книги / Фейнмановские лекции по физике Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Вып. 1-2 Современная наука о природе. Законы механики. Пространство. Время. Движение

меняться не будет, сколь бы сложны ни были эти силы. Если, однако, существуют силы, обусловленные частицами вне этой изолированной группы, то, как мы докажем позднее, сумма всех этих внешних сил равна скорости изменения полного

импульса всех внутренних частиц. Это очень полезная тео­ рема.

Закон сохранения полного импульса некоторого числа взаимодействующих частиц в отсутствие внешних сил можно записать в виде

где trii и Vi — просто масса и скорость частицы соответствую­

щего номера. Однако для каждой из этих частиц Второй закон Ньютона

пишется для любой составляющей полной силы и импульса в

любом заданном направлении, так что х-компонента силы, действующей на частицу, равна скорости изменения .«-компо­ ненты импульса этой частицы

Точно такие же формулы можно написать для у- и z-компо-

нент. Это означает, что уравнение (10.3) фактически пред­ ставляет собой три уравнения: по одному на каждую из компонент.

Существует еще одно интересное следствие Второго зако­ на Ньютона, кроме закона сохранения импульса. Доказатель­ ством его мы будем заниматься позднее, а сейчас я просто расскажу вам о нем. Следствие или, скорее, принцип состоит в том, что законы физики не изменяются от того, стоим ли мы на месте или движемся равномерно и прямолинейно. Пусть, например, на быстро летящем самолете ребенок иг­ рает с мячиком. Наблюдательный ребенок сразу заметит, что мячик прыгает точно так же, как и на земле. Иначе говоря, законы движения для ребенка в самолете (если только последний не меняет скорости) выглядят одинаково как на поле аэродрома, так и в полете. Этот факт известен под на­ званием принципа относительности. В том виде, в котором он

рассматривается здесь, мы будем называть его «принципом относительности Галилея» или «галилеевской относитель­ ностью», чтобы не путать его с более тщательным анализом, проделанным Эйнштейном, но об этом несколько позже.

Таким образом, из закона Ньютона мы вывели закон со­ хранения импульса, а теперь давайте посмотрим, какие спе-

182

цифические законы описывают соударение и рассеяние ча­ стиц. Однако для разнообразия, а также чтобы продемонстри­ ровать типичные рассуждения, которыми мы часто пользуемся в физике в других случаях, когда, скажем, не известны законы Ньютона и должен быть принят иной метод рассмотрения, да­ вайте обсудим законы рассеяния и соударения с совершенно другой точки зрения. Мы будем исходить из принципа относи­ тельности Галилея и в конце рассуждений придем к закону сохранения импульса.

Итак, начнем с утверждения, что законы природы не из­ меняются от того,что мы движемся прямолинейное некоторой скоростью или стоим на месте. Однако прежде чем обсуждать процессы, в которых два тела сталкиваются и слипаются или разлетаются в стороны, давайте рассмотрим случай, когда эти два тела связаны между собой пружинкой или чем-то в этом роде, а затем вдруг освобождаются и разлетаются под действием этой пружинки или, быть может, небольшого взры­ ва в разные стороны. Кроме того, рассмотрим движение

.только в одном направлении. Предположим сперва, что эти два тела совершенно одинаковы и расположены симметрично.

.Когда между ними произойдет взрыв, одно из них полетит направо с некоторой скоростью v. Тогда естественно, что дру­ гое полетит налево с той же самой скоростью и, поскольку

оба тела подобны и нет никаких причин считать, что левая сторона окажется предпочтительнее правой. Итак, с телами должно происходить нечто симметричное. Этот пример пока­ зывает, насколько полезны рассуждения такого рода в раз­ личных задачах. Но они не всегда столь ясны, когда затума­ нены формулами.

Таким образом, первый результат нашего эксперимента — одинаковые тела имеют одинаковую скорость. Но предполо­ жим теперь, что тела сделаны из различного материала, ска­ жем один из меди, а другой из алюминия, но массы их равны.

Мы будем предполагать, что если проделать наш опыт с дву­ мя равными массами, то несмотря на то, что тела не одина­ ковы, скорости их тем не менее будут равны. В этом месте мне могут возразить: «Но ведь вы можете сделать и обратное. Вам незачем было это предполагать. Вы можете определить

массы как равные, если они в нашем эксперименте приобре­ тают одинаковую скорость». Давайте же примем это предло­ жение и устроим небольшой взрыв между кусочком меди и очень большим куском алюминия, который настолько тяжел, что едва может быть сдвинут с места, тогда как медь стреми­ тельно отлетает. Это говорит о том, что алюминия слишком много. Уменьшим его количество и оставим лишь совсем ма­ ленький кусочек. Если устроить взрыв снова, то отлетит уже алюминий, а медь почти не сдвинется. Значит, сейчас

183

слишком мало алюминия. Очевидно, что должно существо­ вать какое-то промежуточное количество, которое можно подбирать, пока скорости разлета не станут равными. Теперь мы можем сказать, что раз равны скорости этих кусков, то массы их мы тоже будем считать равными (т. е. фактически мы переворачиваем сделанное ранее утверждение, что равные массы будут иметь одинаковую скорость). Самое интересное здесь, что физический закон превращается просто в определе­ ние. Но тем не менее какой-то физический закон здесь все же есть, и если мы примем такое определение равенства масс, то этот закон можно найти следующим образом.

Пусть из предыдущего эксперимента нам известно, что два куска вещества А и В (медь и алюминий) имеют равные мас­

сы. Возьмем теперь третье тело, скажем кусок золота, и вы­ равняем его массу (точно так же, как это делалось раньше) с массой меди. Если теперь в нашем эксперименте заменить медь золотом, то логически у нас нет никаких оснований ут­ верждать, что эти массы (алюминия и золота) равны. Однако опыт показывает, что такое равенство имеет место. Таким об­

разом, опытным путем мы обнаружили новый закон: если две массы порознь равны третьей (т. е. в нашем опыте они разле­ таются с равными скоростями), то они равны между собой. (Этот закон вовсе не следует из подобного утверждения о ве­ личинах в математике', там оно просто постулируется). Ви­

дите, как легко по неосторожности сделать безосновательное заключение. Утверждение, что массы равны, когда равны скорости, — это еще не определение; ведь при этом мы пред­

полагаем справедливость математических законов равенства, что в свою очередь приводит к предсказанию результатов не­ которых экспериментов.

Возьмем еще один пример. Пусть при некоторой силе взрыва установлено, что масса А равна массе В. А что прои­

зойдет, если увеличить силу взрыва? Будут ли равны скорости разлета в этом случае? Логика здесь снова бессильна, но опыт говорит, что это действительно так. Снова мы получаем

закон, который утверждает: если из равенства скоростей двух тел делается заключение о равенстве их масс, то это равен­ ство не зависит от величины скорости. Из этих примеров вид­ но, что то, что сначала казалось просто определением, в дей­ ствительности предполагает справедливость каких-то законов природы.

Итак, в дальнейших рассуждениях мы будем считать, что равные массы разлетаются в противоположные стороны с рав­ ными скоростями, если между ними происходит взрыв. А что произойдет, если мы обратим задачу, т. е. если два одинако­ вых тела, летящих навстречу друг другу с равными скоростя­ ми, сталкиваются и слипаются вместе? Как будут они дви­

184

гаться? Здесь опять на помощь приходят соображения сим­ метрии (т. е. что между левой .и правой. сторонами нет никакого различия), из которых следует, что образовавшееся тело должно стоять на месте. Мы будем также предполагать, что два тела с равной массой, летящих навстречу друг другу, даже если они сделаны из различного материала, после столк­ новения и слипания остановятся.

§ 3. Импульс все-таки сохраняется!

Можно экспериментально проверить наши предположения о том, что, во-первых, два покоящихся тела с равной массой, разорванные взрывом, полетят в разные стороны с равной скоростью и, во-вторых, что два тела, обладающие равными скоростями и массами, при соударении и слипании останав­ ливаются. Такую проверку можно сделать с помощью заме­

который очень беспокоил Галилея. Он не мог поставить эксперимента со скользящими телами, ибо они не скользили свободно, но с помощью чудесного желоба мы можем теперь избавиться от трения. Наши тела будут лететь без помех, а скорость их, согласно предвидению Галилея, будет оста­ ваться постоянной. Это достигается тем, что тело поддержи­ вается воздушной подушкой, а поскольку трение о воздух очень мало, то тело планирует практически с постоянной ско­ ростью, если на него не действуют никакие силы. Возьмем

и поместим между ними небольшой взрыватель в закрытом цилиндре (фиг. 10.2). Всю эту систему устанавливаем в центре желоба и электрической искрой поджигаем взрыватель. Что же произойдет? Если массы брусков одинаковы, го они, раз­ летевшись в стороны, одновременно достигнут концов желоба. Там они отскакивают от ограничителей, сталкиваются и сли­ паются в центре, точно в том же месте, откуда разлетелись (фиг. 10.3). Это интересный опыт. И в действительности про­ исходит все так, как мы рассказали.

Фиг. 101, Воздушный желоб {/вид с торца).

185

а другая стоит на месте. Затем первая ударяет по второй и они слипаются. Что произойдет дальше? Образуется одно тело с массой 2т, которое как-то будет двигаться. Но с какой

скоростью? Вот в чем вопрос. Чтобы ответить на него, пред­ положим, что мы едем вдоль желоба на автомобиле. Все за­ коны физики должны при этом выглядеть точно так же, как и прежде, когда мы стояли на месте. Мы начали с того, что если столкнуть два тела с равными массами и одинаковыми скоростями v, то после слипания они останавливаются. А те­

перь представьте, что в это время мы катим на автомобиле со скоростью —V. Какую же картину мы увидим? Ясно, что

одно из тел, поскольку оно все время летит рядом с автомо­ билем, будет казаться нам неподвижным. Второе же, которое движется навстречу со скоростью v, покажется нам несу­ щимся с удвоенной скоростью 2 v (фиг. 10.4). Наконец, обра­

зовавшееся после соударения и слипания тело будет казаться нам летящим со скоростью v. Отсюда мы делаем вывод, что

если тело, летящее со скоростью 2и, ударяется о покоящееся тело той же массы и прилипает к нему, то образовавшееся тело будет двигаться со скоростью о, или (что математически то же самое) тело со скоростью v, ударяясь о покоящееся

тело той же массы и прилипая к нему, образует тело, движу­ щееся со скоростью и/2. Заметьте, что если умножить массы тел на их скорости и сложить их, то получим одинаковый результат как до столкновения (т у + О), так и после (2m*i>/2). Вот как обстоит дело, если тело, обладающее ско­ ростью v, столкнется с телом, находящимся в покое.

18б

1 ш I тп 1 после соударения Г m | m j

Точно таким же образом можно определить, что произой­ дет, когда сталкиваются два одинаковых тела, каждое из которых движется с произвольной скоростью.

Пусть одно тело летит со скоростью vu а другое — со ско­ ростью v2 в том же направлении (i>i > v2). Какова будет их

скорость после соударения? Давайте снова сядем в машину и поедем, скажем, со скоростью v2. Тогда одно из тел будет

казаться нам стоящим на месте, а второе — налетающим на него со скоростью V\ — v2. Эта ситуация уже знакома нам,

и мы знаем, что после соударения скорость нового тела по отношению к машине будет равна '/2(^1 — Щ)- Что же ка­

сается действительной скорости относительно земли, то ее

До сих пор мы рассматривали движение в одном измерении, однако на основе его становится ясным многое из того, что будет происходить в более сложных случаях соударения: нужно только пустить автомобиль не вдоль направления дви­ жения тел, а под каким-то углом. Принцип остается тем же самым, хотя детали несколько усложняются.

Чтобы экспериментально проверить, действительно ли тело, летящее со скоростью v после столкновения с покоя­

щимся телом той же массы, образует новое тело, летящее со скоростью t'/2, проделаем на нашей замечательной установке

187

следующий опыт. Поместим в желоб три тела с одинаковыми массами, два из которых соединены цилиндром со взрывате­ лем, а третье находится вблизи одного из них, хотя и не­ сколько отделено от него. Оно снабжено клейким амортиза­ тором, так что прилипает к тому телу, которое ударяет его. В первое мгновение после взрыва мы имеем два объекта с массами т , движущимися со скоростью v каждое. В после­

дующее мгновение одно из тел сталкивается с третьим и образует новое тело с массой 2 т, которое, как мы полагаем, должно двигаться со скоростью v/2. Но как проверить, что скорость его действительно v/2? Для этого мы вначале уста­

новим тела таким образом, чтобы расстояния до концов желоба относились как 2:1, так что первое тело, которое продолжает двигаться со скоростью v, должно пролететь за

тот же промежуток времени вдвое большее расстояние, чем скрепившиеся два других тела (с учетом, конечно, того ма­ лого расстояния Д, которое второе тело прошло до столкно­ вения с третьим). Если мы правы, то массы т и 2т должны

достичь концов желоба одновременно; так оно и происходит на самом деле (фиг. 10.6).

Следующая проблема, которую мы должны решить: что получится, если тела имеют разные массы. Давайте возьмем массы т и 2 т и устроим между ними взрыв. Что произойдет

тогда? С какой скоростью полетит масса 2 т , если масса т летит со скоростью v? Фактически нам нужно повторить

только что проделанный эксперимент, но с нулевым зазором между вторым и третьим телом. Разумеется, что при этом

188

с третьим, масса которого тоже равна т. Более того, отра­

зившись от концов, каждое из этих тел будет лететь с почти

Перейдем теперь к следующему вопросу. Что произойдет, если тело с массой т и скоростью v столкнется с покоящимся

телом с массой 2т? Воспользовавшись принципом относи­ тельности Галилея, можно легко ответить на этот вопрос. Попросту говоря, нам нужно опять садиться в машину, иду­ щую со скоростью —v/2 (фиг. 10.7), и наблюдать за только

что описанным процессом. Скорости, которые мы при этом увидим, будут равны

После соударения масса 3т покажется нам движущейся со скоростью v/2. Таким образом, мы получили, что отноше­

ние скоростей до и после соударения равно 3:1, т. е. образо­ вавшееся тело с массой 3т будет двигаться в три раза мед­

ленней. И в этом случае снова выполняется общее правило! сумма произведений массы на скорость остается той же как до, так и после соударения: mo-j-0 равно Зт-о/З. Вы видите, как постепенно шаг за шагом устанавливается закон сохра­ нения импульса.

Итак, мы рассмотрели столкновение одного тела с двумя. Используя те же рассуждения, можно предсказать резуль­

В каждом из этих случаев выполняется одно и то же пра­ вило: масса первого тела, умноженная на его скорость, плюс масса второго тела, умноженная на его скорость, равны про­

ш

изведению полной массы на скорость ее движения. Все это — примеры сохранения импульса. Итак, начав с простого слу­ чая симметричных равных масс, мы установили закон сохра­ нения для более сложных случаев. В сущности это можно сделать для любого рационального отношения масс, а по­ скольку любое число может быть со сколь угодно большой точностью заменено рациональным, то закон сохранения импульса справедлив для любых масс.

§ 4. Импульс и энергия

Во всех предыдущих примерах мы рассматривали только случаи, когда два тела сталкиваются и слипаются или с са­ мого начала были скреплены вместе, а потом разделяются взрывом. Однако существует множество примеров соударе­ ний, в которых тела не сцепляются, как, например, столкно­

вение двух тел равной массы и одинаковой скорости, которые затем разлетаются в разные стороны. На какой-то краткий миг они соприкасаются и сжимаются. В момент наибольшего сжатия они останавливаются и их кинетическая энергия пол­ ностью переходит в энергию упругого сжатия (они как две сжатые пружины). Эта энергия определяется из кинетической энергии, которой обладали тела до столкновения и которая равна нулю в момент их остановки. Однако кинетическая энергия теряется только на одно мгновение. Сжатое состоя­ ние, в котором находятся наши тела, — это все равно что заряд в предыдущих примерах, который при взрыве выде­ ляет энергию. В следующее мгновение происходит нечто по­ добное взрыву — тела разжимаются, отталкиваются друг от друга и разлетаются в стороны. Эта часть процесса вам тоже хорошо знакома: тела полетят в разные стороны с одинако­ выми скоростями. Однако скорости отдачи, вообще говоря, будут меньше тех' начальных скоростей,( при которых они столкнулись, ибо для взрыва используется не вся энергия, а только какая-то ее часть, но это уже зависит от свойств материала, из которого сделаны тела. Если это мягкий мате­ риал, то кинетическая энергия почти не выделяется, но если это что-то более упругое, то тела более охотно отскакивают друг от друга. Неиспользованный остаток энергии превра­ щается в тепло и вибрацию, тела нагреваются и дрожат; впрочем, энергия вибрации тоже вскоре превращается в тепло. В принципе можно сделать тела из столь упругого материала, что на тепло и вибрацию не будет расходоваться никакой энергии, а скорости разлета в этом случае будут практически равны начальным. Такое соударение мы назы­ ваем упругим,

290