3. Гистограмма

Для наглядного представления тенденции изменения наблюдаемых значений применяют графическое изображение статистического материала. Наиболее распространенным графиком, к которому прибегают при анализе распределения величины, является гистограмма.

Гистограмма – это инструмент, позволяющий зрительно оценить закон распределения статистических данных, полученных за определенный период времени (неделя, месяц, год и т.д.). Также гистограмма удобна для визуальной оценки расположения статистических данных в пределах допуска. Гистограмма представляет собой столбчатый график, построенный по полученным данным, которые разбиваются на несколько интервалов. Для этого на интервалах, отложенных на оси абсцисс, строят столбики, а число данных, попадающих в каждый из интервалов, выражается высотой столбика.

Благодаря простоте построения и наглядности гистограмма нашла применение в самых разных областях:

1. для анализа времени нахождения в банке, больнице и т.д., времени реагирования группы обслуживания от момента получения зявки от клиента, времени обработки рекламации от момента ее получения и т.д.; для анализа сроков получения заказа;

2. для анализа значений показателей качества, таких как размеры, масса, механические характеристики, химический состав, выход продукции и др., при контроле готовой продукции, при приемочном контроле, при контроле процесса в самых разных сферах деятельности, для анализа числа бракованных изделий, числа дефектов, числа поломок и т.д.

Построение гистограммы осуществляется в следующей последовательности:

1. Систематизируют данные, собранные, например, за 10 дней или за месяц. Число данных должно быть не менее 30-50, оптимальное число – порядка 100. Если их оказывается более 300, затраты времени на их обработку оказываются слишком большими.

2. Определение наибольшго L и наименьшего S значений данных. При большом числе значений (порядка 100) определение L и S затруднительно, поэтому вначале определяют наибольшее и наименьшее значения в каждом десятке значений, а затем среди полученных значений определяют L и S.

3. Определение диапазона гистограммы как разницы между наибольшим и наименьшим значением.

4. Определение числа интервалов гисторгаммы. Число участков должно примерно соответствовать корню квадратному из числа данных. Например, при числе данных 30-50 число участков должно быть равно 5-7, при числе данных 50-100 число участков должно быть равно 6-10.

5. Определение ширины интервала гистограммы, для этого диапазон гистограммы делят на число интервалов и полученное число округляют. Например, для анализа результатов контроля толщины пластин при L=11,8 мм, S=7,1мм и числе участков 10, получим (11,8-7,1)/10=0,47, округляем число до 0,5 мм и получаем ширину интервала.

6. Диапазон гистограммы разбивается на интервалы, определяются значения границ участков. Вначале находят наименьшее граничное значение для первого участка из следующего условия:

Гр_н =S– 0,5Е , (10)

где Е – единица измерения.

В приведенном выше примере S=7,1мм, а единица измерения Е составляет 0,1мм. Таким образом, наименьшее граничное значение для первого участка оказывается равным 7,1 – 0,1/2 = 7,05 мм. Прибавляя к полученному значению ширину участка, равную 0,5, находим, что первый участок занимает интервал от 7,05мм до 7,55мм, второй - от 7,55мм до 8,05мм, третий - от 8,05мм до 8,55мм и т.д. (табл. 6).

7. Определение центральных значений для участков по формуле

Ц=Гр_н+Гр_в/2 , (11)

Таким образом, для первого участка центральное значение равно 7,3мм, для второго - 7,8мм и т.д.

8. Подсчитывается число попаданий результатов в каждый интервал и определяется частота попаданий (число попаданий / общее число показателей качества).

Таблица 6

Данные для построения гистограммы

Интервал, мм	Центр. значение	Частота
7,05-7,55 7,55-8,05 8,05-8,55 8,55-9,05 9,05-9,55 9,55-10,05 10,05-10,55 10,55-11,05 11,01-11,55 11,55-12,05	7,3 7,8 8,3 8,8 9,3 9,8 10,3 10,8 11,3 11,8	2 9 14 17 16 15 14 9 3 1

9. Построение графика гистограммы. По оси абсцисс откладывают значения параметров качества, по оси ординат – частоту. Для каждого участка строят прямоугольник с основанием, равным ширине интервала, высота соответствует частоте попадания данных в этот интервал (рис. 7).

Частота

20

10

Интервал, мм

7 8 9 10 11 12

Рис. 7. Пример гистограммы

Если на гистограмме от руки провести кривую распределения данных по частоте, то легко можно понять вид распределения гистограммы и соотношение значений контрольных нормативов. Анализ гистограммы позволяет сделать заключение о состоянии процесса, однако, если неясны условия контроля процесса или временные изменения, необходимо в комбинации с гистограммой использовать также контрольные карты.

Поскольку гистограмма выражает условия процесса за период, в течение которого были получены данные, важную информацию может дать форма распределения гистограммы. Различают следующие формы (рис. 8):

1. Гистограмма с двусторонней симметрией (нормальное распределение), которая встречается чаще всего. Она указывает на стабильность процесса.

2. Форму с плавно вытянутым вправо основанием гистограмма принимает в случае, когда невозможно получить значения ниже определенного – например, для содержания микросоставляющих, для диаметра деталей и т.д.

3. Форму с плавно вытянутым влево основанием гистограмма принимает в случае, когда невозможно получить значения выше определенного, например, для процента содержания составляющих высокой чистоты.

4. Двугорбая гистограмма содержит два возвышения с провалом между ними и отражает случаи объединения двух распределений с разными средними значениями, например в случае наличия разницы между двумя видами материалов, между двумя операторами и т.д. В этом случае можно провести расслоение по двум видам факторов, исследовать причины различия и принять соответствующие меры для его устранения.

1 2 3

4 5 6

7 8

Рис. 8. Формы гистограммы: 1 – гистограмма с двусторонней симметрией; 2 – гистограмма, вытянутая вправо; 3 – гистограмма вытянутая влево; 4 –гистограмма двугорбая; 5 – гистограмма в форме обрыва; 6 – гистограмма с ненормально высоким краем; 7 – гистограмма с отделенным островком; 8 – гистограмма, не имеющая центральной высокой части

5. Гистограмма в форме обрыва, у которой как бы обрезан один край (или оба) представляет случаи, когда, например, отобраны и исключены из партии все изделия с параметрами ниже контрольного норматива (или выше контрольного норматива, или и те и другие). После исследования причин отклонения значений параметров от нормы и стабилизации процесса можно прекратить отбор всех изделий с параметрами, отличающимися от нормальных.

6. Гистограмма с ненормально высоким краем отражает случаи, когда, например, требуется исправление параметра, имеющего отклонение от нормы, или при искажении информации о данных и т.д. После стабилизации процесса операции по исправлению могут быть прекращены. При этом необходимо уделить внимание случаю грубого искажения данных при измерениях и принять меры к тому, чтобы такие случаи не повторялись.

7. Гистограммой с отделенным островком выражаются случаи, когда была допущена ошибка при измерениях, когда наблюдались отклонения от нормы в ходе процесса и т.д. По результатам анализа гистограммы делают заключение о необходимости настройки измерительного прибора или срочного осуществления контроля параметров процесса и применяют соответствующие меры.

8. Гистограмма, не имеющая высокой центральной части, получается в случаях, когда объединяются несколько распределений, в которых средние значения имеют небольшую разницу между собой. Анализ такой гистограммы целесообразно проводить, используя метод расслоения.

При разработке полимерных материалов для определенных отраслей промышленности задается комплекс показателей эксплуатационных свойств, таких как, например: пределы прочности при сжатии и изгибе, ударная вязкость и др. Известно, что значения этих характеристик зависят от молекулярной (химической) и надмолекулярной структуры полимеров, от средних молекулярных масс и вида молекулярно-массового распределения (ММР) полимеров.

Последнее существенно зависит от условий получения полимера. Так, например, при протекании радикальной полимеризации в условиях оптимума и постоянства параметров процесса чаще всего получается полимер, имеющий нормальное ММР распределение Гаусса (рис. 8, гистограмма 1). В этом случае ММР является узким и характеризует равновероятностный механизм обрыва цепи диспропорционированием и рекомбинацией.

При преобладании реакций диспропорционирования ММР относится к распределению Флори (рис. 8, гистограмма 5), при обрыве цепи рекомбинацией получается распределение Шульца (рис. 8, гистограммы 2,3). Гистограмма 4 свидетельствует о бимодальности ММР, что может быть вызвано неоднородными условиями получения полимера при изменении температуры и концентрации реагентов по реакционному объему в ходе процесса, возникновением гетерофазности, протеканием реакции по двум механизмам одновременно или на различных активных центрах. Гистограмма 8 – это пример широкого ММР.

ММР позволяет оценить долю низкомолекулярных и высокомолекулярных фракций в полимере, форма ММР позволяет охарактеризовать механизм процесса и может предсказать, какими, например, физико-механическими свойствами будет обладать полимер.

Рассмотрим еще один пример. При разработке клея-расплава на основе полиолефина и добавок специального назначения - агента липкости (глицериновый эфир канифоли, нефтеполимерная смола) было замерено 65 значений показателя текучести расплава. Диапазон гистограммы при L=9,9 и S=2,1 равен 7,7. Число интервалов гистограммы равно 8, ширина интервала равна (9,9 – 2,1)/8=1. Наименьшее граничное значение для первого участка равно 2,1 – 0,1/2=2,05. Далее была составлена таблица данных (табл. 7).

Таблица 7

Данные для построения гистограммы

Интервал, г/10мин	Центр. значение	Частота
2,05 – 3,05 3,05 – 4,05 4,05 – 5,05 5,05 – 6,05 6,05 – 7,05 7,05 – 8,05 8,05 – 9,05 9,05 – 10,05	2,55 3,55 4,55 5,55 6,55 7,55 8,55 9,55	2 15 7 18 12 6 4 1

По данным таблицы построен график гистограммы (рис. 9).

Частота

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0Интервал

2,55 3,55 4,55 5,55 6,55 7,55 8,55 9,55

Рис. 9. Гистограмма значений ПТР клея-расплава

Полученная двугорбая гистограмма говорит о наличии разницы между двумя видами агента липкости (глицеринового эфира канифоли и нефтеполимерной смолы). Полученные данные анализируют, применяя другие методы: долю дефектных изделий и потерь от брака исследуют с помощью диаграммы Парето; причины дефектов определяют с помощью причинно-следственной диаграммы, метода расслоения и диаграммы разброса; изменение характеристик во времени определяют по контрольным картам.