
|
ставляет собой |
непреры вную |
ф ункцию |
от |
х, то на зам кнутом |
мно |
||
ж естве ||х|| = 1 |
эта |
ф ун кц и я |
ограничена |
и достигает |
своих точны х |
||
граней т и М . |
|
|
|
|
|
|
|
З а м е ч а н и е |
2 . С огласно |
теореме 5.16 |
собственны е |
значения са |
м осопряж енного оператора вещ ественны . П оэтом у неравенства (5.62) имею т смысл.
Д о к а з а т е л ь с т в о с л е д с т в и я . Т ак как любое собственное зн а чение А удовлетворяет соотнош ению (5.59), то, очевидно, каж дое соб
ственное значение заклю чено м еж ду точны м и граням и т и М скаляр
ного произведения |
(А х , х). П оэтом у неравенства (5.62) справедливы . |
|||||||||||
М ы |
докаж ем , |
что числа |
т |
и |
М , определенны е соотнош ения |
|||||||
ми (5.61) являю тся соответственно |
на и м ен ьш и м и наибольш им соб |
|||||||||||
ственны ми значениям и самосопряж енного |
оператора А . П редвари |
|||||||||||
тельно убедимся в справедливости следую щ его утверж дения. |
|
|||||||||||
Т е о р е м а |
5 .1 9 . П уст ь А |
— сам осопряж енны й |
оператор и, кроме |
|||||||||
т ого, (А х , х) |
^ 0 |
для любого х . |
Тогда ||А || |
равна |
наибольш ем у соб |
|||||||
ст венн ом у значению эт ого оператора 15) . |
|
|
|
|
||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . М ы |
уж е |
отм ечали |
(см. утверж дение |
преды |
||||||||
дущ его |
пункта), что 11А|| |
= |
sup||x || = 1 |
|(А х , |
х )|. Т ак как |
(А х , |
х) ^ 0, |
|||||
то 11А|| |
= sup||x || _ Д А х , |
х). |
Согласно |
зам ечанию 1 |
этого |
пункта дл я |
15) Так как собственных значений конечное число и они вещественны, то из них можно указать наибольшее.
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
145 |
некоторого хо, ||хо|| = 1 ,
(А х0, х 0) = ||А|| = Л.
О бращ аясь к определению норм ы и используя только что написан ные равенства, получим соотнош ения 16)
11(А - А1)х0||2 = ||А х0||2 - 2А(Ах0, х 0) |
+ А2||х0||2 = |
|
|
|
|
= |
IIА||2 - |
2 ||А || • ||А || |
+ |
||А ||2 - 1 = |
0 . |
Таким образом, (А — AI)XQ = |
0 , или, иначе, A XQ |
= |
AXQ, т. е. А |
= |
=11А || — собственное значение оператора А . То, что А — наибольш ее
собственное |
значение, вы текает из только что установленного след |
ствия из лем м ы этого пункта. Т еорема доказана. |
|
Д окаж ем |
теперь, что числа т и М (см . (5.61)) являю тся наим ень |
ш им и наибольш им собственны ми значениям и сам осопряж енного опе
р ато р а А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
5 .2 0 . |
П уст ь |
А |
— сам осопряж енны й |
операт ор, |
а т |
|||||||
и М — т очны е |
грани |
(А х, х) |
на |
м нож ест ве ||х|| |
= |
1 . Э т и |
числа |
||||||
предст авляю т |
собой |
наим еньш ее |
и |
наибольш ее собст венные |
зн а че |
||||||||
н и я оператора А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . О чевидно, достаточно доказать, что числа т |
|||||||||||||
и М — собственны е значения оператора А . Тогда из неравенств |
(5.62) |
||||||||||||
сразу ж е следует, что т и М являю тся соответственно наим еньш им и |
|||||||||||||
наибольш им собственны ми значениям и . |
|
|
|
|
|||||||||
Д окаж ем |
сначала, |
что М — собственное значение. Д л я этого рас |
|||||||||||
смотрим сам осопряж енны й оператор В = А — m l. |
Т ак как |
|
|||||||||||
|
|
|
(В х, х) = |
(А х, х) |
— ш (х, х) ^ 0, |
|
|
||||||
то оператор |
В удовлетворяет условиям теорем ы 5.19, и поэтом у нор |
||||||||||||
м а ||В || |
этого оператора равн а наибольш ему собственному значению . |
||||||||||||
С другой стороны, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
||В|| |
= |
sup |
(В х, х) |
= |
sup |
(А х, х) — т |
= |
М — т . |
|
|||
|
|
|
Цх|| = |
1 |
|
|
||х|| = |
1 |
|
|
|
|
|
Таким образом, (М |
— т ) — наибольш ее собственное значение операто |
||||||||||||
р а В . С ледовательно, сущ ествует такой ненулевой вектор X Q , ч т о |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
В х 0 |
= |
(М |
— ш )х 0. |
|
|
(5.63)1* |
||
16) |
Мы |
такж е |
воспользовались |
равенством |
||А х о ||2 |
= |
||А ||2, которое следует |
||||||
из соотношений ||А || = |
( A X Q , хо) |
^ |
||А хо||) и ||А || |
= sup||x || _ 1 ||А х||. |
|
10 В.А . И л ьи н, Э.Г. П о зн я к
146 |
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
|
Т ак как В = А |
— ml, то B XQ = A XQ — mlxo = A XQ — mxo. П од |
|
ставляя это вы раж ение B XQ в левую часть равенства |
(5.63), получим |
|
после неслож ны х преобразований соотнош ение A XQ |
= М хоТаким |
|
образом, М — собственное значение оператора А. |
|
У бедимся теперь, что число т такж е явл яется собственны м значе
нием оператора А. |
|
|
Рассм отрим |
сам осопряж енны й оператор В |
= — А. О чевидно, что |
— т — sup||x|= 1(Вх, х). Согласно только что |
проведенному д ок аза |
|
тельству число |
— т представляет собой собственное значение операто |
|
р а В. Т ак как В |
= — А, то т будет явл яться собственны м значением |
|
оператора А. Теорема доказана. |
|
|
В следую щ ей теореме вы ясняется важ ное |
свойство собственны х |
|
векторов самосопряж енного оператора. |
|
Теорема 5.21. У каж дого сам осопряж енного линейного операт о ра А, дейст вую щ его в п -м ер н о м евклидовом прост ранст ве V , сущ е
ст вует п ли н ей н о н езависим ы х попарно орт огональны х и единичны х собст венны х вект оров.
Д о к а з а т е л ь с т в о . П усть Ai — м аксим альное собственное значе ние оператора A (Ai = sup||x|= 1(Ах, х)). О бозначим через ei соб ственны й вектор, отвечаю щ ий Ai и удовлетворяю щ ий условию ||ei|| = = 1 (возм ож ность его вы бора следует из д оказательства лем м ы этого
пу н кта).
Обозначим через V\ (п — 1 )-мерное подпространство простран ства V , ортогональное к e i. О чевидно, V\ — инвариантное подпро странство оператора А (т. е. если х Е Vi, то и Ах Е V\. Д ействительно, пусть х Е Vi (т. е. (х, еД = 0 ). Тогда 17)
(Ах, еД = (х, АеД = АДх, еД = 0.
С ледовательно, Ах — элемент Vi, и |
поэтому V\ — инвариантное под |
пространство оператора А. Это дает нам право рассм атри вать опера |
|
тор А в подпространстве V\. В этом |
подпространстве А будет пред |
ставлять |
собой сам осопряж енны й оператор. С ледовательно, |
имеется |
|||||
м аксим альное собственное значение А2 |
этого оператора, которое м ож |
||||||
но найти с помощ ью соотнош ения 18) |
|
|
|
||||
|
|
А2 |
= |
ш ах |
(Ах, х). |
|
|
|
|
|
|
||х = 11|, xJ_ei |
|
|
|
17) |
М ы |
использовали |
свойство самосопряженности |
оператора |
(А х , еД = |
||
= (х, А е Д |
и то |
обстоятельство, |
что e i — собственный вектор |
оператора: A e i = |
=Aiei.
18)Символ ei_Le2 обозначает ортогональность векторов ei и е 2 .
|
|
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
|
147 |
|||||||||||||
К ром е |
того, мож но |
указать такой |
вектор |
в 2 , e 2 _Leb |
||в 2 |
1 = |
1, |
что |
|||||||||
А в 2 |
= |
A2 G2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О бращ аясь далее к |
(п |
— 2 )-м ерному подпространству |
V2 , ортого |
||||||||||||||
нальном у векторам |
e i |
и в 2 |
, и п овторяя проведенны е вы ш е р ассуж де |
||||||||||||||
ния, мы построим собственны й вектор |
ез, ||ез|| |
= |
1 |
, ортогональны й |
|||||||||||||
e i и |
в 2 |
. Р ассу ж д ая |
и далее таким |
ж е |
образом, |
мы |
последовательно |
||||||||||
найдем п взаим но ортогональны х собственны х векторов e i, в 2 |
, ... , |
е п , |
|||||||||||||||
удовлетворяю щ их условию |
||е*|| = |
1 , г |
= |
1 , 2 , ... , |
п. |
|
|
|
|
||||||||
З а м е ч а н и е |
1 . |
Д оговорим ся |
в |
дальнейш ем |
нум еровать |
соб |
|||||||||||
ственны е |
значения |
самосопряж енного |
оператора |
в |
порядке |
убы ва |
|||||||||||
ния |
с учетом |
повторяю щ ихся, т. е. кратны х, собственны х значений. |
|||||||||||||||
П ри |
этом |
Ai ^ |
А2 ^ |
|
^ Ап и отвечаю щ ие им |
собственны е векторы |
|||||||||||
e i, в 2 , . .. , |
е п мож но считать взаим но ортогональны м и и удовлетворя |
||||||||||||||||
ю щ ими условию |
||щ || = |
1. Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
при |
i = j , |
|
|
|
|
|
|
Опри i ф j .
За м е ч а н и е 2 . И з рассуж дений в доказательстве теорем ы следует
соотнош ение Хт + 1 = |
m ax |
Xx efc, |
fА.Х |
х) |
|
||
— Ц — • Это соотнош ение м ож но |
|||||||
|
|
к = 1, 2, |
т |
( х э |
х ) |
|
|
такж е записать в виде Хт + 1 |
= |
m axxx£; |
fА.Х |
х) |
|||
—:— |
—, где Е т — линейная |
||||||
|
|
|
|
|
|
(х, |
х) |
оболочка векторов ei, в2 , ..., |
еп. С праведливость зам ечан и я вы текает |
||||||
из того, |
что (х, х) = |
||х ||2, и поэтому |
|
|
|||
|
|
(А х >х ) = ( А л _ |
л _ ) |
|
|||
|
|
( х , х ) |
|
V НХ1ГНХН/ |
|||
причем |
норм а элемента х /||х || р авн а |
1 . |
|
|
П усть Е т — м нож ество всех m -м ерны х подпространств простран
ства V . С праведливо следую щ ее важ ное |
м иним аксное |
свойство соб |
||||||
ственны х значений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема |
5.22. |
П уст ь |
|
А |
— сам осопряж енны й |
оператор |
и |
|
Ai, А2 , ... , Ап — его |
собст венные |
зн а ч е н и я , занум ерованны е в |
по |
|||||
рядке., указанном в зам еча ни и |
|
1. Тогда |
|
|
|
|||
|
|
Xт + 1 |
|
m m |
(Ах, х) |
(5.64) |
||
|
|
|
ша х —------ — |
|||||
|
|
|
Ее^тХ±Е |
(х, х) |
|
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . П усть |
Е т |
— линейная оболочка собственны х |
||||||
векторов ei, |
в2 , ..., |
еп оператора А (см. зам ечание 1). |
|
|
10:
148 |
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
|
|
В силу зам ечан и я 2 |
|
|
m ax |
(А х, х) |
|
—------ — = Xm + i. |
|
|
х + Е т |
(х , X) |
П оэтому д л я доказательства теорем ы достаточно убедиться в спра
ведливости соотнош ения |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
m ax |
(А х, х) |
m ax |
(А х, х) |
= |
Лга + 1 |
|
|
|
(5.65) |
|
—------ — ^ |
—------ — |
|
|
|
|||||
|
хТЕсЕ, |
(х, х) |
хетт |
(х, х) |
|
|
|
|
|
|
д л я лю бого Е |
G Е т . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П ерейдем |
к доказательству |
соотнош ения |
(5.65). О бозначим |
сим |
||||||
волом Е 1- ортогональное дополнение подпространства Е |
(см. п. 3 § 2 |
|||||||||
гл .4 ). И з теорем ы 2.10 следует, |
что |
разм ерность |
Е 1- |
р авн а |
п |
— т . |
||||
С ледовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d i m i ^ |
+ dirn.Em + i = (п |
— т ) |
+ (т + |
1) |
= п |
+ |
1 > |
п. |
|
Это означает, в силу теорем ы 2.9, что пересечение подпространств
Е 1- и Е т + 1 содерж ит ненулевой элемент. И так, сущ ествует элем ент х |
||||||||||
такой, |
что x_LЕ , ||х|| = |
1, х е |
Е т + ь т. е. х = |
Y lT = i ске к- |
|
|||||
Т ак |
как ||х|| |
= |
1 и |
базис |
e i, |
в 2 |
, ... , е п — |
ортонорм ированны й, то |
||
в силу теорем ы |
П и ф аго р а (см. п. 2 |
§ 1 |
гл. 4) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
га + 1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
цхц2 |
= |
е |
ы |
2 = 1- |
(5-66) |
|
|
|
|
|
|
|
к = |
1 |
|
|
|
Имеем |
далее А х |
= |
= i |
ск^к |
= |
Y^k = i |
Ск-^ е к ’ П оскольку |
е/, — |
собственны е векторы |
оператора А, то из последних соотнош ений по |
|||||
лучаем А х = |
CkXk^k- |
О тсю да |
и |
из ортонорм ированности е/, |
||
следует справедливость соотнош ения |
|
|
|
|||
( га + 1 |
га+ 1 |
\ |
га+ 1 |
|
||
Е |
С* + е Ь |
Е |
С Р |
е р ) |
= Е \ С к \ 2 ^ к - |
(5.67) |
к = |
1 |
р = |
1 |
/ |
к = 1 |
|
М ы занум еровали собственны е значения в порядке убы вания с уче
том возм ож ной их |
кратности . П оэтом у |
Am + i |
^ |
А/., |
к = 1 , 2 , ... , т . |
|
О тсю да и из соотнош ений |
(5.67) и (5.66) получаем |
|
||||
|
га+ 1 |
|
га+ 1 |
|
|
|
(А х, х) = |
Е |
Ы 2+ ^ Am + i |
^ |
|c*|2 |
= |
Am + i. |
f c = i |
f c = i |
|
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
|
149 |
||||||||
Зам ечая, |
что д л я лю бого х |
/ |
0 |
норм а элемента |
х /||х || |
равн а 1 и |
|||||
||х|| = |
1 , а такж е учи ты вая, что x_LЕ , получим |
|
|
|
|
||||||
|
|
(А х, х) |
m ax |
|
X |
|
X |
|
^ Ат |
+ Ь |
|
|
m ax —------ — = |
[ Ajj-yy, |
jj-yy ) ^ (А х, х) |
|
|||||||
|
хТЕ |
(х, X) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И так, соотнош ения |
(5.65) установлены . Теорема доказана. |
|
|||||||||
5. |
С пектральное |
р азл ож ен и е сам осоп ряж ен ны х |
оп ерато |
||||||||
ров. Т еорем а Гамильтона—К эли . Рассм отрим |
сам осопряж енны й |
||||||||||
оператор А и собственны е |
значения Ai ^ Л2 ^ |
^ Ап этого |
опера |
||||||||
тора. П ри этом e i, в 2 , . . е п — ортонорм ированны й базис, состоящ ий |
|||||||||||
из собственны х векторов, отвечаю щ их {А^}. П усть х |
£ V . Тогда |
||||||||||
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
= |
к = 1 |
e *)efc |
|
|
|
А 68) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(см. п. 3 § 2 гл. 4), а так как А щ |
= |
А ^щ , то с помощ ью (5.68) получаем |
|||||||||
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А х |
= |
Ц |
М |
Х’ е к)е к- |
|
|
|
(5-69) |
к= 1
Оператор Р*., определяем ы й соотнош ением
PfcX = (х, е к) е к, |
(5.70) |
назы вается проект ором на одномерное подпространство, порож денное вектором щ .
И з свойств скалярного произведения |
сразу ж е следует, что |
Р*. — |
||||
сам осопряж енны й линейны й оператор. |
|
|
|
|
||
О тм етим следую щ ие важ н ы е свойства проекторов: |
|
|
|
|||
1 °) Р ^ = |
Р/, |
(отсю да следует, что Р™ |
= Р*., где т — натуральное). |
|||
2°) PfcPi |
= |
0, где к Ф j . |
|
|
|
|
Д оказательство этих свойств следует из соотнош ений |
|
|
|
|||
(PfcPj)x = |
P A(P J-X ) = Р *(х, e j ) e j = |
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
к |
= |
j , |
|
|
= (х , ej ) ( e j, e k )e k = |
к |
ф |
j . |
|
|
|
|
при |
Зам етим такж е, что непосредственно из определения (5.70) следует, что Р*; ком м утирует с каж ды м оператором , которы й ком м утирует с А .
150 |
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
|
||
И з соотнош ений |
(5.68), (5.69) |
и (5.70) получаем |
следую щ ие вы р а |
|
ж ен и я д л я х и А х : |
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
X |
= |
Р ,х , |
(5.71) |
|
|
|
к = 1 |
|
|
|
|
п |
|
|
А х |
= |
УУ А ,Р ,х . |
(5-72) |
|
|
|
к = 1 |
|
И з равенства (5.71) следует, что оператор Y lk = i |
явл яется т ож |
|||
дест венны м : |
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
I |
= |
У ] Pfc- |
(5.73) |
|
|
|
к = 1 |
|
И з равенства (5.72) получаем так назы ваем ое спект ральное разло
ж ение сам осопряж енного операт ора:
п
|
А = |
Y |
, |
(5-74) |
|
|
|
|
k = 1 |
|
|
И з свойств 1 °) и 2 °) проекторов и из соотнош ения |
(5.74) вы текает |
||||
следую щ ее вы раж ение д л я А 2: |
|
|
|
||
|
|
|
|
п |
|
|
А 2 = |
У ^ А Д , . |
|
||
|
|
|
к = 1 |
|
|
О чевидно, вообщ е д л я лю бого целого полож ительного s |
|||||
|
|
|
|
п |
|
|
А 8 = |
У ] А Д , . |
(5.75) |
||
|
|
|
к = 1 |
|
|
Рассм отрим произвольны й полином р (Л) = |
<дА\ По опреде |
||||
лению считаю т р (А ) = |
|
! CkА к . О бращ аясь к соотнош ению (5.75), |
|||
легко получить следую щ ее вы раж ение д л я р (А ): |
|
||||
|
|
|
т |
|
|
Р (А ) = |
y > ( A i ) P i . |
(5.76) |
|||
|
|
|
2 = 1 |
|
|
Д окаж ем следую щ ую теорему. |
|
|
|||
Т е о р е м а 5 .2 3 .(теорема |
Г ам и льтон а-К эли ). Е сли |
А — самосопря |
|||
ж енны й оператор и р { А) |
= |
d et(A |
— AI) — характ ерист ический м н о |
||
гочлен эт ого оператора, |
то |
|
|
|
|
|
|
Р (А ) |
= 0. |
|