книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред
.pdf
142 |
Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями |
|
|
х х t n (П2 = М е, |
(2.8.4) |
|
X1 |
|
причем вектор Т е ортогонален к S 1.
Если условия (2.8.1) являются частным случаем общих граничных усло вий задачи (2.6.63), то условия (2.8.2) и (2.8.3) представляют собой допуще ние и лишь в определенной степени моделируют точные граничные условия на торцах, которые формулируются заданием всего поля вектора перемещений
и(ж7,0) на торцевой |
поверхности Е° и поля вектора напряжений t n(x7,L) |
на S 1. Тем не менее, |
для достаточно длинных тел, для которых справедливо |
условие d/L <С 1, где d — диаметр, a L — длина цилиндрического тела, такое приближенное выполнение граничных условий (2.8.2)-(2.8.4), как правило, достаточно хорошо моделирует напряженно-деформированное состояние тела и широко используется в приложениях.
Будем искать решение смешанной задачи (2.6.67) с граничными условия ми (2.8.1)—(2.8.4), в котором декартовы компоненты тензоров напряжений и
деформации не зависят от координаты ж3: |
|
dk\ Sij || ж7, / = 1,2. |
(2.8.5) |
Напряженно-деформированное состояние (2.8.5) в цилиндрическом теле с прямолинейной анизотропией называют плоской деформацией.
2.8.3. |
Определяющие соотношения для двумерных задач |
|
Рассмотрим |
определяющие соотношения между |
и dij в виде (2.6.8) |
(тепловые деформации е полагаем включенными в массовые и поверхностные силы f' и t' ):
причем далее будем (см. т. 1, §4.6), в напряжений:
е = П <т, |
(2.8.6) |
использовать матричное представление этих соотношений котором вводятся координатные столбцы деформаций и
|
£а = ^ 2 |
а = 1, |
..., |
6, |
(2.8.7) |
|
/3=1 |
|
|
|
|
/ е Л |
( ёи ) |
/ < п \ |
( |
- 2 2 \ |
|
|
|
|
|
|
|
£ 2 |
£ 2 2 |
^ 2 |
|
а |
|
|
-33 |
||||
|
|
^3 |
|
||
£ з |
£ з з |
|
а |
|
|
£ 4 |
V 2 ё2з |
сг4 |
|
л/ 2 |
а 2 3 |
£5 |
V 2 £i3 |
^5 |
|
л/ 2 |
а 13 |
\ £6 / |
\ \ / 2 £ 12 / |
\ < r j |
\ V 2 а п ) |
||
а матрица |
компонент тензора упругих податливостей определяется по |
§ 2.8. Двумерные задачи для тел с прямолинейной анизотропией |
143 |
формулам (т. 1, (4.6.59)). Для ортотропных сред матрица Пар имеет вид (2.6.17), для трансверсально-изотропных — (2.6.26), для изотропных — (2.6.32).
Выразим из (2.8.7) компоненту сг3:
1 |
6 |
|
= YT~(£з - |
$ 3 п зРар) |
(2.8.9) |
Пз3 |
Й |
|
|
РФ3 |
|
и подставим это выражение во все остальные пять соотношений (2.8.7), тогда
получим |
б |
|
£<* = |
^ В ^ а р + В ае3, а,/? = 1, ..., 6, |
(2.8.10) |
|
/3=1 |
|
|
/3/3 |
|
где компоненты приведенных податливостей |
|
|
Вар = IW - |
И33 |
Ва = ^ Л , |
а, (3 = 1, • • •, 6; а,0ф3. (2.8.11) |
|
1133 |
|
|
Очевидно, что Ва(3 |
= Вра, так как Па(3 |
= П ^ . |
|
2.8.4. Тензор функций напряжений
Тензор функций напряжений Ф (2.6.67г) для двумерной задачи ищем в следующем виде:
Ф = Ф33ё3 + Ф23О 1+ Ф13О2 + ФщОз* |
(2.8.12) |
Напомним (см. т. 1, п. 4.3.8), что Оа = ёд (g) ё7 + ё7 (g) ёд, ё2а = ёа (8) ёа . Иначе говоря, в общем представлении тензора Ф полагаем Фп = Ф22 = 0, остальные его компоненты ищем только в зависимости от х1:
Фзз> Ф23> Ф13» Ф12 II х 1 • |
(2.8.13) |
Подставляя (2.8.12) в соотношение (2.6.67г) и используя результат упр. 1
к § 2.3 для оператора несовместности в декартовом базисе, находим |
|
||||
° \ |
= &U = Ф,22 - X. ^2 = ^22 = |
Ф,12 - |
X. |
|
|
^з = ^зз = |
- 2Ф12Д2 - X. |
сг4 = л/2 а 23 = |
-л /2 |
7,ь |
(2.8.14) |
сг5 = л/2 од3 = л/2 7>2, |
сгб = л/2 а 12 = —л/2 Фд2> |
|
|||
где обозначены функции напряжений |
|
|
|
||
|
Ф = Фзз, |
7 = Ф2ЗД —Ф13,2* |
|
(2.8.15) |
|
Непосредственной подстановкой (2.8.14) несложно убедиться, что уравне ния равновесия V • сг + V x = 0 тождественно удовлетворяются, что впрочем
итак очевидно, поскольку (2.8.14) — это компонентная запись соотношений
а= Ink Ф —уЕ, а V • Ink Ф = 0.
144 |
Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями |
Подставляя соотношения (2.8.14) в (2.8.9), находим, что Ф12 можно выра зить через ф и 7:
сг3 = 2Ф12д2 - X = — — (^з - П1з(Ф 22 - х) “ П23(Ф,п - х)+ Шзз
+ л/2 П437д + л/2 П537)2 - V2 П33Ф 12). (2.8.16)
Таким образом, в двумерной задаче независимых функций напряжений только две: Ф и 7 .
2.8.5. Уравнения совместности для двумерных задач
С учетом предположений (2.8.5) и обозначений (2.8.8) уравнения сов местности деформаций (2.6.67а) в декартовом базисе записывают следующим образом (принимая во внимание результат упр. 1 к § 2.3):
^3,22 = |
0, |
£3,11= О, |
£3,12 = |
0, |
(2.8.17а) |
|
£1,22 + £2,11 |
—^2 £е,12 = 0, |
|
(2.8.176) |
|||
£5,12 - |
£4,11 = |
0, |
£4,12 —£5,22 = |
0. |
(2.8.17в) |
|
Отметим, что поскольку все £а зависят только от х1, то из трех уравнений (2.8.17а) следует, что деформация £3 является линейной функцией коорди нат х 1:
£3 = Арх1 + A Q, |
(2.8.18) |
где A Q, А\, А 2 — константы.
Интегрируя первое уравнение в (2.8.17в) по ж1, а второе — по ж2, находим,
что эти уравнения сводятся к одному: |
|
£5,2 —£4,1 = —л/2 д, |
(2.8.19) |
причем д не зависит от х 1 (д = const).
Если подставить определяющие соотношения (2.8.10) в формулы (2.8.176)
и(2.8.19), то получим
'б
/3=1 |
( { В \ р ° р ) л \ + |
(з),22 - |
Х 2 ( В ь р а р ) г12) — |
|
|
|
|
|
|
|
|
/3 /3 |
- |
О |
о |
о |
(2.8.20а) |
< |
(Еч£з),п + (7?2£3),22 - V 2 |
(7?б£3)д2 = 0, |
|||
V2 |
£ {{Вър<тр\2 - |
(B4pap)tl) = - 2 d + V2 ( Б 4£ 3) д - (S 5e3)i2). |
(2.8.206) |
||
|
/3=1 |
|
|
|
|
|
/3 /3 |
|
|
|
|
Подставляя вместо оа их выражения (2.8.14) через функции напряжений, а вместо £3 — выражение (2.8.18), находим систему двух уравнений относи тельно двух функций Ф и 7:
§ 2.8. Двумерные задачи для тел с прямолинейной анизотропией |
145 |
(Ь4Ф + Ь ^ = hu |
(2.8.21а) |
\ ь 3Ф + L2l = h2 - 2 d + y/2 (B 4A I - В ъА2), |
(2.8.216) |
где дифференциальные операторы = В22Ф\\\\ —2л/2 ^26^,1112 + 2(^12 + -Вбб)Ф,1122 —
—2л/2 ^16^,1222 + -ВцФ.2222.
Тз7 = —^2 i?247,l п + л/2 (Б25 + л/2 ^26)7,112—
—л/2 (Б [4 + л/2 ^56)7,122 + vT ^157222.
L27 = 2Б 447Д1—4.В45712 + 2Б 55722, |
(2.8.21в) |
а функции Л.1, Л.2, зависящие от массовых сил, имеют вид |
|
h\ = (i?ii + В\2 )х ,22 - V2 (i?i6 + ^ 2б)х,12 + (В\2 |
+ В22)Х,2 2 > |
h2 = л/2 (i?i5 + В 2§)х ,2 - V 2 (Ви + В24)х,\- |
(2.8.21г) |
С учетом (2.8.18) формула (2.8.16) для напряжения 03 принимает вид
аз = О/ПззХЛ) + Лг®7 - П13Ф 22 - П23ФД1- л/2 Пд3Ф 12+
+ л/2 (П437 ,1 + П537 ,2 ) + (Пщ + П23)х). (2.8.22)
2.8.6. Перемещения в двумерной задаче
Проинтегрируем соотношение Коши (2.6.676) в двумерной задаче, полагая деформации еа известными, удовлетворяющими уравнениям совместности (2.8.17) и не зависящими от ж3. В декартовом базисе соотношения (2.6.676) имеют вид
«1,1 = £ь |
|
|
(2.8.23а) |
«2,2 = £2. |
|
|
(2.8.236) |
щ,з = £3 = |
А 0 + Арх1, |
(2.8.23в) |
|
Щ,2 + и 2,\ |
— V^2 £ Q, |
(2.8.23г) |
|
и \,3 + ^3,1 |
= |
£5, |
(2.8.23д) |
и 2,3 + ^3,2 — л/2 |
£4. |
(2.8.23е) |
|
После интегрирования (2.8.23в) и подстановки полученного выражения для щ в (2.8.23д) и (2.8.23е) проинтегрируем их также по ж3:
|
|
гх3 = (AQ + ApxI)x?>+ И ^ ж 1, ж2), |
(2.8.24а) |
|||
«1 = |
(л/ 2 |
S5 - |
Щ Л)х3 - |
4г(ж3)2 + |
И Д ж 1,* 2), |
(2.8.246) |
«2 = |
(л/2 |
е4 - |
1+3,2)ж3 - |
^ ( х 3)2 + |
W 2 ( x \ x 2), |
(2.8.24B) |
146 |
Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями |
где W\, W2, W3 — функции интегрирования, зависящие только от х1. Подставляя (2.8.24) в (2.8.23а), (2.8.236) и (2.8.23г) и приравнивая члены
при х 3 и не содержащие ж3, получаем систему уравнений
W\f\ = £\, |
W2j2 = £2, |
W \ t2 + W2j\ = V 2 £Q, |
(2.8.25) |
|
|
V2 е5Л - Щ |
и =0, |
(2.8.25a) |
|
|
V 2 e4>2 - W3>22 = 0, |
(2.8.256) |
||
|
V2 (e5j2 + £4,1) - |
2W3>i2 = 0. |
(2.8.25B) |
|
Интегрируя (2.8.256) и (2.8.25в), имеем |
|
|||
л/2 e5 - Ws,i = / 2Ц 2), |
V 2 £ 4 - W 3'2 = M X 1), |
(2.8.26) |
||
где /1 и /2 — функции интегрирования. |
|
|
||
Подставляя выражения (2.8.26) |
в (2.8.25г), находим, что |
функции f\ и |
||
/2 должны удовлетворять уравнению / 2,2 + / 1,1 = 0, но поскольку f\ зависит
только от ж1, а /2 — только от ж2, |
то отсюда следует, что f\ = |
qxx — иа\, |
||
/2 = —qx2 + u2, где UJ\, CJ2 |
и q — константы интегрирования. |
|
||
Таким образом, выражения (2.8.26) имеют вид |
|
|||
л/2 £5 —W3д = —qx2 + ж>2, |
л/2 £4 —W3 2 = qxx — и \ . |
(2.8.27) |
||
Если подставить (2.8.27) в уравнения совместности (2.8.19), то получим |
||||
|
g = •&. |
|
(2.8.28) |
|
Введем новые функции |
, W2 |
и W3, |
отличающиеся от ЕИь W2 и W3 |
|
только линейными функциями |
|
|
|
|
Ид = Ид - <ж3ж2 + и ю, |
W2 = W2 + Щ3Ж1+ и2о, |
|
||
Щ = W3 + сщж2 - |
+ гх30, |
(2.8.29) |
||
где жд, (Ж2, жд и 'Uio, ^20’ ^зо — константы. |
|
|
||
Тогда для двух функций W\ и |
W2 от двух переменных из |
(2.8.24а) |
||
получим следующую систему трех уравнений: |
|
|||
W i . i = е\, |
W2,2 = е 2 > т , 2 |
+ W2,1 = V2 £6, |
( 2 .8 . 3 0 ) |
|
а для одной функции И7з(ж/ ) из (2.8.26) имеем систему двух уравнений:
W3A = V2 £Ъ+ $х2 + и2, W3 2 = л/2 s4 - t f x 1 -жд. |
(2.8.31) |
Однако обе эти системы совместны, поскольку е\, £2 и £3 удовлетворяют условию совместности (2.8.176), а £4 и £5 — условию совместности (2.8.19).
С учетом (2.8.26), (2.8.28) и (2.8.29) выражения (2.8.24) для перемещений примут окончательный вид
щ = —^-(ж3)2 —$ж2ж3 + си2 х 3 —ж;3ж2 + що + W\ (ж7),
148 |
Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями |
где первый знак соответствует внешнему контуру £, а второй — внутреннему Со-
Интегрируя уравнения (2.8.34) по s, находим граничные условия на кон турах С и CQ\
Г Hr2 |
Ф 1= |
/ dx1 |
Ф,2 = (х— ± 4 ) ^ + Ф02, |
)ds + Ф0ь |
|
7 = |
7о. |
(2.8.35) |
где Фоь Ф02 и 7о — постоянные, которые для односвязной области можно при нять равными нулю, для многосвязной же области их можно считать равными нулю только на одном контуре, например, £, а на остальных (контурах £$) эти константы определяются решением уравнений (2.8.21) и не могут быть заданы произвольно.
Рассмотрим граничные условия (2.8.3), (2.8.4) на торце ж3 = L. Используя в этом случае формулу Стокса (см. т. 1, (3.4.16)) и формулы (2.8.14), из (2.8.3) имеем
пз<т13 (П2 |
= |
dj |
|
|
|
dx |
|
() |
dx[ |
|
0 |
|
— ^ dTj = — 0 7 |
——ds + |
7 ——ds = |
|
|||||||||
|
|
дх2 |
|
|
J |
ds |
|
J |
ds |
|
|
|
|
|
$7 |
|
|
£ |
|
|
A ) |
|
|
|
|
щ а 23 dTj = — |
|
|
dx2 |
|
|
dx2 |
0, |
|
(2.8.36) |
|||
— TdYj = 0 |
7 |
——ds — () 7 |
/ |
—— ds = |
|
|||||||
|
|
dx1 |
T |
; ds |
T |
dsл. |
|
|
|
|
||
поскольку на S 1: n = |
ез |
и щ = |
1, |
a y |
является |
константой |
на |
£ в силу |
||||
(2.8.35). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, два из трех граничных условий (2.8.3) удовлетворяются тождественно, а последнее условие в (2.8.3) и три условия (2.8.4) сводятся к
следующим: |
|
|
|
|
м II |
J е ’ |
(2.8.37а) |
|
X1 |
|
|
ж'стз ( Е |
= —Mg , |
ж2сг3 dH = Mg, |
(2.8.376) |
Е1 |
Е;1 |
|
|
7(723 - Ж2(713 |
= M l - |
B |
|
|
(2.8.37 ) |
||
х1 Подставляя в соотношения (2.8.37а) и (2.8.376) выражение (2.8.22) для
аз, получаем систему трех линейных уравнений относительно трех констант AQ, А\ и ф , решая которую находим эти константы.
Подставляя выражения (2.8.14) для одз и су3 в (2.8.37в), преобразуем это соотношение следующим образом:
§ 2.8. Двумерные задачи для тел с прямолинейной анизотропией |
149 |
( ж 1 7,1 |
+ ^27,2) (П: = - |
+ (x<2l),2) dTi + 2 7 dE = |
Е1 |
Е 1 |
Е 1 |
|
|
(ж^П! + Ж27П2) d<S + 2 7 dE. (2.8.38) |
|
с |
Е 1 |
Здесь еще раз использована формула Стокса аналогично формулам (2.8.36). Поскольку на контуре С функцию 7 для односвязной области можно
положить равной нулю, то условие (2.8.37в) с учетом (2.8.38) принимает вид
2 7 dS = Ме3. |
(2.8.39) |
Е 1
Подставляя в (2.8.39) выражение для 7 после решения системы (2.8.21), вычисляем последнюю константу д.
Моменты М\ и обычно называют изгибающими, а момент М 3 —
крутящим.
2.8.8. Плоская деформация
Пусть кроме условий 1-3 из п. 2.8.2 выполнены дополнительные условия:
4)главные оси анизотропии Ос\ и Ос2 являются осями симметрии каж дого нормального сечения тела, а само тело — ортотропным, поэто му, выбирая оси декартовой системы координат Ощ совпадающими с главными осями анизотропии Осу (точка О при этом является центром симметрии нормального сечения тела Е°), получаем, что следующие элементы матриц упругих податливостей и приведенных податливостей равны нулю:
Пск4 П а5 П а0 П 45 П 50 П 40 0, OL |
1 , 2 ,3 , |
ВаА= Ва$ = Ва6 = Б 45 = Б 5б = Б 4б = 0; |
(2.8.40) |
5) изгибающие и крутящий моменты отсутствуют, а вектор малого поворо та сJo ортогонален к нормальному сечению Е 1 тела, т. е.
М хе = Mg = М 3 = 0, CJQ = ^зо^з, ^10 = ^20 = 0. |
(2.8.41) |
Нагружение тела в этом случае осуществляется только поверхностными усилиями £g, £g на боковой поверхности Еа тела и поверхностной силой JF3 на торце Е 1.
Ввиду условия 4, целесообразно оси декартовой системы координат Ощ выбрать совпадающими с главными осями ортотропии Осу, причем точка О является центром симметрии нормального сечения Е°.
Представленное в пп. 2.8.5-2.8.7 решение при принятых допущениях су щественно упрощается, поскольку оказывается возможным удовлетворить
150 |
Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями |
|
||
всем граничным условиям задачи, полагая |
|
|
||
|
.4] = А 2 = 0, |
д = 0, |
uj\ = 0J2 = 0. |
(2.8.42) |
В этом случае, как следует из (2.8.32), |
перемещения щ и щ |
являются |
||
функциями только координат ж1 и ж2, а щз — линейная функция по ж3: |
||||
|
ир = гДж1, ж2), |
7 =1 , 2 ; |
щз = Д ж 3 + щзо. |
(2.8.43) |
Напряженно-деформированное состояние тела, соответствующее распре делению перемещений (2.8.43), называют плоской деформацией.
В силу (2.8.41) и ортотропии среды, кручения тела не происходит, поэтому решение ищем при нулевой функции 7 = 0, тогда формулы (2.8.9) и (2.8.14) принимают вид
04 = Ф 2 2 - Х , |
ОД = |
Ф , 11 |
X , 042 |
= - Ф , 12, |
|
сг4 = сг5 = о, |
СГ3 = |
Б 3Д |
+ z/31cri + |
Z/32CT2. |
(2.8.44) |
Здесь учтены условия (2.8.40), а также использованы технические константы П3з = 1/Дз, П31 = П32 = V32/E 3 .
Для функции напряжений Ф из (2.8.21) получаем одно уравнение: ^ 22^,1111 + 2(Б12 + Б бб)Фд122 + В цф '2222 =
= ( Б п + Б 12) х >22 + ( В 12 + Б 22) х >22. (2.8.45)
Граничные условия для функции Ф имеют вид (2.8.35).
Условие (2.8.39) на торце ж3 = L, в силу (2.8.41) и 7 = 0, удовлетворяется тождественно. Удовлетворяются и два условия (2.8.376), поскольку в силу допущения 4 область И1 имеет оси симметрии Оё\ и Оё2, и функция Ф, а также ее производные Ф п и Ф 22 являются симметричными относительно этих осей, и, следовательно, обращаются в нуль интегралы
ж7сг3 dH = £ 3Д |
ж7 dH + ZA>1 Ж' cTi dE + z/32 |
r<72dE = 0, (2.8.46) |
x1 |
x1 |
X1 |
где Б = 1,2, что и должно быть, поскольку М 7 = 0 в силу формулы (2.8.41). Одно оставшееся тождественно ненулевое условие (2.8.37а) на торце после подстановки в него выражения (2.8.44) для сг3 позволяет найти константу Д :
А) — |
1 |
(z/31cri + z/32cr2| |
dY^j |
(2.8.46а) |
|
№
X1
и тем самым завершить решение.
Для плоской деформации задачу определения перемещений ир можно сформулировать в явном виде, исходя из общей трехмерной постановки квазистатической задачи (2.6.63). Записывая дифференциальные операторы V (8) и и V • и в декартовом базисе и учитывая (2.8.43), в частности для ортотропных сред из (2.6.63) получаем