книги / Фейнмановские лекции по физике Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Вып. 1-2 Современная наука о природе. Законы механики. Пространство. Время. Движение

(см. гл. 13), что быстрота роста энергии со временем равна произведению силы на скорость

зав все это с определением Е и подставив в (15.13), получим

Мы хотим решить это уравнение относительно т. Для этого помножим обе части на 2т. Уравнение обратится в

d (mv)

с2 (2т) •— = 2mv dt • (15.15)

Теперь нам нужно избавиться от производных, т. е. проин­ тегрировать обе части равенства. В величине (2m)dmfdt мо­ жно узнать производную по времени от т2, а в (2mv) •

•d(mv)/dt — производную по времени от (mv)2. Значит,

(15.15) совпадает с

Когда производные двух величин равны, то сами величины могут отличаться не больше чем на константу С. Это позво­ ляет написать

Определим теперь константу С явно. Так как уравнение (15.17)

должно выполняться при любых скоростях, то можно взять v = 0 и обозначить в этом случае массу через то. Подстанов­

ка этих чисел в (15.17) дает

шос2 = О “I* С.

Это значение С теперь можно подставить в уравнение (15.17).

Оно принимает вид

281.

Г л а в а

современную мысль. Остается только удивляться, почему? Ведь прежде всего сама идея: «все зависит от точки зрения» — на­ столько проста, что несомненно, не было нужды обременять себя анализом трудностей физической теории относительно­ сти, чтобы открыть ее. Всякий, кто идет по тротуару, знает, что все, что он видит, зависит от его системы отсчета. Сперва он видит лица прохожих, а уж потом — их затылки. И почти во всех философских заключениях, о которых говорят, что они проистекли из теории относительности, нет ничего более глу­ бокого, чем утверждения типа: «Пешеход выглядит спереди иначе, нежели сзади». Известный рассказ о нескольких сле­ пых, споривших, на что похож слон, тоже весьма напоминает теорию относительности с точки зрения таких философов.

Но в теории относительности, пожалуй, есть кое-что и поглубже того наблюдения, что человек спереди выглядит иначе, чем сзади. Принцип относительности куда глубже этого, ведь с его помощью мы можем делать определенные предсказания. Но было бы более чем странно, если бы только

это наблюдение позволило нам предсказывать поведение при­ роды.

Есть и другая школа «философов». Эти чувствуют себя •очень неуютно из-за теории относительности, которая заявляет, что нельзя определить свою абсолютную скорость, не глядя ни на что снаружи корабля. Они восклицают: «Вполне по­ нятно, что никто не может измерить своей скорости, не вы­ глядывая наружу. Само собой очевидно, что бессмысленно

говорить о чьей-то скорости, если не глядеть по сторонам. Глупцы были те физики, которые думали иначе. Их вдруг осенило, вот они и рады; но если бы мы, философы, представ­ ляли, какие проблемы стояли перед физиками, мы их давно решили бы чисто мозговым усилием и сразу же поняли бы, что невозможно определить скорость, не выглянув наружу. И мы сделали бы громадный вклад в эту их физику». Эти филосо­ фы всегда топчутся около нас, они мельтешат на обочинах науки, то и дело порываясь сообщить нам что-то. Но никогда на самом деле они не понимали всей тонкости и глубины на­ ших проблем.

Наша неспособность засечь абсолютное движение — это результат опытов, а не итог плоского философствования.

Это легко пояснить. Начать с того, что еще Ньютон считал, что действительно невозможно узнать свою скорость, если движешься прямолинейно и равномерно. Ведь первым-то провозгласил принцип относительности именно Ньютон (мы цитировали его слова в предыдущей главе). Почему же в те, ньютоновы времена философы не поднимали такого шума о

284

мику, существовали физические законы, позволявшие утвер­ ждать, что можно измерить свою скорость, даже не выглянув наружу; но вскоре после Максвелла экспериментально было установлено, что это невозможно.

А теперь скажите, действительно ли так уж абсолютно и

определенно необходимо с философской точки зрения, чтобы невозможно было знать свою скорость, не посмотрев по сто­ ронам? Одним из следствий теории относительности явилось развитие философии, которая утверждала: «Определять мо­ жно только то, что поддается измерению! Так как ясно, что нельзя измерить скорость, не видя, по отношению к чему она измеряется, то естественно, что понятие абсолютной ско­ рости смысла не имеет. Физики обязаны понять, что можно говорить только о том, что поддается измерению». Но в этомто и весь вопрос: сказать, можем ли мы определить абсолют­

ную скорость, — это все равно что решить, можно или нельзя выяснить из эксперимента, движется ли корабль, не выгля­ дывая в иллюминатор. Иными словами, нельзя априори ут­

верждать, что что-то измеримо, а что-то нет; это решает не рассуждение, а эксперимент. Немного найдется философов, которые хладнокровно объявят очевидным, что если скорость света внутри автомобиля равна 300000 км/сек, а скорость самого автомобиля достигает 100000 км/сек, то свет проно­

сится мимо наблюдателя на дороге тоже со скоростью 300000 км/сек. Для них это потрясающий факт; даже те из

них, для кого относительность разумеется сама собой, обна­ руживают, когда вы предъявляете им конкретный факт, что совсем не так уж очевидно.

И наконец, есть даже «философы», утверждающие, что вообще мы не в состоянии обнаруживать никакого движения, не выглядывая наружу. А уж это просто неверно. Действи­ тельно, нельзя заметить равномерного движения по прямой линии, но если бы вся комната вертелась, мы бы определенно

об этом знали, потому что все в ней разлеталось бы к стен­ кам— наблюдались бы всяческого рода «центробежные» эф­ фекты. Тот факт, что Земля наша вращается вокруг своей оси, можно обнаружить, не глядя на звезды, скажем, с по­ мощью так называемого маятника Фуко. Стало быть, неверно, что «все относительно»; нельзя обнаружить только равно­ мерное движение, не выглядывая наружу. Равномерное вра­ щение вокруг фиксированной оси обнаружить можно. А когда

вы это скажете философу, он очень огорчится, что прежде этого не понимал; ему, видите ли, казалось, что просто невоз­ можно установить вращение вокруг оси, не наблюдая внеш­ ний мир. Правда, если он достаточно сообразителен, то через некоторое время он может вернуться и заявить: «Понял! На самом деле никакого абсолютного вращения не существует.

285

Видите ли, — скажет он, — на самом деле мы вращаемся относительно звезд. И вследствие какого-то невыясненного

влияния, оказываемого на тела звездами, возникает центро­ бежная сила».

Ну что ж! Судя по всему, это верно; в настоящее время у нас нет способа узнать, существовала бы центробежная сила, если бы не было звезд и туманностей. Не в наших силах сделать такой эксперимент — убрать все туманности, а затем измерить наше вращение; значит, тут мы ничего сказать не можем. Мы должны допустить, что философ может оказаться прав. Он тогда расцветает от удовольствия и изрекает: «И во­ обще совершенно необходимо, чтобы все в мире в конечном счете подчинялось тому же принципу: абсолютное вращение — это бессмысленно, можно говорить только о вращении по отношению к туманностям». И тут-то мы ему ответим: «А тогда

скажи, друг мой, само собой или не само собой разумеется, что равномерное движение по прямой линии относительно туманностей не должно никак чувствоваться внутри автомо­

биля?» И теперь, когда движение уже больше не абсолютное, когда оно стало движением относительно туманностей, во­

прос оказывается темным и на него можно ответить, лишь поставив эксперимент.

Но в чем же в таком случае выразились философские влияния теории относительности? Какие новые идеи и пред­ ложения внушил физикам принцип относительности? Если

ограничиться только этого рода влияниями, то их можно опи­ сать следующим образом. Первое открытие, по существу, со­ стояло в том, что даже те идеи, которые уже очень долго дер­ жатся и очень точно проверены, могут быть ошибочными. Ка­ ким это было большим потрясением — открыть, что законы Ньютона неверны, и это после того, как все годы они каза­ лись точными! Теперь, конечно, ясно, что не опыты были не­ правильными, а просто все они проделывались в слишком ограниченном интервале скоростей — таком узком, что реля­ тивистские эффекты невозможно было заметить. И все же те­ перь мы взираем на наши законы физики куда более смирен­ н о — ведь любой из них может оказаться ошибочным!

Во-вторых, если возникают некие «странные» идеи, вроде того, что когда идешь, то время тянется медленнее и т. д., то неуместен вопрос: нравится ли это нам? Единственно уме­

стен здесь другой вопрос: согласуются ли эти идеи с тем, что показал опыт? Иначе говоря, «странные идеи» должны быть согласны только с экспериментом. Единственный резон, по­

чему мы должны обсуждать поведение часов и т. п., состоит в следующем: мы должны доказать, что, хотя определение растяжения времени и очень странно, с нашим способом изме­ рять время оно вполне согласуется.

2 8 6

И наконец, теория относительности подсказала нам еще кое-что; может быть, это был чисто технический совет, но он оказался чрезвычайно полезным при изучении других физи­ ческих законов. Совет состоял в том, что надо обращать вни­ мание на симметрию законов, или, более определенно, искать

способы, с помощью которых законы можно преобразовать, сохраняя при этом их форму. Когда мы обсуждали теорию векторов, мы отмечали, что основные законы движения не меняются, когда мы особым образом изменяем пространствен­ ные и временные переменные (пользуемся преобразованием Лоренца). Идея изучать операции, при которых основные за­ коны не меняются, оказалась и впрямь очень полезной.

§ 2. Парадокс близнецов

Чтобы продолжить наше изучение преобразований Ло­ ренца и релятивистских эффектов, рассмотрим известный «па­ радокс» — парадокс близнецов, скажем, Петера и Пауля. Под­ росши, Пауль улетает на космическом корабле с очень высо­ кой скоростью. Петер остается на Земле. Он видит, что Пауль уносится с огромной скоростью, и ему кажется, что часы Пау­ ля замедляют свой ход, сердце Пауля бьется реже, мысли те­ кут ленивее. С точки зрения Петера, все замирает. Сам же Пауль, конечно, ничего этого не замечает. Но когда после долгих странствий он возвратится на Землю, он окажется моложе Петера! Верно ли это? Да, это одно из тех следствий теории относительности, которые легко продемонстрировать. Мю-мезоны живут дольше, если они движутся; так и Пауль проживет дольше, если будет двигаться. «Парадоксом» это явление называют лишь те, кто считает, что принцип отно­ сительности утверждает относительность всякого движения.

Они восклицают: «Хе-xe-xel А не можем ли мы сказать, что с точки зрения Пауля двигался Петер и что именно Петер

должен был медленнее стареть? Из симметрии тогда следует единственный возможный вывод: при встрече возраст обоих братьев должен оказаться одинаковым».

Но ведь чтобы встретиться и помериться годами, Пауль должен либо остановиться в конце путешествия и сравнить часы, либо, еще проще, вернуться. А возвратиться может только тот, кто двигался.' И он знает о том, что двигался, потому что ему пришлось повернуть, а при повороте на ко­ рабле произошло много необычных вещей: заработали раке­ ты, предметы скатились к одной стенке и т. д. А Петер ни­ чего этого не испытал.

Поэтому можно высказать такое правило: тот, кто почув­ ствовал ускорение, кто увидел, как вещи скатывались к стен­

ке,,и т.д., — тот и окажется моложе. Разница между братьями

287

имеет «абсолютный» смысл, и все это вполне правильно. Когда мы обсуждали долгую жизнь движущегося мю-мезона, в качестве примера мы пользовались его прямолинейным движением сквозь атмосферу. Но можно породить мю-ме­ зоны и в лаборатории и заставить с помощью магнита их двигаться по кругу. И даже при таком ускоренном движении они проживут дольше, причем столько же, сколько и при прямолинейном движении с этой скоростью. Можно было бы попытаться разрешить парадокс опытным путем: сравнить покоящийся мю-мезон с закрученным по кругу. Несомненно, окажется, что закрученный мю-мезон проживет дольше. Та­ кого опыта еще никто не ставил, но он и не нужен, потому что и так все прекрасно согласуется. Конечно, те, кто настаи­ вает на том, что каждый отдельный факт должен быть непо­ средственно проверен, этим не удовлетворятся. А мы все же уверенно беремся предсказать результат опыта, в котором Пауль кружится по замкнутому кругу.

§ 3. Преобразование скоростей

Главное отличие принципа относительности Эйнштейна от принципа относительности Ньютона заключается в том, что законы преобразований, связывающих координаты и времена в системах, движущихся относительно друг друга, различны. Правильный закон преобразований (Лоренца) таков:

.-/ . X — ut

Vl - и1!с2 ’

(16.1)

t - uxjc*

Vl - И*/С2 '

Эти уравнения отвечают сравнительно простому случаю, когда наблюдатели движутся относительно друг друга вдоль общей оси х. Конечно, мыслимы и другие направления дви­

жения, но самое общее преобразование Лоренца выглядит довольно сложно: в нем перемешаны все четыре числа. Мы и впредь будем пользоваться этой простой формулой, так как она содержит в себе все существенные черты теории относи­ тельности.

Рассмотрим теперь дальнейшие следствия этого преобра­ зования. Прежде всего интересно разрешить эти уравнения относительно х, у, z, t. Это система четырех линейных урав­

нений для четырех неизвестных, и их можно решить — вы­ разить х, у, z, t через х', у', г V . Результат этот потому ин­

тересен, что он говорит нам, как «покоящаяся» система коор*

28 8

динат выглядит с точки зрения «движущейся». Ясно, что изза относительности движения и постоянства скорости тот, кто «движется», может, если пожелает, счесть себя неподвижным, другого — движущимся. А поскольку он движется в обратную сторону, то получит то же преобразование, но с противопо­ ложным знаком у скорости. Это в точности то, что дает и прямое решение системы, так что все сходится. Вот если бы не сошлось, было бы от чего встревожиться!

x' + ut'

Теперь займемся интересным вопросом о сложении скоро­ стей в теории относительности. Напомним, что первоначально загадка состояла в том, что свет проходит 300000 км1сек во

всех системах, даже если они движутся друг относительно друга. Это — частный случай более общей задачи. Приведем пример. Пусть предмет внутри космического корабля дви­ жется вперед со скоростью 200000 км(сек\ скорость самого корабля тоже 200 000 км/сек. С какой скоростью перемещает­

ся предмет с точки зрения внешнего наблюдателя? Хочется сказать 400000 км/сек, но эта цифра уж больно подозри­

тельна: получается скорость большая, чем скорость света! Разве можно себе это представить?

Общая постановка задачи такова. Пусть скорость тела внутри корабля равна v (с точки зрения наблюдателя на ко­ рабле), а сам корабль имеет скорость и по отношению к Зем­ ле. Мы желаем знать, с какой скоростью vx это тело движется

с точки зрения земного наблюдателя. Впрочем, это тоже не самый общий случай, потому что движение происходит в на­ правлении х. Могут быть формулы, для преобразования ско­ ростей в направлении у или в любом другом; если они будут

нужны, их всегда можно вывести. Внутри корабля скорость

Остается только подсчитать, какие у тела значения х и / с точки зрения внешнего наблюдателя, если х' и t' связаны

соотношением (16.3). Подставим (16.3) в (16.2) и получим

vx,t' + ut'

(16.4)

Х Vl —и 3/ с 2

2 6 »

Но здесь х выражено через V. А скорость с точки зрения внеш* него наблюдателя — это «его» расстояние, деленное на «его»

время, а не на время другого наблюдателя\ Значит, надо и

время подсчитать с его позиций

t' + u(vx,t')jc>

(16.5)

Vl — и2!с*

А теперь разделим х на t. Квадратные корни сократятся,

останется же

Это и есть искомый закон: суммарная скорость не равна сум­ ме скоростей (это привело бы ко всяким несообразностям), но «подправлена» знаменателем 1 + uvfcK

Что же теперь будет получаться? Пусть ваша скорость внутри корабля равна половине скорости света, а скорость корабля тоже равна половине скорости света. Значит, и и равно V2C, и v равно 7гс, но в знаменателе uv равно ‘Д* так

что

Выходит по теории относительности, что Уг и !Д дают не 1, a 4Д. Небольшие скорости, конечно, можно складывать, как обычно, потому что, пока скорости по сравнению со скоростью света малы, о знаменателе (I + ии/с2) можно забыть, но на больших скоростях положение меняется.

Возьмем предельный случай. Положим, что человек на борту корабля наблюдает, как распространяется свет. Тогда v = с. Что обнаружит земной наблюдатель? Ответ будет та­

кой:

Значит, если что-то движется со скоростью света внутри ко­ рабля, то, с точки зрения стороннего наблюдателя, скорость не изменится, она по-прежнему будет равна скорости света! Это именно то, ради чего в первую очередь предназначал Эйн­ штейн свою теорию относительности.

Конечно, бывает, что движение тела не совпадает по на­ правлению с равномерным движением корабля. Например, тело движется «вверх» со скоростью ty по отношению к ко­ раблю, а корабль движется «горизонтально». Проделывая такие же манипуляции (только х надо заменить на у ), полу­

чаем

У — у '= Vy't',

290