книги / Оболочки и пластины
..pdfОБОЛОЧКИ И ПЛАСТИНЫ
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов механико-.математических: факультетов университетов
ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1 9 6 9
Книга содержит теорию и практику расчета тонкостенных элементов современных конструкций типа пластин и оболочек. Дано систематическое изложение линейной и нелинейной тео рий пластин и оболочек из упругого и неупругого материа лов, обладающих склерономными или реономными свойствами; приведены корректные постановки краевых задач и различные эффективные методы решения. В книге рассмотрены в линей ной и нелинейной (геометрически и физически) постановке: изгиб, устойчивость и колебания изотропных и анизотропных пластин и оболочек. Приводится анализ решений наиболее типичных задач и обсуждение принципиальных опытных дан ных. В ней содержится много оригинальных результатов, относящихся к теории и практике расчета прочности и устой чивости пластин и оболочек из неупругого и вязко-упругого материалов.
Печатается по постановлению Редакционно-издательского совета Московского университета
2—4—2
157—69
П Р Е Д И С Л О В И Е
Роль и значение тонкостенных элементов типа оболочек и пластин в современных инженерных конструкциях различного назначения труд но переоценить. Поэтому огромный практический интерес представляет: задача об определении прочности и устойчивости оболочек и пластин.
В книге использованы материалы лекций по курсу «Оболочки и пластины», читанные авторами на механико-математическом факульте те Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, известные монографии, современная журнальная литература, преиму щественно отечественная, а также последние результаты авторов в этой
области |
(научные статьи и монографии). |
влияние оказало ее |
На |
отбор материала для книги решающее |
|
назначение — быть учебным пособием в высшей |
школе при изучении |
|
прочности и устойчивости тонкостенных элементов конструкций. Здесь представлены все основные аспекты теории и практики расчета оболочек и пластин с учетом структуры и физико-механических особенностей их материала.
Книга состоит из шести глав.
В первой главе кратко излагаются сведения из теории поверхностей, которые затем используются систематически.
Во второй главе представлена теория тонкостенных оболочек и пластин; здесь же даны постановки краевых задач с учетом физико-ме ханических особенностей материала, типа и характера возмущений.
Втретьей главе отобраны наиболее эффективные методы решения краевых задач и рассмотрены типичные примеры решения задач тео рии оболочек и пластин в линейной и нелинейной постановке.
Вчетвертой главе исследованы колебания (свободные, вынужден ные, параметрические и панельный флаттер) и рассмотрены некоторые динамические задачи оболочек и пластин.
Впятой главе даны постановки (линейная и нелинейная) и решения задач об устойчивости оболочек и пластин с учетом особенностей физи ко-механических свойств их материала, а также типа и характера воз мущений.
Вшестой главе изложены некоторые вопросы специального расчета оболочек и пластин, подвергнутых тем или иным физическим воздейст виям (облучение и т. д.). Здесь же развита теория удара и теплового пограничного слоя; дана постановка и примеры решения задачи об определении оптимальных параметров оболочки.
Книга предназначена в качестве учебного пособия для студентов и аспирантов высшей школы, специализирующихся по механике твердого деформируемого тела. Она будет полезна для научных работников, ин-
женеров-исследователей и конструкторов, интересующихся вопросами прочности и устойчивости конструкций.
Авторы весьма признательны и благодарят за ценные замечания и советы кафедру механики Казанского государственного университета, доктора физико-математических наук профессора К. 3. Галимова, док тора физико-математических наук профессора А. В. Саченкова, доктора физико-математических наук профессора В. А. Ломакина, доктора фи зико-математических наук профессора Л. А. Толоконникова, доктора физико-математических наук профессора И. И. Воровича и доктора тех нических наук профессора М. С. Корнишина.
Авторы благодарны доктору технических наук А. И. Спришевскому, кандидату физико-математических наук В. Ф. Грибанову, Ю. П. Артю хину, Н. К. Галимову, а также В. П. Дергунову, Ю. П. Жигалко, И. Е. Трояновскому и И. М. Тюнеевой за большую помощь в подготовке рукописи к печати. Авторы выражают признательность кандидату физико-математических наук доценту Б. П. Кишкину за внимательное редактирование книги.
Авторы будут признательны и благодарны всем, кто сочтет возмож ным прислать замечания о книге и свои пожелания.
Г л а в а I
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
В этой главе приводятся краткие сведения из теории поверхностей, используемые для построения уравнений теории пластин и оболочек. Более подробные сведения о свойствах поверхностей можно найти в курсах дифференциальной геометрии, например [1].
§ 1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ НА ПОВЕРХНОСТИ
Представим себе кусок поверхности (рис. 1. 1). Положение любой точки М этой поверхности относительно любой координатной ^системы,
например декартовой системы с единичными векторами i, j, k, можно
задать вектором г с координатами х, у, z, так |
.-------- |
|
что |
х |
\ |
r = xi + yj + zk. |
|
|
Аналитически |
поверхность задается соот |
|
ношением между |
координатами |
|
f(x, у, г) = 0, либо в параметрической форме
г = 7(1, л) = *(£, л)?+У(Ъ, 4)7-1-
+ 2(1, л Я |
|
|
(1,1,1) |
|
|
|
Параметры £, г) определяют положение точки на поверхности и на |
||||||
зываются координатами |
точки. |
Фиксируя, например, |
значение |
|||
т]= т)о = const, получим уравнение |
некоторой |
линии |
на поверхности |
|||
|
7 = 7 (1 , л<>)> |
|
|
|
||
вдоль которой изменяется только |
параметр |
£. Эта |
линия |
называется |
||
координатной. |
|
|
|
|
|
являются |
Координатные линии g= const, t] = const в общем случае |
||||||
кривыми на поверхности r=r(£, rj), поэтому их называют криволиней
ными координатами поверхности. Линия r] = const обычно называется линией g, а линия g = const — линией rj.
Координатная сеть называется правильной, если в данной области каждая линия g пересекает каждую линию г\ только в одной точке.
В дальнейшем мы будем рассматривать поверхности, обладающие нужным числом непрерывных производных.
Пусть конец вектора г (точка М на рис. 1.2) движется вдоль коор динатной линии т| = т|о в направлении увеличения параметра g. Тогда г будет функцией одной переменной g, т. е. r = r(g, г|0), а его производной
будет вектор, касающийся линии rj = т]о в точке М.
Аналогично |
есть вектор, касающийся в точке М координатной |
дц
линии g = 10.
Векторы |
и |
-у - |
называются координатными. |
|
|||||
Вектор N = |
ag |
X |
дц |
определяет направление нормали к поверхнос- |
|||||
ти, а вектор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дг |
дт |
|
|
|
|
|
|
|
п = |
dl |
х ап |
|
(U .2 ) |
|
|
|
|
|
дг |
дг |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
"дГ х |
|
|
|
единичный вектор |
нормали |
(рис. |
1.3). |
|
|
|
|||
Плоскость |
L, |
проходящая |
через |
векторы |
и |
является плос- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
д \ |
ад |
|
костью, касательной к поверхности в точке М. |
|
|
|||||||
Если векторы |
|
|
и дт\ ортогональны между |
собой |
в любой точке |
||||
поверхности, координатная сеть называется ортогональной. |
|
||||||||
§ 2. ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
Вектор
* = — ■ + ~ -d r\ dr]
по величине и направлению равен отрезку, соединяющему верхности (I, т)) и (l + dl, ri + dri)-
Квадрат длины этого вектора определяется равенством
где |
dsz — andi2 -f- |
-f- |
|
|
|
Оц — |
dr |
dr |
an — |
dr\ ’ |
|
|
*6 |
( 1,2, 1)
точки по
( 1,2,2)
(1,2,3)
Выражение (1, 2, 2) называется первой квадратичной формой поверх ности, а числа ап, а12 и а2г — коэффициентами первой квадратичной формы.
Если г считается функцией декартовых ортогональных координат
Г= xi + у\ + zk,
которые задаются в параметрической форме х, у, 2|||, г|, то
_ |
дх дх |
ду ду , |
дг\ |
дг] |
(1,2,4) |
|
°12 ~ |
O f *"а»Г + |
лГ + |
11 |
лГ’ |
||
|
||||||
|
|
|
dz |
\2 |
|
|
Если на поверхности задана ортогональная |
сеть, то ai2= 0 . |
|
||||
Зная коэффициенты первой квадратичной формы, можно вычислять углы между пересекающимися кривыми на поверхности, площади кусков поверхности и длины отрезков кривых на поверхности.
Кривая на поверхности задается соотношением между криволиней ными координатами
/( 1,Л) = о,
либо в параметрической форме
£ = £(*). Л = Л(0 -
Длина отрезка этой кривой вычисляется по формуле
L = j ds = j V andi2 + 2a12d&dx\ + a22dr\2 =
L L
Угол между двумя кривыми г = ri(/), г = гп(0 на поверхности вы числяется по формуле (рис. 1. 4)
cos 0 |
drlbrn |
|
I d'l I I бгп I |
||
|
Но
| dri | = ds = К A u d i 2 4 - 2 a 12d |d r i + a22dr\2,
| бгц | = 6s = V Оцб|2 + 2a126|Sr) -f- a226if,
dr\ ■8гц =
= aud£6| -f a12 (d£dri + dt}8£) + a22dr\dr\.
Следовательно,
_________ Оц<%6£ Qx2 |
-ф- dt|6|) -ф- а^цбт!__________ |
V au d |2 + 2a12d|drj -ф- a^drf |
V Оцб|2 -f 2а12б|бт) + а^бт]2 |
Для определения площади куска поверхности разобьем его коорди натными линиями на элементарные криволинейные четырехугольники (рис. 1. 5).
Площадь каждого четырехугольника определим как площадь па раллелограмма, построенного на векторах, касательных к сторонам четырехугольника и имеющих равную этим сторонам длину. Площадь такого параллелограмма будет равна модулю векторного произведения указанных векторов
AS = |
— |
X — |
Д£Ат) = V a n a 22 — а \ 2 ДЕЛл- |
|
d t |
дц |
|
Площадь 5 куска |
поверхности будет равна поверхностному интегралу |
||
|
|
S = |
j КацДаг — a?2dldr\. |
&
§ 3. ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
Проведем на поверхности через точку М некоторую кривую, урав нение которой в векторной форме будет
г = r(s ) = r [i( s ) , T}(s)], |
( 1 , 3 , 1 ) |
где за параметр принята длина дуги кривой, отсчитываемая от некото рой начальной точки на кривой.
Вектор |
|
г" ( S) = k v |
(1,3,2) |
называется вектором кривизны, v — единичный вектор нормали кривой.
Проекция |
вектора кривизны на нормаль |
к поверхности в точке М на |
|
зывается |
нормальной кривизной кривой r= r(s) |
и обозначается k n: |
|
|
kn = г"-п = k v - n = |
k cos 0 , |
(1,3,3) |
где 0 — угол между направлениями векторов v, п. Нормальные кривизны
всех линий на поверхности, имеющих в точке М общую касательную, совпадают. Нормальная кривизна кривой на поверхности в точке М зависит только от направления касательной к кривой в точке М. Для доказательства найдем величину нормальной кривизны. Дифференци
руя уравнение r = r(s), получим
1 1Си г д?
|
|
г' -__ dr _ |
dr |
.JL |
+ |
— |
• |
dr\ |
|
|
|
ds |
dl |
ds |
+ |
at) |
|
ds |
|
7" |
d2r |
dr |
4*1 |
1 |
d r~ |
.. &r\ |
|
||
—~d& ~ |
dt |
' ds2 |
|
dr\ |
|
ds2 |
+ |
||
г |
|
|
|
||||||
( d\ ') 4 2 . |
dfr |
.JL |
|
dr] , 4 - ( |
|||||
V |
ds . |
|
ds |
|
ds |
|
dt)* |
\ |
|
(1,3,4)
(1,3,5)
Подставляя (1,3,5) в (1,3,3) и учитывая, что eg • п = дт\ • п = 0, получим
|
|
) + 2 £ 12 |
i L |
_*L |
|
(1.3.6) |
* - 4 - 2 - ' |
ds |
ds + b * 2 ( i t y |
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
, |
- |
d2r |
|
- |
d’-г |
(1.3.7) |
|
|
£>12 = n |
9&Ч |
£>22 = П |
dvf |
|
|
|
|
||||
Внося (1,2,2) в (1,3,6), имеем |
|
|
|
|
||
|
^ |
_ &iid£2 4 Zbiydfylx] 4 ЬгаФ')8 |
|
(1.3.8) |
||
|
|
|
|
|
|
|
"an dl2 -ф- 2a12d|dri 4 - a^dif
Квадратичная форма, стоящая в числителе, называется второй квадра тичной формой поверхности.
Формула ( 1, 3, 8 ) определяет в точке М нормальную кривизну кри-
дл
вой (рис. 1. 6 ), имеющей в указанной точке направление
Величины |
|
kn = — и k22 = |
(1,3,9) |
а 11 |
а 22 |
равны нормальным кривизнам координатных линий r\ = const и £ = const, а коэффициент Ь\2 является параметром кручения поверхности. Доказа тельство первого утверждения вытекает из рассмотрения (1, 3, 8), где
полагаем вначале dr] —0, а затем d£= 0. Первая и вторая квадратичные фор
мы полностью определяют поверхность с точностью до ее положения в простран стве. Это значит, что две поверхности, имеющие одинаковые квадратичные фор мы, совпадают по своей форме и могут отличаться только положением в прост ранстве in.
Рассмотрим зависимость k'n от на правления -щ-. Для этого перепишем (1, 3, 8) в виде
bndl2+ 2b12dldr\ -f b22drf — kn(aud£2+ 2a12dB,dt\ + a22drf) = 0.(1,3,10)
Найдем экстремальные значения kn. Условия экстремума получим, при равняв нулю частные производные от левой части равенства (1, 3, 10) по d\ и по dr\\
bndl |
-f b12dr\ |
— kn (andt |
+ aiadri) = |
0, |
(1,3,11) |
b12dl |
+ b22dr\ |
— kn(a12dl |
-f a22dr\) = |
0. |
|
Исключив из (1, 3, 11) d\ и dr\, получим квадратное уравнение относи тельно kn:
(аиа22 ^12) Щ\ (°и^22 + а22Ьц — 2а12ь12) кп-\-(ЬцЬ22 |
= 0, (1,3,12) |
корнями которого и будут искомые экстремальные значения kn, назы ваемые главными кривизнами; соответствующие им направления, опре-
dri
деляемые отношением — называются главными.
Исключая из (1, 3, 11) kn, получим уравнение относительно dr\
(#12^22 |
a22^12) |
--fl22^1l) |
ai2^1l) ~ 0- |
(1,3,13)
Произведение главных кривизн (Г) называется полной или гауссо вой кривизной, полусумма главных кривизн (К) называется средней кривизной. Эти величины определяются из (1, 3, 12) и записываются в виде
Г = kxk2= |
ЬцЬоо-- Ь‘12 |
(1.3.14) |
|
aUa22— fl12 |
|||
|
|
||
ki k2 |
^ 12^12— fl11^22— Д22^11 |
(1.3.15) |
|
К = |
|
2 (ancht— a?2)
где k\ и ki — главные кривизны.