А.Н.Шерстнев - Математический анализ
..pdf
(SM. 24.2(G)). pUSTX n | PROIZWOLXNAQ POSLEDOWATELXNOSTX TAKAQ, ^TO
n ! ( n 2 F ) I cn 2 E TAKOWY, ^TO f (cn ) = n . pOKAVEM, ^TO cn ! c. eSLI cn NE SHODITSQ K c, TO SU]ESTWUET PODPOSLEDOWATELXNOSTX (cnk ), ^TO cnk ! c0 6= c; f (c0) 6= f(c) (IZ STROGOJ MONOTONNOSTI f ). s DRUGOJ
STORONY, f (cnk ) = nk ! = f(c); f (cnk ) ! f (c0), ^TO NEWOZMOVNO. pO\TOMU g( n )= g(f (cn )) = cn !c = g(f (c)) =g( ). uTWERVDENIE DOKAZA-
NO (SM. POD^ERKNUTYJ• TEKST). >
p R I M E R Y. 2. fUNKCIQ f(x) = arcsin x (jxj 1) NEPRERYWNA. nEPRERYWNY I DRUGIE OBRATNYE TRIGONOMETRI^ESKIE FUNKCII.
3. fUNKCIQ f(x) = xn (x 0) DLQ n 2 N NEPRERYWNA I STROGO WOZRASTAET. pO\TOMU OBRATNAQ FUNKCIQ g : [0; +1) ! R NEPRERYWNA I STROGO WOZRASTAET. iTAK, DLQ KAVDOGO a 0 SU]ESTWUET EDINSTWENNOE ^ISLO b 0 TAKOE, ^TO bn = a. |TO ^ISLO OBOZNA^AETSQ a1=n ILI pn a I NAZYWAETSQ ARIFMETI^ESKIM KORNEM n-OJ STEPENI IZ ^ISLA a. tAKIM
OBRAZOM, DOKAZANY SU]ESTWOWANIE I NEPRERYWNOSTX STEPENNOJ FUNKCII g(x) = x1=n (x 0) DLQ n 2 N.
u P R A V N E N I Q. 4. dOKAZATX TEOREMU P. 1 DLQ SLU^AEW E = (a; b); [a; b).
5. eSLI E | NE PROMEVUTOK, TO TEOREMA P. 1 NEWERNA. pOSTROJTE SOOTWETSTWU@]IE PRIMERY.
x27. wAVNEJ[IE \LEMENTARNYE FUNKCII
1. pOKAZATELXNAQ FUNKCIQ. pUSTX a > 0: pOKAZATELXNAQ FUNKCIQ y = ax (x 2 R); a0 1, HARAKTERIZUETSQ SWOJSTWAMI:
(A) ax+y = ax ay,
(B) ONA STROGO WOZRASTAET (UBYWAET) PRI a > 1 (PRI a < 1), (W) ONA NEPRERYWNA,
(G) ap=q = (a1=q)p, GDE p 2 Z; q 2 N I a1=q OPREDELENO W 26.3.
dLQ POKAZATELXNOJ FUNKCII S OSNOWANIEM e MY BUDEM INOGDA POLXZO- WATXSQ OBOZNA^ENIEM ex expfxg.
dOKAVEM SU]ESTWOWANIE POKAZATELXNOJ FUNKCII. w SILU 26.3 OPREDE- LENA FUNKCIQ f (p) = ap (p 2 Q). fUNKCIQ f OBLADAET SWOJSTWAMI (A)
51
I (B) (!!). pOKAVEM, ^TO f RAWNOMERNO NEPRERYWNA NA KAVDOM OTREZKE
, |
|
q |
|
\ p |
|
|
p q p |
|
|
N q p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 , |
|
|
\ |
|
||||||
[ |
|
N; N] |
|
Q. pUSTX NAPRIMER, a > 1: eSLI p < q (p; q |
[ |
|
|
N; N ] |
|
Q), TO |
||||||||||||||||||||||
0 |
< a |
, |
a |
= |
a (a , |
, |
1) < a (a , |
, |
1). pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO I |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
^TO |
|
|
1=n |
|
|
|
|
N |
|
SM |
|
|
|
|
tOGDA |
|
|
||||||||
n0 2 |
N TAKOWO |
, |
n > n0 ) ja |
|
, 1j |
< "a, |
|
|
. 10.9). |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
8p; q 2 [,N; N] \ Q (jp , qj |
|
1 |
|
) jap , aqj < "); |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
^TO I TREBOWALOSX. nO KAVDAQ TO^KA x |
|
R QWLQETSQ PREDELXNOJ DLQ Q, I |
||||||||||||||||||||||||||||||
W SILU |
x |
25 OPREDELENA NEPRERYWNAQ FUNKCIQ a |
|
|
|
|
lim |
|
a (x |
2 |
R). |TA |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p!x;p2Q |
|
|
|
|
|||||||
FUNKCIQ TAKVE OBLADAET SWOJSTWAMI (A) I (B) (!!). |
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2. lOGARIFMI^ESKAQ FUNKCIQ. fUNKCIQ, OBRATNAQ K POKAZATELXNOJ |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= ax |
|
|
2 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
|
(x |
|
|
R); a = |
1, NAZYWAETSQ LOGARIFMI^ESKOJ I OBOZNA^AETSQ |
||||||||||||||||||||||||||
y = loga x (x > |
0) ; PRI a = e PI[UT y = ln x. iME@T MESTO BEZ TRU- |
DA PROWERQEMYE TOVDESTWA: |
|
aloga x |
|
|
|
|
= |
|
|
|
x (x > 0); |
|
|
log |
a |
ax |
= |
x (x |
2 |
R); |
||||||||
loga(xy) = |
|
|
|
loga x + loga y (x; y > 0); |
|
y |
) |
= |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
loga (x |
y loga x (x > 0): |
||||||||||||||||||||||
3. sTEPENNAQ FUNKCIQ. |
|TO FUNKCIQ y = xb (x > 0), GDE PO OPRE- |
|||||||||||||||||||||||||
DELENI@ S^ITAETSQ, ^TO xb |
eb ln x (x > 0). tAKIM OBRAZOM, STEPENNAQ |
|||||||||||||||||||||||||
FUNKCIQ NEPRERYWNA I OBLADAET SWOJSTWAMI: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
(x |
|
y)b = xbyb; |
lim |
|
xb = 0 (b > 0); |
lim |
xb = + (b > 0): |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!0+ |
|
x!1+ |
|
1 |
|
|
|
||||||
4. gIPERBOLI^ESKIE FUNKCII. |TO FUNKCII, OPREDELENNYE• |
RAWENST- |
|||||||||||||||||||||||||
WAMI: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh x = |
|
1 |
|
x |
, |
e, |
x |
) (x |
2 |
R) | SINUS GIPERBOLI^ESKIJ, |
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
(e |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ch x = |
2 |
|
(e |
|
|
+ e, |
|
) (x 2 R) | KOSINUS GIPERBOLI^ESKIJ, |
|
|
|
|||||||||||||||
th x = |
|
|
sh x |
|
(x 2 R) | TANGENS GIPERBOLI^ESKIJ, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
ch x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
cth x = |
ch x |
(x = 0) | KOTANGENS GIPERBOLI^ESKIJ. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
sh x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5. s POMO]X@ WWED•ENNYH WY[E FUNKCIJ MOVET BYTX OPREDEL•EN KLASS |
||||||||||||||||||||||||||
\LEMENTARNYH FUNKCIJ, SOSTOQ]IJ IZ POKAZATELXNOJ, LOGARIFMI^ESKOJ, |
||||||||||||||||||||||||||
TRIGONOMETRI^ESKIH I OBRATNYH TRIGONOMETRI^ESKIH FUNKCIJ, A TAKVE FUNKCIJ, POLU^A@]IHSQ IZ PERE^ISLENNYH WY[E S POMO]X@ ARIFMETI- ^ESKIH OPERACIJ I OPERACII SUPERPOZICII, PRIMENENNYH• KONE^NOE ^ISLO RAZ. iZ 22.5, 22.6 SLEDUET, ^TO L@BAQ \LEMENTARNAQ FUNKCIQ NEPRERYWNA NA SWOEJ OBLASTI OPREDELENIQ.
52
differencirowanie
x28. zADA^I, PRIWODQ]IE K OPREDELENI@ PROIZWODNOJ
1. zADA^A OPREDELENIQ KASATELXNOJ K KRIWOJ. rASSMOTRIM GRAFIK FUNKCII y = f(x) (x 2 E). zAFIKSIRUEM TO^KU x0 I BUDEM PROWODITX ^EREZ TO^KU S KOORDINATAMI (x0; f (x0 )) PRQMYE S RAZLI^NYMI UGLOWYMI KO\FFICIENTAMI k = tg . mOVNO S^ITATX, ^TO W TO^KAH, BLIZKIH K x0, \TI PRQMYE APPROKSIMIRU@T NA[U KRIWU@. sOOTWETSTWU@]AQ POGRE[- NOSTX APPROKSIMACII W TO^KE x0 + h RAWNA (rIS. 8)
r(h) = f (x0 + h) , [f(x0) + kh]:
eSLI f NEPRERYWNA W x0 , TO r(h) = o(1) (h ! 0), TO ESTX POGRE[NOSTX STREMITSQ K NUL@ WMESTE S h . eSLI SREDI PRQMYH ESTX TAKAQ, DLQ KOTOROJ POGRE[NOSTX APPROKSIMACII IMEET WYS[IJ, PO SRAWNENI@ S h, PORQDOK MALOSTI, TO ESTX r(h) = o(h) (h ! 0), TO TAKAQ PRQMAQ EDINSTWENNA. oNA NAZYWAETSQ KASATELXNOJ K KRIWOJ y = f (x) W TO^KE x0.
uSLOWIE SU]ESTWOWANIQ KASATELXNOJ W TO^KE x0 IMEET WID f(x0 + h) , |
||||||||||||||||||||||||||||
[f(x0) + k0h] = o(h) (h ! 0); |
OTS@DA UGLOWOJ KO\FFICIENT KASATELXNOJ |
|||||||||||||||||||||||||||
k0 = lim |
1 |
|
[f |
(x0 +h) |
, |
f (x0)]. |
iZ EDINSTWENNOSTI PREDELA SM |
|
TEPERX |
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( . 19.1) |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
h!0 h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
SLEDUET EDINSTWENNOSTX KASATELXNOJ, ESLI ONA SU]ESTWUET. |
> |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
iTAK, ISKOMOE URAWNENIE KASATELXNOJ |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
h!0 h |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
f(x0) = k0(x |
|
x0); k0 = lim |
1 |
[f (x0 |
+ h) |
|
f (x0)]: |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2. mGNOWENNAQ SKOROSTX. pUSTX s(t) | PUTX, PROJDENNYJ MATERIALX- |
||||||||||||||||||||||||||
NOJ |
|
TO^KOJ |
|
ZA |
|
WREMQ t. |
|
sREDNQQ |
SKOROSTX |
NA |
U^ASTKE |
WREMENI |
||||||||||||||||
[t0; t0 + h] ([t0 + h; t0], ESLI h < 0) ESTX vcp. = |
1 |
[s(t0 + h) , s(t0)]. mGNO- |
||||||||||||||||||||||||||
h |
||||||||||||||||||||||||||||
WENNOJ SKOROSTX@ |
|
W MOMENT WREMENI |
t0) |
NAZYWAETSQ WELI^INA |
v(t0) = |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
[s(t0 + h) |
, |
s |
(t0)]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
h |
! |
0 |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x29. oPREDELENIE PROIZWODNOJ
1.fUNKCIQ f : E ! R(E R) NAZYWAETSQ DIFFERENCIRUEMOJ W TO^KE x 2 E , ESLI W E SODERVITSQ NEKOTORAQ OKRESTNOSTX TO^KI x I
( ) |
f(x + h) , f (x) = Ah + o(h) (h ! 0): |
53
~ISLO A, KOTOROE OBOZNA^AETSQ TAKVE f0(x), ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ RA- WENSTWOMOBRAZOM, ( ) I NAZYWAETSQ PROIZWODNOJ FUNKCII f W TO^KE x. tAKIM
2.z A M E ^ A N I E. eSLI f DIFFERENCIRUEMA W TO^KE x, TO ONA NEPRERYWNA W x. |TO SLEDUET IZ ( ) S U^ETOM• 22.2.
3.eSLI f DIFFERENCIRUEMA W TO^KE x, TO OPREDELENO OTOBRAVENIE Lx : R ! R; Lx(h) = f0(x)h (h 2 R), SWQZANNOE S TO^KOJ x I ZADANNOE NA SME]ENIQH h. |TO OTOBRAVENIE (ONO LINEJNO PO h) NAZYWAETSQ PROIZWOD-
NYM (KASATELXNYM) OTOBRAVENIEM K f W TO^KE x. zNA^ENIE PROIZWODNO-
GO OTOBRAVENIQ NA SME]ENII h NAZYWAETSQ DIFFERENCIALOM FUNKCII f W TO^KE x : Lx(h) = f0 (x)h. sME]ENIE h TRADICIONNO OBOZNA^A@T SIMWOLOM dx (NUVNO POMNITX, ^TO dx NE ZAWISIT OT x), A DIFFERENCIAL FUNKCII f W TO^KE x OBOZNA^A@T df(x). iTAK, df (x) = f0(x)dx.
4. eSLI f : E ! R DIFFERENCIRUEMA W KAVDOJ TO^KE MNOVESTWA E (\TO ZNA^IT, W ^ASTNOSTI, ^TO E | OTKRYTOE MNOVESTWO), TO OPREDELENA FUNKCIQ x ! f0(x) (x 2 E ), KOTORAQ NAZYWAETSQ PROIZWODNOJ FUNKCII f
I OBOZNA^AETSQ f0 ILI dxdf .
5. eSLI FUNKCIQ f DIFFERENCIRUEMA W TO^KE x0, TO URAWNENIE KASA- TELXNOJ K GRAFIKU FUNKCII y = f(x) W TO^KE x0 ZADAETSQ• URAWNENIEM
(SM. 28.1)
y , f(x0) = f0(x0)(x , x0):
nA rIS. 9 WIDEN GEOMETRI^ESKIJ SMYSL DIFFERENCIALA FUNKCII f :
df (x0) = f0(x0)dx = AC, f (x0 + dx) |
, f(x0 ) = df (x0) + o(dx) = AB. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
p R I M E R Y. 6. f(x) = C (x 2 R); f0(x) = 0 (x 2 R). |
||||||||||||||||||||||||||||
|
7. |
(sin x)0 |
= cos x (x 2 R). |
|
0 |
h |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
h |
|
0 h |
|
|
, |
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
lim |
1 |
[sin(x + h) |
|
|
sin x] = lim |
1 |
|
|
2 sin |
h |
|
|
cos |
2x + h |
= cos x: |
|
> |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
! |
(cos x)0 |
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
8. |
= , sin x (x 2 R). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
9. |
(ax)0 = ax ln a (x |
2 R). w ^ASTNOSTI, (ex)0 = ex (x 2 R). |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ax+h |
|
|
ax = ax(ah |
|
|
1) = ax ln a |
|
|
h (h |
|
|
|
0) (SM. 21.8). |
|
> |
|||||||||||||
54
10. pONQTIE DIFFERENCIALA ^ASTO ISPOLXZUETSQ W PRIBLIVENNYH• |
WY- |
||||||
^ISLENIQH. \pO WSEMU ZEMNOMU [ARU WYPALO 1 MM OSADKOW. oCENITX WY- |
|||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
3 |
PAW[EE KOLI^ESTWO WODY." oB_EM• [ARA RADIUSA x RAWEN v(x) = 3 |
x , |
||||||
PRIRA]ENIE OB_EMA• |
|
|
|
|
|
||
v(x + dx) , v(x) dv(x) = v0(x)dx = 4 x2dx = |
(2 x)2 |
|
|||||
|
dx |
|
|||||
(MY ISPOLXZOWALI FORMULU DLQ PROIZWODNOJ OT STEPENNOJ FUNKCII (SM. |
|||||||
NIVE 30.5)). w NA[EM SLU^AE dx = 10,6 KM., 2 x 4 |
104 |
KM. pO\TOMU |
|||||
v(x + dx) , v(x) |
16 |
102 KM3 510 KM3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11. ~ASTO PRIHODITSQ RASSMATRIWATX WIDOIZMENENIQ PONQTIQ PROIZ- WODNOJ. rASSMOTRIM ASIMPTOTI^ESKIE RAWENSTWA:
f(x + h) , f (x) |
= |
A1h + o(h) (h ! 0+); |
f(x + h) , f (x) |
= |
A2h + o(h) (h ! 0,): |
eSLI IMEET MESTO 1-E (SOOTWETSTWENNO 2-E) RAWENSTWO, TO GOWORQT, ^TO FUNKCIQ f OBLADAET PRAWOJ (SOOTWETSTWENNO LEWOJ) PROIZWODNOJ W TO^KE x. oBOZNA^ENIQ: A1 = f0(x+); A2 = f0(x,).
12.z A M E ^ A N I E. fUNKCIQ f DIFFERENCIRUEMA W TO^KE x TTOGDA f0 (x+) = f0(x,).
13.u P R A V N E N I E. pUSTX f (x) = jxj (x 2 R). nAJTI f0 (x) PRI x 6= 0; NAJTI f0(0+); f0(0,).
x30. tEHNIKA DIFFERENCIROWANIQ
1. pUSTX f; g DIFFERENCIRUEMY W TO^KE x. tOGDA W x DIFFERENCIRU-
EMY f |
|
g; f |
|
g; f=g |
|
(ESLI g(x) = 0), PRI^•EM |
||
|
|
|
6 |
|||||
(A) (f g)0 (x) = f0(x) g0(x); d(f g)(x) = df(x) dg(x), |
||||||||
(B) (f g)0(x) = f0(x)g(x) + f (x)g0 (x), |
||||||||
|
|
d(f g)(x) = g(x)df (x) + f (x)dg(x), |
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
(W) |
|
(f=g)0(x) = |
g2(x)[f0(x)g(x) , g0(x)f(x)], |
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
d(f=g)(x) = |
|
g2(x)[g(x)df (x) , f(x)dg(x)]. |
||||
55
fORMULY DLQ DIFFERENCIALOW QWLQ@TSQ O^EWIDNYM SLEDSTWIEM SOOT- WETSTWU@]IH FORMUL DLQ PROIZWODNYH. fORMULY DLQ PROIZWODNYH SLE- DU@T IZ WY^ISLENIJ:
(f + g)(x + h)
(f g)0(x)
(1=g)0 (x)
, |
(f + g)(x) = [f (x + h) , f(x)] + [g(x + h) , g(x)] |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
= f0(x)h + o(h) + g0(x)h + o(h) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= [f0(x) + g0 (x)]h + o(h) (h ! 0); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= |
lim |
|
1 |
[f (x + h)g(x + h) |
, |
f (x)g(x)] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
h!0 hf (x + h) f |
(x) |
|
|
|
|
|
g(x + h) g |
(x) |
|
||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
h , |
|
|
|
|
g(x) + f(x + h) |
|
|
|
|
h , |
|
|
|
|
|||||||||
|
h!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= f0(x)g(x) + f(x)g0(x); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= |
lim |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
g(x + h) |
, g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
h!0 h |
|
|
|
|
|
|
|
g0(x) |
|
|
|
|
|||||||||||||||
= |
lim |
|
|
|
|
1 |
[g(x + h) |
|
|
g(x)] |
|
1 |
|
|
|
= |
|
: |
|
> |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
, |
g(x)g(x + h) |
,g2 (x) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
h!0 |
,h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2.[sLEDSTWIE]. (cf )0(x) = cf0 (x); c = const.
3.[dIFFERENCIROWANIE SUPERPOZICII FUNKCIJ]. pUSTX f : E ! R; g : F ! R; f(E) F; f DIFFERENCIRUEMA W x 2 E, A g DIFFERENCIRUEMA W f (x). tOGDA g f DIFFERENCIRUEMA W x, PRI^•EM
(g f)0 (x) = g0(f (x))f0(x); d(g f )(x) = g0 (f(x))df (x):
dEJSTWITELXNO, |
|
g(f(x + h)) , g(f (x)) = |
g(f (x) + [f (x + h) , f(x)]) , g(f (x)) |
= |
g0(f (x))[f (x + h) , f (x)] + o(f (x + h) , f(x)): |
tAK KAK o(f(x + h) , f (x)) = o(h) (h ! 0), IMEEM OTS@DA
g(f (x + h)) , g(f (x)) = g0(f (x))f0(x)h + o(h) (h ! 0): >
4. [dIFFERENCIROWANIE OBRATNOJ FUNKCII]. pUSTX f I g | WZAIMNO OBRATNYE FUNKCII. pUSTX g NEPRERYWNA W TO^KE x, A f DIFFERENCIRUE-
MA W TO^KE g(x), PRI^•EM f0 |
6 |
|
|
(g(x)) = 0. tOGDA g DIFFERENCIRUEMA W TO^KE |
|||
x I |
|
1 |
|
|
g0 (x) = |
: |
|
|
|
||
|
f0(g(x)) |
||
56
tAK KAK g NEPRERYWNA W x, WELI^INA g(x + h) , g(x) MALA, ESLI MALO SME]ENIE h. pO\TOMU SPRAWEDLIWA WYKLADKA
h= x + h , x = f (g(x + h)) , f(g(x))
=f (g(x) + g(x + h) , g(x)) , f(g(x))
=f0 (g(x))(g(x + h) , g(x)) + o(g(x + h) , g(x))
=(g(x + h) , g(x))(f0(g(x)) + o(1)) (h ! 0);
sLEDOWATELXNO,
lim |
1 |
|
[g(x + h) |
, |
g(x)] = lim[f0(g(x)) + o(1)],1 |
= |
1 |
|
: |
|
> |
|
|
|
|||||||||
|
f0 (g(x)) |
||||||||||
|
|
|
|||||||||
h!0 h |
|
h!0 |
|
|
|
|
|||||
5. [tABLICA PROIZWODNYH \LEMENTARNYH FUNKCIJ].~ASTX PRIWEDENNYH• NIVE FORMUL POLU^ENA RANEE. oSTALXNYE POLU^A@TSQ S POMO]X@ DOKA- ZANNYH WY[E UTWERVDENIJ (PP. 1 { 4). dADIM NESKOLXKO ILL@STRACIJ.
pOLOVIM f (x) = ax (x |
2 |
R); g(x) = loga x (x > 0). sOGLASNO P. 4 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(log x)0 |
= (aloga x |
|
ln a),1 = |
1 |
(x > 0): |
|||||||
|
||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ln a |
||
j |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
jxj |
|
6 |
|||||
w SILU P. 3 I 29.13 (ln |
x |
)0 |
= |
1 |
|
|
sgn x = 1=x (x = 0). |
|||||
|
|
|
||||||||||
pOLOVIM f (x) = sin x (jxj < 2 ); g(x) = arcsin x (jxj < 1). tOGDA (P. 4)
(arcsinx)0 = |
1 |
|
1 |
|
|||
|
|
= |
p |
|
(jxj < 1): |
||
cos(arcsin x) |
|||||||
1 , x2 |
|||||||
fORMULA (xb )0 = bxb,1 |
(x 2 R) LEGKO POLU^AETSQ PO INDUKCII DLQ |
||||||
b = 0; 1; 2; : : : . eSLI b = ,1;,2; : : :, TO |
|
|
|
|
|||
(xb )0 = (1=x,b)0 = ,(x,b)0=x,2b = bxb,1 (x 6= 0):
eSLI, NAKONEC, b PROIZWOLXNO, TO FORMULA (xb)0 = bxb,1 (x > 0) ESTX SLEDSTWIE PREDSTAWLENIQ xb = eb ln x .
6. z A M E ^ A N I E. dLQ WY^ISLENIQ PROIZWODNYH FUNKCIJ WI-
DA f(x) = u(x)v(x) (u(x) > 0) SLEDUET WOSPOLXZOWATXSQ PREDSTAWLENIEM
f (x) = ev(x) ln u(x).
57
(sin x)0 |
= cos x (x 2 R) |
|
(ax)0 |
= ax ln a (x |
2 R) |
|||||||||||||||||||||||||
(cos x)0 |
= , sin x (x 2 R) |
|
(ex)0 |
= ex (x 2 R) |
||||||||||||||||||||||||||
(tg x)0 = |
|
1 |
|
|
|
(cosx = 0) |
(ln |
x )0 |
= 1=x (x |
= 0) |
||||||||||||||||||||
cos2 x |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
j |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
6 |
|||||||||||
(ctg x)0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x )0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
, sin2 x |
(sin x = 0) |
(log |
|
= |
|
x ln a |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
a j |
j |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
(arcsin x)0 |
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
( x |
< 1) |
|
|
|
|
(x = 0; 0 |
< a = 1) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
q |
1 |
,1x2 |
j j |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
6 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(arccos x)0 |
= ,p |
1 |
, |
x2 |
(jxj < 1) |
(sh x)0 |
= ch x (x 2 R) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(arctg x)0 = 1 + x2 |
(x |
2 R) |
(ch x)0 |
= sh x (x 2 R) |
||||||||||||||||||||||||||
(arcctg x)0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
(th x)0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= ,1 + x2 |
(x 2 R) |
= ch2 x |
(x 2 R) |
|||||||||||||||||||||||||||
(xb)0 = bxb,1 (x > 0) |
|
|
|
|
|
(cth x)0 |
= |
|
|
1 |
|
(x = 0) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
,sh2 x |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|||||||
u P R A V N E N I Q. nAJTI PROIZWODNYE FUNKCIJ:
7.ln(x + pa2 + x2 ),
8. |
arcsin |
x |
|
|
(OTWET: (a2 , x2),1=2 sgn a), |
|||||
a |
|
|||||||||
9. |
arcsin |
1 |
|
|
(OTWET: ,[x(x2 , 1),1=2 ] sgn x (jxj > 1)), |
|||||
x |
|
|||||||||
10. |
xx , |
|
|
|
|
|
|
|||
11. ln j tg xj, |
|
1=x2 |
g |
|
|
|||||
12. f(x) = |
exp |
; |
ESLI x = 0, |
|||||||
0; |
f, |
|
|
6 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ESLI x = 0. |
|
x31. pROIZWODNYE WYS[IH PORQDKOW |
||||||||||
1. pUSTX f : E |
! R DIFFERENCIRUEMA W KAVDOJ TO^KE E, TO ESTX |
|||||||||
OPREDELENA FUNKCIQ f0 : E |
|
! R . eSLI f0 DIFFERENCIRUEMA W TO^- |
||||||||
KE x0, TO ^ISLO (f0 )0(x0) NAZYWAETSQ 2-J PROIZWODNOJ f W TO^KE x0 I |
||||||||||
OBOZNA^AETSQ f00(x0) ILI d2f(x2 0). pUSTX, W ^ASTNOSTI, f0 DIFFERENCI- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||
RUEMA W KAVDOJ TO^KE MNOVESTWA E. tOGDA NA E OPREDELENA FUNKCIQ |
||||||||||
f00(x) (f0)0(x) (x 2 E ), KOTORAQ NAZYWAETSQ 2-J PROIZWODNOJ FUNKCII f
58
I OBOZNA^AETSQ f00 ILI d2f . pO INDUKCII OPREDELQETSQ PROIZWODNAQ n-OGO dx2
PORQDKA W TO^KE x0 ; OBOZNA^ENIE f(n) (x0 ). eSLI f n RAZ DIFFERENCIRUEMA W TO^KE x, TO RAWENSTWOM dnf(x) f(n)(x)dxn OPREDELQETSQ DIFFERENCIAL n-OGO PORQDKA FUNKCII f W TO^KE x.
2. [fORMULA lEJBNICA]. pUSTX u; v | FUNKCII, n RAZ DIFFERENCIRU- EMYE W TO^KE x. tOGDA (S^ITAQ u(0) u) IMEEM
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(uv)(n)(x) = |
X |
k!u(k)(x)v(n,k)(x): |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zDESX k k!(n , k)! |
| BINOMIALXNYE KO\FFICIENTY, 0! 1. |
||||||||||||||||||||||||||
dOKAZATELXSTWO PO INDUKCII. pRI n = 1 | \TO FORMULA 30.1(B). eSLI |
|||||||||||||||||||||||||||
FORMULA WERNA DLQ WSEH NATURALXNYH ^ISEL n, TO |
|||||||||||||||||||||||||||
(uv)(n+1)(x) |
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
u(k)v(n,k))0(x) |
|||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
||||||||||||||||||
((uv)(n) )0(x) = ( |
|
n |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
= |
k=0 |
|
k |
|
[u(k+1)(x)v(n,k) |
(x) + u(k) (x)v(n,k+1) (x)] |
|||||||||||||||||||
|
|
= |
u(0)(x)v(n+1)(x) + k=1[ |
|
k |
|
+ |
|
k,1 |
]u(k)(x)v(n,k+1)(x) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
+u(n+1)(x)v(0)(x) |
||||||
|
|
= |
n+1 |
|
n+1k |
|
u(k)(x)v(n+1,k)(x): |
|
> |
|
|
||||||||||||||||
|
|
P |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p R I M E R Y. 3. (cos x)(n) |
= cos |
x + |
|
n |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
(100) |
|
|
|
|
|
|
|
(100) |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
(99) |
= x cos x + 100 sin x. |
||||||
4. (x cosx) |
= x(cosx) |
|
|
+ 100(cos x) |
|
|
|
||||||||||||||||||||
x32. oSNOWNYE TEOREMY
1. t E O R E M A [m. rOLLX]. pUSTX f : [a; b] ! R NEPRERYWNA I NA (a; b) DIFFERENCIRUEMA, PRI^•EM f (a) = f(b). tOGDA SU]ESTWUET c (a < c < b) TAKOE, ^TO f0 (c) = 0:
tEOREMA O^EWIDNA, ESLI f POSTOQNNA NA [a; b]. pUSTX f 6= const I SU- ]ESTWUET x 2 (a; b) TAKOE, ^TO, NAPRIMER, f (x) > f(a). tOGDA (SM. 24.2(B))
59
NAJDETSQ• c 2 (a; b) TAKOE, ^TO f (c) = sup f(x). pRI \TOM
x2[a;b]
f0 |
(c+) |
= |
lim |
f (c + h) |
, |
f (c) |
|
0; |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
h |
! |
0+ |
|
h |
|
|
|
|
||
f0 |
|
, |
|
|
|
|
|
h |
, |
f (c) |
|
|
|
|
|
(c |
) |
= |
h |
|
0 |
|
0: |
|
|
||||||
|
lim |
f (c + h) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
! , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sLEDOWATELXNO, f0 (c) = f0(c+) = f0(c,) = 0 (SM. 29.12). |
|
> |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||
2. t E O R E M A [o. kO[I]. pUSTX f; g : [a; b] |
! R NEPRERYWNY I NA |
||||||||||||||
(a; b) DIFFERENCIRUEMY, PRI^•EM f0(x); g0(x) NE RAWNY NUL@ ODNOWREMENNO |
|||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I g(b) = g(a). tOGDA SU]ESTWUET c (a < c < b) TAKOE, ^TO |
|||||||||||||||
|
|
|
|
f(b) |
, f(a) |
= f0(c) |
: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
g(b) , g(a) |
g0(c) |
|
|
|
|
|
|||||
fUNKCIQ h(x) = |
g(x)[f(b) , f(a)] , f(x)[g(b) , g(a)] UDOWLETWORQET |
||||||||||||||
USLOWIQM TEOREMY rOLLQ. pO\TOMU SU]ESTWUET c 2 (a; b) TAKOE, ^TO h0(c) = g0(c)[f (b) , f (a)] , f0(c)[g(b) , g(a)] = 0:
zAMETIM, ^TO g0 (c) 6= 0, IBO INA^E f0(c) = 0; ^TO PROTIWORE^IT PREDPOLO- VENI@ TEOREMY. oTS@DA SLEDUET ISKOMOE RAWENSTWO. >
3.[fORMULA lAGRANVA (KONE^NYH PRIRA]ENIJ)]. pUSTX f : [a; b] ! R
NEPRERYWNA I NA (a; b) DIFFERENCIRUEMA. tOGDA SU]ESTWUET c (a < c < b)
TAKOE, ^TO f (b) , f(a) = f0(c)(b , a).
pOLOVIM W TEOREME kO[I g(x) = x (a x b): >
4.s L E D S T W I E. pUSTX f : [a; b] ! R NEPRERYWNA I NA (a; b) DIFFERENCIRUEMA, PRI^•EM f0(x) = 0 (a < x < b). tOGDA f = const.
dLQ L@BOGO x 2 (a; b] : f (x) , f (a) = f0(c)(x , a) = 0: >
|
z A M E ^ A N I Q. 5. w USLOWIQH FORMULY lAGRANVA DLQ L@BOGO |
x 2 (a; b) |
|
( ) |
f (x + h) , f (x) = f0(x + h)h (0 < < 1; = (h)): |
|TO SOOTNO[ENIE POLEZNO SOPOSTAWITX S RAWENSTWOM
f (x + h) , f(x) = f0(x)h + o(h) (h ! 0):
60