книги / Оболочки и пластины

Под эквивалентностью задач мы подразумеваем тот факт, что минимум функцио­ налов (2,16,11) и (2,16,14) достигается в обеих задачах на одном и том же напря­ женном и деформируемом состоянии оболочки, являющемся состоянием равновесия.

Доказательство эквивалентности задач I и II можно найти в книге Куранта и Гильберта [80].

Вариационная задача II соответствует принципу Кастильяно теории упругости. Принцип Кастильяно в применении к оболочкам гласит, что состояние равновесия обо­ лочки отличается от смежных статических состояний тем, что при всяком бесконечно

панели цилиндрической оболочки, который был рассмотрен выше при выводе уравне­ ний равновесия из принципа возможных перемещений.

Итак, требуется составить уравнения Эйлера и естественные граничные условия

Из равенства (2,16,15) следует равенство нулю работы сил реакций на переме­ щениях контура, т. е.

2 = 0 .

Таким образом, требуется найти минимум функционала

после чего проварьируем (2,16,18) с учетом связи между деформациями и усилиямимоментами (2,7,10), считая функции сравнения Ти Т2, и их производные постоян­ ными на контуре. В результате имеем

которые полностью совпадают с уравнениями неразрывности срединной поверхности (2,3,16), если в последние подставить условия (2,16,2).

Все предыдущие рассуждения справедливы и для нелинейной деформации обо­ лочки. Покажем это на примере панели пологой оболочки. Из принципа возможных пе­ ремещений, используя основные допущения § 15, получим уравнение равновесия.

ехх* еху* ®уу» **» Kyt KXyt u0 t v0 t w

§ 17. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД

В технике имеют широкое применение материалы со свойствами, зависящими от направления. Такие материалы называются анизотроп­ ными, к ним относятся: дерево, фанера, .прорезиненные ткани, стекло­ пластики и т. д.

Кроме деталей, изготовленных из анизотропных материалов, в со­ временных конструкциях используются элементы, обладающие так на­ зываемой конструктивной анизотропией. В качестве примера таких эле­ ментов можно назвать гофрированные пластины и оболочки или оболоч­ ки, усиленные часто поставленными ребрами.

Приведем основные уравнения теории упругости анизотропного те­ ла. Подробное изложение можно найти в книгах Лява [5] и Лехницкого [16].

В самом общем случае анизотропного тела зависимость между на­ пряжениями и деформациями выражается обобщенным законом Гука, который в матричной форме запишется так:

Разрешая эти уравнения, получим выражение компонент напряжения через компоненты деформации:

Обобщенный закон Гука содержит 36 постоянных ац. Если сущест­

^уг ^44^ у г ~Ь ^45^гд:>

(2,17,3)

^ г х ^45^ у г ~Ь Q 'bfP zx'

е ху — а 1 в ° х+х а и а у у+ а 3 в ° гг+ а ы а х у

2. Каждая точка тела имеет три взаимно перпендикулярные плос­ кости упругой симметрии. Такие тела называются ортотропными, они чаще всего применяются в современных конструкциях. Ортотропными являются такие материалы, как древесина, фанера, текстолит, стекло­ пластики.

Закон Гука для ортотропного тела имеет вид

Если в этих формулах выразим постоянные а.ц через технические постоянные (модули упругости и коэффициенты Пуассона), то получим закон Гука для ортотропного тела в форме

вУг ~ гО з а уг>

(2,17,5)

Р = ----- O'

ху п ^ху>

о12

причем

EIV21= £ 2V12,

(2,17,6)

•^2VS2= ^3V2S> £sV13 — ElV31>

здесь Ей E2, Еъ— модули Юнга в направлениях осей х, у, г, 0 2з, G13, G12— модули сдвига в плоскостях yoz, zox и хоу, Vij — коэффициенты Пуассо­ на, характеризующие поперечное сжатие при растяжении в направлении осей координат. Например, коэффициент vi2 характеризует сокращение

внаправлении у при растяжении в направлении х.

3.В каждой точке тела имеется ось симметрии вращения, иными

словами, все направления, перпендикулярные оси симметрии, эквива-

5 П. М. Огибалов, М. А. Колтунов

лентны. Плоскость, перпендикулярная оси симметрии, называется плос­ костью изотропии.

Закон Гука в случае, когда ось z совпадает с осью симметрии, принимает вид

где £ — модуль Юнга, G — модуль сдвига, v — коэффициент Пуассона. В случаях 1—4 рассматривались тела, обладающие прямолинейной

анизотропией.

Теперь рассмотрим тело, обладающее криволинейной анизотропией. Введем систему криволинейных координат g, т], g, таким образом, чтобы

координатные линии совпадали с линиями анизотропии, т. е. с линия­ ми, вдоль которых упругие 'Свойства тела постоянны. В этом случае обобщенный закон Гука запишется в матричной форме так:

где ciij — постоянные.

Если координатные линии не совпадают с линиями анизотропии, то величины dij будут функциями координат.

Как и в случае прямолинейной анизотропии, наличие упругого по­ тенциала приводит к равенствам

в результате чего количество упругих постоянных снижается с 36 до 21. Еще больше упрощаются уравнения (2,17,10), если тело обладает упру­ гой симметрией.

Рассмотрим случай цилиндрической анизотропии. В этом случае с телом неподвижно связана некоторая прямая, называемая осью ани­ зотропии.

Все направления, параллельные оси анизотропии, эквивалентны. Также эквивалентны между собой все направления, пересекающие ось под прямым углом, и все направления, ортогональные первым двум.

Введем цилиндрическую систему координат, направив ось вдоль оси анизотропии.

Если в каждой точке тела существуют три плоскости упругой сим­ метрии — нормальная к оси анизотропии, радиальная и тангенциальная (случай ортотропного тела с цилиндрической анизотропией), то закон Гука запишется в форме

1

^31 azr>

1

erQ= —— Ore> Gia

где Eit E2, E3— модули Юнга для растяжения — сжатия в направле­ ниях г, 0, г; V12— коэффициент Пуассона, характеризующий сжатие в •направлении 0 при растяжении в направлении г и т . п., G 2 з, G 3 1» G12 —

5 *