книги / Оболочки и пластины

Величины S2 и # 2 не выписываем, так как из закона парности ка­ сательных напряжений аар = ара следует, что

s2= s1= s1 н2= нг = н.

В (2,15,7) введены следующие обозначения:

Эти формулы можно упростить, если вместо срединной поверхности ввести 'некоторую начальную поверхность таким образом, чтобы /)1(а>Р)=0. Обозначив расстояние этой поверхности по нормали отно­ сительно срединной поверхности через z0 (рис. 2.14), получим следующее уравнение для ее определения 1:

-й/,

1Уравнение (2,15,9) вытекает из условия, что при чистом изгибе усилия в ней­ тральной поверхности равны нулю, а моменты определяются только параметрами

кривизны.

4 *

Считая эту поверхность достаточно пологой и рассматривая z0 как неко­ торую начальную логибь оболочки, будем понимать под прогибом w величину

Тогда усилия и моменты будут определены по следующим формулам:

Нх = Dxleар + D22xap,

где величины D2, D22, М\Т и М2ттеперь определяются по формулам

Перейдем к построению уравнений равновесия. На рис. 2,15 пред­ ставлены положительные направления усилий и моментов, действующих на элемент оболочки.

В теории гибких пологих оболочек уравнения равновесия составля­ ются несколько своеобразно. Требование равенства нулю суммы проек­ ций всех сил, действующих на выделенный элемент в направлении осей а и р , требование равенства нулю -суммы моментов всех сил относи­ тельно осей а и р составляется как и в линейной теории, без учета геометрических изменений при переходе оболочки из начального в на­ пряженное состояние, не учитываются и начальные искривления элемен­ та. Вместе с тем условие равенства нулю суммы действующих на эле­ мент сил в направлении оси г записывается с учетом и начальных искривлений и искривлений, приобретенных в результате деформирова­ ния оболочки.

Принятая система упрощений приводит к следующим уравнениям равновесия:

Нетрудно убедиться, что два первых уравнения равновесия (2,15,14) удовлетворяются тождественно, а два 'следующих дают выражения для поперечных сил и N2. Внося выражения N { и N2 через Мь М2, Н в последнее уравнение системы (2,15,14) и учитывая соотношения (2,15,6), (2,15,11), (2,15,13) и (2,15,16), получим уравнение равновесия теории гибких пологих ортотропных оболочек, работающих в некотором температурном поле:

Система уравнений (2,15,19) и (2,15,21) относительно прогиба и функ­ ции напряжений, полученная А. Н. Кудиновым в -работе [111], описывает поведение гибких ортотропных оболочек, механические свойства мате­ риала которых изменяются вместе-с изменением температуры.

В случае неизменяемости механических характеристик с изменением температуры соответствующие разрешающие уравнения получим из (2,15,19) и (2,15,21), полагая Сг-,4= ... = C\\i4= 0 (/=1, 2). При 7°=.const для изотропного материала задача об изгибе и устойчивости пологих оболочек сводится к интегрированию системы совместных нелинейных дифференциальных уравнений «в частных производных, имеющей вось­ мой порядок:

причем в силу первого из этих граничных условий второе обратится в более простое

Их?d*w = 0.

Кроме того, так как на контуре не приложено никаких внешних усилий, то нормальные и касательные усилия на кромках равны нулю:

■В схеме б) заранее ничего нельзя сказать относительно усилий на кромках, но относительно перемещений можно считать, что они обра­ щаются и нуль. Следовательно, граничные условия для закрепления кромок по схеме б) запишутся так:

w = d2w = 0, и = v = 0.

~дх*

Эти условия говорят о том, что геометрия кромок оболочки при ее изгибе остается прежней и что они ,не смещаются.

В случае в) закрепления кромок граничные условия будут

W = д2^ - = 0, и = const, V = const,

дх2

что выражает факт смещения кромок панели при деформировании обо­

дх

В случае г) при деформации пластинок кромки искривляются, в случае д) кромки остаются прямолинейными и не смещаются.

Выражение для вариации потенциальной энергии внутренних усилий-моментов •было получено в § 2.7. С учетом (2,16,2) уравнение (2,7,6) запишется в виде

Подставив (2,16,6) в (2,16,5), получим соотношение, в котором вариация внут­ ренней потенциальной энергии будет выражаться через вариации перемещения бад и производных ди/дху до/дву

Для выделения независимых вариаций преобразуем правую часть (2,16,7), для чего проинтегрируем по частям члены, содержащие производные перемещений, предвари­ тельно изменив порядок варьирования и дифференцирования, например,

Преобразуя аналогичным образом остальные слагаемые, получим вместо (2,16,7)