Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Линейная алгебра.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

10.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 3221 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Г Л А В А 7

Б И Л И Н Е Й Н Ы Е И К В А Д Р А Т И Ч Н Ы Е Ф О Р М Ы

В этой главе изучаю тся билинейны е формы , определенны е в вещ е ственном линейном пространстве, т. е. числовы е ф ункции двух вектор ны х аргум ентов, линейны е по каж дом у из этих аргум ентов. П одробно

исследую тся так назы ваем ы е квадрат ичны е формы , представляю щ ие

собой билинейпы г ф орм ы , определенны е д л я совпадаю щ их значений их аргум ентов. Рассм атриваю тся такж е некоторы е прилож ения теории билинейны х и к вад рати чн ы х ф орм .

§ 1. Б илинейны е ф ор м ы

1. П онятие билинейной ф ор м ы . П онятие билинейной ф орм ы

в произвольном линейном пространстве бы ло введено нами ранее в

гл. 5. О днако д л я	удобства излож ения в	этом пункте мы напомним
некоторы е определения и простейш ие утверж дения.
О п р едел ен и е	1. Ч и словая ф ун кц и я	А (х, у), аргум ентам и кото

рой являю тся всевозм ож ны е векторы х и у вещ ественного линейного п ространства L, назы вается билинейн ой ф орм ой, если д л я лю бы х век

торов х, у и z	из L	и	лю бого вещ ественного числа							Л вы полняю тся
следую щ ие соотнош ения:
	А ( х	+	z,	у)	=	А ( х , у) + A ( z ,			у),
	А ( х ,	у	+	z)	=	А ( х , у) +		А ( х ,	z),	,7 1 ч
			А (Ах,		у)	=	А А ( х ,	у),
			А ( х , Лу)			=	А А ( х ,	у).
И ны ми словами, б и линейн ая форма предст авляет собой числовую
ф ункцию А (х,	у) двух вект орны х аргум ент ов х								и у,	определенную на
всевозм ож ны х	вект орах х			и у		вещ ест венного			линейного прост ран

ст ва L и ли н ей н ую по каж дом у из эт и х аргум ент ов *).

П ростейш им примером билинейной ф орм ы м ож ет служ ить произ ведение двух линейны х ф орм / (х) и g (у ), определенны х на векторах х

*) При этом часто говорят, что билинейная форм а А (х, у) задана на линейном пространстве L.

202 ГЛ. 7. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

и у линейного п ространства L .

Определение 2.	Б или н ей н ая ф о р м а А (х, у) назы вается с и м м е т
р и ч н о й (к о со си м м ет р и чн о й ), если д л я лю бы х векторов х н у				линей
ного п ространства L	вы полняю тся соотнош ения
А (х, у)	= А	(у, х) (А (х, у) = - А	(у, х)).	(7.2)
С праведливо следую щ		ее ут верж дение: лю бую	б илинейн ую	ф орму

м ож но предст авит ь в виде сум м ы си м м ет ричн ой и кососим м ет рич ной б и ли н ей н ы х форм (см. п. 1 § 9 гл. 5).

2. Представление билинейной формы в конечномерном ли нейном пространстве. П усть в n -мерном линейном пространстве L

зад ан а билинейная ф о р м а В (х,

у). В ы ясним вопрос о представлении

ф орм ы

В (х,

у) в случае, когда в

L задан

определенны й базис е =

(е 1 ,

С2 , • •

Сп ).

С праведливо следую щ ее утверж дение.

Теорема 7.1. Б и л и н е й н а я

форма В

(х, у)

при

заданном

в п -м ер -

ном ли н ей н о м прост ранст ве

базисе

(еь е2, ...,

еп)

м ож ет

быть однозначно предст авлена в следую щ ем виде:

в (х, у)

X I

;'/./•

(7-3)

Ь 3 = 1

где

bij

В (е,, еД

(7.4)

а & и r]j — координат ы

в базисе

вект оров х

и у

соот вет ст венно.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

П усть

у =

J2™= 1 r ] j^ j~

разлож ение векторов х и у по базису е. Т ак как ф о р м а В (х, у) линей

на по каж дом у из аргум ентов х н у			(см. (7.1)), то
	п	п	\	п
	( X	X	) =	X В (ei’
	г = 1	г = 1	/	i ,j = l
Таким	образом, д л я	ф орм ы	В (х, у)	справедливо представле
ние (7.3)	с вы раж ен и ям и (7.4) д л я коэф ф ициентов Ъц.

Ч тобы доказать однозначность этого представления, предполож им ,

что д л я В (х,	у)	справедливо представление (7.3)		с некоторы ми ко эф
ф ициентам и	Ь^.	Б ер я в (7.3) х = щ, у	= е^- мы	сразу ж е получим
вы раж ен и я (7.4)		д л я коэф ф ициентов Ь^.	Т еорема доказана.

§ 1. БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ					203
О п р е д е л е н и е . М атрица
(	Ъи	Ъ\2		Ьщ	\
В ( е ) = (Ь^) =	& 2 1	Ь22	• •	Ь2п
В ( е ) = (Ь^) =
\	Ъп1	ЬП2	• • •	Ьпп	/

элем енты Ь^ которой определены с помощ ью соотнош ений (7.4), н азы

вается м а т рицей билинейн ой формы В (х, у)

в данном

базисе е.

З а м е ч а н и е

. О братим ся к вопросу о построении всех билиней

ны х

ф орм

данном

конечном ерном вещ ественном

пространстве

L .

О твет на

этот

вопрос

следую щ ий: лю бая квадрат ная

м ат рица (Ь^)

я в ля е т с я

в данном

базисе е =

(e i, в 2 , . .

е п) м а т рицей некот орой

билинейн ой формы.

У бедимся в справедливости этого утверж дения.

О пределим

линейном пространстве L

данны м

базисом е

(e i, в 2 , ... ,

е п)

с помощ ью м атрицы

(Ь^)

числовую

ф у н к

цию

В (х, у)

двух

векторны х

аргум ентов

i £ге г

и У

= Е " = 1 % е ;

ви да В (х, у) =

Л егко видеть, что эта ф ун кц и я удовлетворяет всем условиям опре деления билинейной ф орм ы . Но тогда, согласно теорем е 7.1, элемен

ты заданной м атрицы равны В (щ , е^), а написанная вы ш е ф орм ула

есть представление этой ф орм ы в виде (7.3).

Согласно сделанному зам ечанию естественно н азы вать представле

ние (7.3) билинейной ф орм ы В (х, у) общ им видом билинейн ой формы

в п -м ер н о м ли н ей н о м прост ранст ве.

З а м е ч а н и е

Если В (х, у) — сим м етричная

(кососиммет

ричная) билинейная

ф орм а, то

м атри ц а (7.5)

этой ф орм ы в базисе е

явл яется сим м етричной

(кососим метричной).

С праведливо

и обрат

н о е — если

м атри ц а

(7.5)

билинейной

ф орм ы

В (х, у)

сим м етрична

(кососим метрична),

то и билинейная

ф о р м а

явл яется сим метричной

(кососим м етричной).

У бедимся в справедливости этого зам ечания.

П усть

В (х, у) — сим м етричная

(кососим м етричная)

билинейная

ф орм а. П олагая в соотнош ениях (7.2) х =

щ , у = е • получим, соглас

но

(7.4),

bij

= b ji,

(bij

(7.6)

т. e. м атри ц а (7.5) явл яется сим м етричной

(кососим метричной).

П усть

теперь м атри ц а

(7.5)

билинейной

ф орм ы В (х, у)

симмет

ри чн а (кососим метрична),

т. е. ее

элем енты

удовлетворяю т

соотно

ш ениям (7.6). Тогда

из соотнош ения

(7.3)

соотнош ения В (х, у)

J 2 l j = i bij^iVj, следует, что

(х, у)

В ( у, х),

( В (х, у)

204 ГЛ. 7. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

= — В ( у, х)), т. е. ф о р м а В (х, у) явл яется сим м етричной (кососим

метричной).

3.П р еобр азов ани е матрицы билинейной ф ор м ы при п ер е

ходе к новом у базису.			Ранг		билинейной	ф ор м ы . Рассм отрим
в	линейном	пространстве	L	д в а	базиса: е =	(e i, е 2 , ... , еп) и	/ =
=	(fi, f2,	f„). П усть А ( е )		=	(а ц ) и А ( /)	= (Ь Д — м атрицы	дан-
ной билинейной ф орм ы в указанны х базисах.
	В ы ясним	вопрос о связи этих м атриц, т. е. вы ясним вопрос о пре
образовании м атрицы dij			билинейной ф орм ы при переходе от базиса е

кновому базису / .

Справедливо следую щ ее утверж дение.

Т еорем а

7.2. М ат рицы А ( е )

и A ( f )

билинейн ой формы А (х, у)

в базисах

(ei, в 2 , . .

е п)

и /

(fi,

f2 ,

... ,

fn )

связаны

соот но

ш ением

А ( /)

С А (е) С,

(7.7)

где С

(cpq) — м ат рица

перехода

от

базиса е

базису / ,

С —

т ранспонированная м ат рица С .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Э лементы f q нового базиса /

вы раж аю тся че

рез элем енты

ер старого базиса е с помощ ью

м атрицы С =

(cpq) по

ф орм улам

f q =

cpqe p .

(7.8)

= I

Т ак

как Ьцс = A(f/,

f*.), то,

согласно

(7.8), получим

(

У "

Cj*ej

i= i

^ ^

А{&%1 Qj^CuCjk

&ijCilCjk.

(7.9)

i,j =

Н апомним, что элем енты

транспонированной м атрицы С

связаны

с элементами

м атрицы (7 соотнош ениям и

с'и .

П одставляя эти соотнош ения в правую часть (7.9), получим д л я bik

следую щ ее вы раж ение:

	п	П	/ П	\	I •
	Ык —	ai jclicjk —	cli (	UijCjk	I •	(7-10)
	i,j = 1	г = 1	\j = 1		/
С ум м а	ctijCjk (по определению произведения м атриц)					пред

ставляет собой элемент м атрицы А (е) С . О тсю да следует, что вы р аж е ние в правой части (7.10) явл яется элементом м атрицы С ' А ( е ) С. Но

2. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ	205
в левой части (7.10) стоит элем ент м атрицы A ( f ) . П оэтом у A ( f )	=
= С 'А (е) С . Т еорема доказана.
С ледстви е. Ранг м ат рицы А ( /) равен рангу м ат рицы А (е).

Это сразу вы текает из соотнош ения (7.7), из того, что м атри ц а С и, стало бы ть, м атри ц а С являю тся невы рож денны м и, и из теорем ы

о том, что ранг м атрицы не изм еняется при ум нож ении ее на невы ро ж денную матрицу.

Это следствие позволяет ввести важ н ы й числовой инвариант били

нейной ф орм ы — так назы ваем ы й ранг билинейн ой формы.

О п р едел ен и е 1.	Р ангом билинейн ой формы , заданной в конеч
номерном линейном	пространстве L, назы вается ранг м атрицы этой
ф орм ы в произвольном базисе п ространства L .

О п р едел ен и е 2. Б и линейная ф о р м а А (х, у), задан н ая в конечно мерном линейном пространстве L, назы вается невы рож денной (выро ж ден ной ), если ее ранг равен (меньш е) разм ерности п ространства L .

§2. К вадрати чны е ф ор м ы

Пусть А (х, у) — сим м етричная билинейная ф орм а, зад ан н ая на ли нейном пространстве L .

О п р едел ен и е

К вадрат ичной

ф ормой

назы вается

числовая

ф ун кц и я А (х, х)

одного векторного аргум ента х,

которая получается

из билинейной ф орм ы А (х, у) при х

= у.

С им м етричная билинейная ф о р м а А (х,

у)

назы вается полярной к

квадрат ичной форме А (х,

х).

А (х, у)

П олярн ая

билинейная

ф о р м а

к вад р ати ч н ая

ф орм а

А (х, х)

связаны следую щ им соотнош ением:

которое вы текает из очевидного равенства

А (х

+ у,

х +

у)

= А (х, х)

А (х, у)

А (у, х)

+ А (у , у)

и свойства симметрии ф орм ы А (х,

у).

П усть в конечномерном линейном

пространстве L

зад ан а симмет

ри чн ая

билинейная ф о р м а А ( х ,

у),

полярн ая

квадрати чн ой ф о р

ме А (х,

х). П усть, кроме того, в

указан

базис

е =

(e i, в 2

, ... ,

еп).

Согласно

теореме

7.1

ф орм у

А (х, у)

мож но

представить

ви-

де (7.3)

(7.3)

206 ГЛ. 7. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

где и r]j — координаты в базисе е векторов х и у соответственно. П ри этом, в силу симметрии А (х, у ),

	(7.11)
(см. зам ечание 2 и. 2	преды дущ его п ар агр аф а).
П олагая в (7.3) х	= у (т. е. r]j = £ j), мы получим следую щ ее пред

ст авление для квадрат ичной формы А (х, х) в конечном ерном про

ст ранст ве L		с заданны м базисом е:
			П
			(7.12)
М ат рица	ац	назы вает ся м а т рицей квадрат ичной формы А (х, х) в
заданном	базисе е.
Согласно		(7.11)	м атри ц а (а ^ ) явл яется сим м етричной. О чевидно,

каж дой сим м етричной м атрице (а^ ) отвечает с помощ ью соотнош ения

(7.12) квад р ати ч н ая ф о р м а А (х, х), причем (7.12) будет	представле
нием А (х, х) в пространстве L с заданны м базисом е (см.	такж е зам е

чание 3 и. 2 преды дущ его п ар агр аф а).

О тметим, что м атри ц а квадрати чн ой ф орм ы при переходе к новому

базису преобразуется по ф орм уле (7.7). П оэтом у ранг этой м атрицы не м еняется при переходе к новому базису.

О бычно ранг м ат рицы квадрат ичной формы А (х, х) назы вает ся

рангом квадрат ичной формы.

Если ранг м атрицы квадрати чн ой ф орм ы равен разм ерности про стран ства L, то ф о р м а назы вается невы рож денной, а в противном слу

чае — вы рож денной.
В дальнейш ем мы будем использовать		следую щ ую терминологию .
О п р е д е л е н и е 2. К в ад р ати ч н ая ф о р м а А (х, х) назы вается:
1 )	полож ит ельно (от рицат ельн о ) определенной, если д л я лю бого
ненулевого х вы полняется неравенство
	А (х, х) > 0 (А (х,	х) < 0)

(такие ф орм ы назы ваю тся такж е знакоопределенны м и );

2)знакоперем енной, если сущ ествую т такие х и у, что

Л (х, х) > 0, А (у,	у) < 0;
3) квазизнакоопределенной , если д л я	всех х

А (х, х) ^ 0 или А (х, х) ^ 0,

		3. ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ				207
но имеется отличны й от нуля вектор х, д л я которого
			А (х,	х) = 0.
В дальнейш ем			мы укаж ем признаки, по которы м		м ож но судить о
принадлеж ности ф орм ы А (х, х) к одному из указанны х типов.
О тм етим следую щ ее важ ное у т в е р ж д е н и е .
Е сли		А (х, у)	предст авляет	собой билинейн ую	ф орм у,	п о ляр
ную	полож ит ельно определенной квадрат ичной форме А (х,					х ), то
А (х,	у)	удовлет воряет всем аксиом ам скалярного произведения век

торов в евклидовом прост ранст ве.

О братим ся к четы рем аксиом ам скалярного произведения (см. п. 1

§ 1 гл. 4).

Если число, назы ваем ое скалярны м произведением векторов х и у, обозначить символом А (х, у ), то эти аксиом ы запиш утся следую щ им

образом:
1°)	Д х ,	у)	=	А (у, х).
2°) А ( х + z,				у)	= Т ( х , у)		+ A ( z ,	у).
3°)	А (Ах, у)			=	ХА (х,	у ).
4°)	А (х,	х)	^	0 и А (х,		х) >	0 при х	/ 0.

Т ак как билинейная ф о р м а А (х, у ), п олярн ая квадрати чн ой ф о р ме А (х, х) сим м етрична, то аксиом а 1°) вы полняется. А ксиомы 2°) и 3°) в сочетании с требованием сим м етрии вы полнены в силу определе ния билинейной ф орм ы (см. и. 1 § 1 этой главы ). А ксиом а 4°) вы полня ется, так как квад р ати ч н ая ф о р м а А (х, х) полож ительно определена.

З а м е ч а н и е . О чевидно, аксиом ы скалярного произведения м ож но рассм атри вать как совокупность требований, определяю щ их били нейную форму, полярную полож ительно полож ительно определенной квадрати чн ой ф орм е. П оэтом у скалярное произведение в линейны х п ространствах м ож ет бы ть задано с помощ ью такого вида билинейной ф орм ы .

§ 3. П р и в е д е н и е к в а д р а т и ч н о й ф о р м ы к с у м м е к в а д р а т о в

В этом п ар агр аф е указаны различны е м етоды приведения к в ад р а тичной ф орм ы к сумме квадратов, т. е. будут указаны м етоды вы бора такого базиса / = ( f i, f2 , ... , fn ) в линейном пространстве L, по отно ш ению к которому к вад р ати чн ая ф о р м а представляется в следую щ ем

каноническом виде:

А ( х , х) = Airft + A2 V2 + ••• + Хп г]1,

(7.13)

(7 7 1, 7 7 2, • • - , Уп) — координаты х в базисе / .

208ГЛ. 7. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Коэф ф и ц и ен ты (Ai, А2 , . . Ап) в вы раж ении (7.13) назы ваю тся ка

нон ическим и коэф ф ициент ам и.

Подчеркнем , что мы рассм атриваем квадрати чн ы е ф орм ы в про извольном вещ ественном линейном пространстве. В § б будут изучены

квадрати чн ы е	ф орм ы в	евклидовом пространстве и будет	доказан а
возм ож ность	приведения	каж дой квад рати чн ой ф орм ы к	канониче

скому виду даж е в ортонорм ированном базисе. И сходя из результатов гл. 5 в том ж е § б настоящ ей главы будет получено новое доказа тельство теорем ы о приведении квадрати чн ой ф орм ы к каноническо му виду в произвольном (не обязательно евклидовом ) вещ ественном линейном пространстве.

Н астоящ ий ж е п ар агр аф посвящ ен не только д оказательству воз м ож ности приведения квадрати чн ой ф орм ы к каноническому виду, но и описанию двух методов такого приведения, имею щ их больш ую п р ак тическую ценность и ш ироко встречаю щ ихся в прилож ениях.

Т ак как каж дом у преобразованию базиса отвечает невы рож денное линейное преобразование координат, а невы рож денном у преобразова нию координат — преобразование базиса, то вопрос о приведении ф о р мы к каноническому виду мож но реш ать путем вы бора соответствую щ его невы рож денного преобразования координат.

1. М етод Л агр ан ж а . Д окаж ем следую щ ую теорему.

Т еорем а 7.3. Л ю бая квадрат ичная форма А (х, х), заданная в

п -м ер н о м ли н ей н о м прост ранст ве L, с пом ощ ью невы рож денного л и нейного преобразования координат м ож ет быть приведена к канони ческом у виду (7.13).

Д о к а з а т е л ь с т в о . П роведем доказательство теорем ы м ет одом Л агранж а. О сновная идея этого м етода заклю чается в последователь ном дополнении квадратн ого трехчлена по каж дом у аргум енту до пол

ного квадрата.
	Будем	считать, что А (х,	х)	ф 0 2) и в данном базисе е =
=	(еь е 2, ..., е п) имеет вид
				п
				(7.14)
	У бедимся, во-первы х, что с помощ ью невы рож денного преобразо
вания координат ф орм у А (х,			х)	м ож но преобразовать так, что коэф
ф ициент при квадрате первой координат ы вект ора х будет о т личен
от	нуля.
	2)	Если форм а А (х, х) =	0, то ее матрица в любом базисе состоит из нулевых

элементов, и поэтому такая форм а по определению имеет канонический вид.

3. ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ

209

Если в данном базисе этот коэф ф и ц и ен т отличен от нуля, то н у ж

ное невы рож денное преобразование явл яется тож дественны м .

В случае, если а ц = 0, но отличен от нуля коэф ф и ц и ен т при к в ад

рате какой-либо другой координаты , то с помощ ью перенум ерации ба

зисны х векторов мож но добиться требуемого результата. Ясно, что перенум ерация явл яется невы рож денны м преобразованием .

Если ж е все коэф ф и ц и ен ты при к вад ратах координат равны ну

лю, то нуж ное преобразование м ож но получить следую щ им способом.

П усть, наприм ер, а ц	ф	0 3) . Рассм отрим	следую щ ее невы рож денное
преобразование координат 4) :
£ = а - Ь ,	£	= & + Ь , 3 =	i =	3, 4, ... , п.
П осле этого преобразования коэф ф и ц и ен т при				будет равен 2 а ц
и поэтому отличен от нуля.

И так, будем считать, что в соотнош ении (7.14) а ц ф 0. В ы делим в

вы раж ении (7.14) ту группу слагаем ы х, которы е содерж ат £ц П олучим

Я (х, х) = а п ^

+ 2 ai2 ^i£ 2

. .. +

2 a in<^i<^n

^i j i i i j -

(7-15)

г, 3 = 2

П реобразуем вы деленную группу слагаем ы х следую щ им образом:

, 2

a n i i + 2 a i 2 ^ i ^ 2

•

• • + 2 a i n £ i £ n

а ц

( £ 1

+ £ 2 ------

• •

•

+ i n

------

a 12^=2

' '

a l n t 2

0-12^13

t t

- . . .

0 a l n

l a i n

а ц

Ч 2 “

------------ Kn

1 ------------- s 2 s 3

z --------------------£ n - l £ n *

а ц

О чевидно, вы раж ение

(7.15) м ож но теперь переписать так

\ 2

^4(х , х ) = а ц

l ( i + ( 2

—

•••

а п )

(7-16)

а и

где a*j — коэф ф и ц и ен ты при i i i j ,

полученны е

после

преобразования.

Рассм отрим следую щ ее невы рож денное преобразование координат:

t	,	a 12 t ,	, O'ln t	t	t
Vl — s i	4	а ц S2	а ц in, m	— s 2 j • • .5 Vn	— in-

3)Напомним, что A (x, x) ф 0, и поэтому хотя бы один коэфф ициент ац отличен от нуля.

4)Определитель матрицы этого преобразования равен 2, и поэтому это пре образование невырожденное.

14 В.А . И л ьи н, Э.Г. П о зн я к

210 ГЛ. 7. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

С	помощ ью этого	преобразования	и представления (7.1) дл я
А (х,	х) получим
			п
			(7.17)
И так, если ф о р м а		А (х, х) ф 0 , то	с помощ ью невы рож денного

преобразования координат эту ф орм у м ож но привести к виду (7.17). О братим ся теперь к квадрати чн ой ф орм е *22™j = 2 aijrlirlj- Если эта

ф о р м а тож дественно	р авн а нулю, то	вопрос о приведении	А (х,	х) к
каноническому виду	реш ен. Если ж е	ф о р м а Y2H j = 2 atjrlirlj	^	0? т 0

мы можем повторить рассуж дения, р ассм атри вая преобразования ко

ординат 7 7 1, ... , цп , аналогичны е описанны м								выш е, и не м еняя при
этом координату			щ . О чевидно,			такого типа		преобразования	коорди
нат 7 7 1, 7 7 2, • •		т]п	будут невы рож денны м и .
Ясно, что		за	конечное число ш агов мы					приведем квадратичную
ф орм у А (х, х) к каноническому виду (7.13).
О тметим,		что		нуж ное		преобразование исходных			коорди
нат £1 , £ 2 5	• • •,		мож но		получить путем		перем нож ения найденны х
в процессе	рассуж дений				невы рож денны х		преобразований . Теорема
доказана.
З а м е ч а н и е			1	. Б азис, в котором квад р ати ч н ая ф о р м а имеет кано

нический вид, назы вается каноническим . О тм етим , что канонический

базис определен неоднозначно.

З а м е ч а н и е 2. Если ф о р м а А (х, х) приведена к каноническому виду (7.13), то, вообщ е говоря, не все канонические коэф ф и ц и ен ты А*

отличны от нуля. О ставляя в (7.13) лиш ь отличны е от нуля	Ai и пере
нум еровы вая их заново, получим следую щ ее вы раж ение д л я А (х, х):


			А (х , х) = Air)l +			Х2г)1	+ . . . +	\k vl -	(7.18)
Ясно, что			к ^	п. Т ак как ранг		квадрати чн ой		ф орм ы	по определе
нию	равен	рангу		ее м атрицы в	лю бом		базисе, то из (7.18) и условия
Xi ф	0 при	i	=	1 , 2 , ... , к вы	текает,		что ранг	ф орм ы	равен к. Т а

ким образом, число о т ли ч н ы х от н у л я канонических коэф ф ициент ов равно рангу квадрат ичной формы.

2.	М етод Я коби . П ри некоторы х дополнительны х предполож е
ниях о квадрати чн ой		ф орм е А (х, х) м ож но указать явны е ф орм улы
перехода от данного		базиса е = (e i, в 2 , ..., е п) к каноническому ба
зису /	= (fi, f2, ... ,	fn ) и ф орм улы д л я канонических коэф ф и ц и ен

тов Ai.

П редварительно мы введем понятие т реугольного преобразования

базисны х векторов.

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 3221 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20232.08 Mб0Ленинец. 1992, 6 (1368).pdf
#
12.11.20232.17 Mб0Ленинец. 1992, 7 (1369).pdf
#
12.11.20232.12 Mб0Ленинец. 1992, 8 (1370).pdf
#
12.11.20232.18 Mб0Ленинец. 1992, 9 (1371).pdf
#
12.11.20232.09 Mб1Ленинец. 1993, 1 (1379).pdf
#
20.11.202310.82 Mб1Линейная алгебра.-1.pdf
#
12.11.202313.06 Mб31Линейная алгебра..pdf
#
12.11.20239.52 Mб3Майкл Джексон. Мадонна. Страницы жизни.pdf
#
12.11.20233.97 Mб0Макромоделирование интегральных микросхем..pdf
#
12.11.20238.18 Mб5Малобазные тензодатчики сопротивления..pdf
#
12.11.202314.32 Mб17Малогабаритные генераторы накачки полупроводниковых лазеров..pdf