А.Н.Шерстнев - Математический анализ

(iii). pUSTX (X ) | SEMEJSTWO WSEH f -MNOVESTW I Z = S X | IH OB_EDI- NENIE. w SILU (ii) W Z KORREKTNO OPREDELENA STRUKTURA SOWER[ENNO UPORQDO- ^ENNOGO MNOVESTWA (x y W Z OZNA^AET, ^TO x y W PODHODQ]EM f-MNOVESTWE

X ).

(iv). mNOVESTWO Z QWLQETSQ f-MNOVESTWOM.

dEJSTWITELXNO, WO-PERWYH, 8x 2 Z 9 (x 2 X ) ) x = f (En(,; x)), TAK KAK X f -MNOVESTWO, A W SILU (iii) PROMEVUTOK (,; x) W X SOWPADAET S PROME- VUTKOM (,; x) W Z.

wO-WTORYH, Z QWLQETSQ WPOLNE UPORQDO^ENNYM MNOVESTWOM. dEJSTWITELX- NO, PUSTX X | NEPUSTOE PODMNOVESTWO MNOVESTWA Z. ~TOBY POKAZATX ^TO X OBLADAET NAIMENX[IM \LEMENTOM, WWED•EM \LEMENTY a | NAIMENX[IE \LE- MENTY MNOVESTW X \ X (W SLU^AE, ESLI X \ X 6= ; ). dOSTATO^NO POKAZATX, ^TO NAIMENX[IM \LEMENTOM OBLADAET (SOWER[ENNO UPORQDO^ENNOE) MNOVESTWO (a ). zAFIKSIRUEM \LEMENT a 0 . eSLI a 0 | NE NAIMENX[IJ \LEMENT SEMEJ-

STWA (a ), TO NAJD•ETSQ INDEKS TAKOJ, ^TO a < a 0 , A ZNA^IT X nX 0 =6 ;. w SILU (ii) X 0 X , A TEPERX W SILU (i) 9b 2 Z (X 0 = (,; b)). pO\TOMU fa j a < a 0 g X 0 . tAK KAK X 0 WPOLNE UPORQDO^ENO, (a ) OBLADAET NAI-

MENX[IM \LEMENTOM.

(v). pO POSTROENI@ Z QWLQETSQ NAIBOLX[IM (OTNOSITELXNO PORQDKA, OPRE- DELQEMOGO WKL@^ENIEM) f-MNOVESTWOM W E.

(vi). uSTANOWIM W ZAKL@^ENIE, ^TO Z = E. (|TO ZAWER[AET DOKAZATELXSTWO TEOREMY.)

pUSTX, NAPROTIW, EnZ =6 ; I a = f(EnZ) 2 EnZ). oPREDELIM OTNO[ENIE PORQDKA 0 W MNOVESTWE Z [ fag SLEDU@]IM OBRAZOM:

x 0 y, ESLI x; y 2 Z I x y, 8x 2 Z (x 0 a).

tOGDA Z [ fag WPOLNE UPORQDO^ENO. pRI \TOM Z = (,; a) I f(En(,; a)) = f (EnZ) = a:

iTAK, Z [ fag | f-MNOVESTWO. |TO, ODNAKO, PROTIWORE^IT TOMU, ^TO Z | NAIBOLX[EE f-MNOVESTWO. >

10. s PONQTIEM POLNOGO PORQDKA SWQZANO SLEDU@]EE OBOB]ENIE IZWESTNOGO PRINCIPA MATEMATI^ESKOJ INDUKCII.

[pRINCIP TRANSFINITNOJ INDUKCII]. pUSTX (E; ) | WPOLNE UPORQDO^EN-

NOE MNOVESTWO, I EGO PODMNOVESTWO A OBLADAET SWOJSTWAMI:

(1) NAIMENX[IJ \LEMENT MNOVESTWA E PRINADLEVIT A,

471

(2)DLQ PROIZWOLXNOGO x 2 E IZ PRINADLEVNOSTI MNOVESTWU A KAVDOGO \LEMENTA y < x SLEDUET, ^TO x 2 A.

tOGDA A=E.

pUSTX, NAPROTIW, Ac =6 ;, I b | NAIMENX[IJ \LEMENT Ac. tOGDA 8y < b (y 2 A) I IZ (2) SLEDUET, ^TO b 2 A | PROTIWORE^IE. >

zAMETIM, ^TO ESLI W MNOVESTWE UVE ZADAN NEKOTORYJ PORQDOK, TO SU]ESTWU- @]IJ PO TEOREME cERMELO POLNYJ PORQDOK S ISHODNYM, WOOB]E GOWORQ, NIKAK NE SWQZAN. pO\TOMU W PRILOVENIQH ^A]E ISPOLXZU@T NE TEOREMU cERMELO, A SLEDU@]EE EE WAVNOE SLEDSTWIE.

11. t E O R E M A [m. cORN]. wSQKOE INDUKTIWNOE MNOVESTWO OBLADAET MAKSIMALXNYM \LEMENTOM.

pUSTX (E; ) INDUKTIWNO I | POLNYJ PORQDOK W E, SU]ESTWU@]IJ PO TEOREME cERMELO, a | NAIMENX[IJ (OTNOSITELXNO ) \LEMENT W E. pOSTROIM INDUKTIWNO MNOVESTWO D.

(1)\LEMENT a OTNES•EM W MNOVESTWO D,

(2)ESLI x 2 E I WSE \LEMENTY y < x UVE RASKLASSIFICIROWANY (TO ESTX OTNESENY W D ILI W Dc ), TO PO OPREDELENI@ x 2 D, ESLI x SRAWNIM (OTNOSI- TELXNO ) SO WSEMI \LEMENTAMI MNOVESTWA fz 2 D j z < xg, I x 62D | W PROTIWNOM SLU^AE.

iZ PRINCIPA TRANSFINITNOJ INDUKCII SLEDUET, ^TO UKAZANNYMI USLOWI-

QMI MNOVESTWO D KORREKTNO ZADANO, TO ESTX KAVDYJ \LEMENT x 2 E LIBO OTNES•EN W D, LIBO OTNES•EN W Dc. pO POSTROENI@ MNOVESTWO D SOWER[ENNO UPORQDO^ENO (OTNOSITELXNO ), PRI^•EM

(1)8y 2 Dc 9z 2 D (y NE SRAWNIM S z OTNOSITELXNO ):

fw SAMOM DELE, ESLI (1) NE WYPOLNENO, TO

X fy 2 Dc j 8z 2 D (y SRAWNIM S z OTNOSITELXNO )g 6= ;:

pUSTX y0 | NAIMENX[IJ (OTNOSITELXNO ) \LEMENT MNOVESTWA X. tOGDA SO- GLASNO KONSTRUKCII D (SM. (2)) y0 2 D | PROTIWORE^IE.g

tAK KAK E INDUKTIWNO, MNOVESTWO D OBLADAET MAVORANTOJ b. |TO IS- KOMYJ MAKSIMALXNYJ \LEMENT E. (eSLI, NAPROTIW, SU]ESTWUET c > b, TO 8z 2 D (z < c), TAK ^TO, W ^ASTNOSTI, c SRAWNIM (OTNOSITELXNO ) SO WSE- MI \LEMENTAMI MNOVESTWA D. pO\TOMU (SM. (1)) c 2 D I, SLEDOWATELXNO, c b | PROTIWORE^IE.) >

472

tEOREMA cORNA BYLA POLU^ENA KAK SLEDSTWIE AKSIOMY WYBORA. nA SAMOM DELE \TI DWA UTWERVDENIQ \KWIWALENTNY:

12.uTWERVDENIE TEOREMY cORNA \KWIWALENTNO AKSIOME WYBORA.

pOKAVEM, ^TO IZ UTWERVDENIQ TEOREMY cORNA SLEDUET AKSIOMA WYBORA. pUSTX E | PROIZWOLXNOE MNOVESTWO I A | PROIZWOLXNOE SEMEJSTWO EGO NE- PUSTYH PODMNOVESTW. tREBUETSQ DOKAZATX, ^TO 9f : A ! E 8a 2 A (f(a) 2 a). mY DOKAVEM UTWERVDENIE DLQ SLU^AQ A = A(E) P(E)nf;g. tOGDA ISKOMAQ FUNKCIQ POLU^ITSQ KAK OGRANI^ENIE POSTROENNOJ FUNKCII WYBORA NA A .

pUSTX Z | SEMEJSTWO WSEH NEPUSTYH PODMNOVESTW MNOVESTWA E, OBLADA@- ]IH NUVNYM NAM SWOJSTWOM:

8X 2 Z 9fX : A(X) ! X 8a 2 A(X ) (fX (a) 2 a):

sEMEJSTWO Z 6= ; (ONO SODERVIT ODNO\LEMENTNYE PODMNOVESTWA MNOVESTWA E). pUSTX | SEMEJSTWO WSEH FUNKCIJ WYBORA, UDOWLETWORQ@]IH (2). bUDEM

S^ITATX, ^TO fX gY (fX ; gY 2 ), ESLI X Y I 8Z X (fX (Z) = gY (Z)). tOGDA | OTNO[ENIE PORQDKA W (!!). uBEDIMSQ, ^TO INDUKTIWNO. pUSTX

iS2I

fX (a) = fXi (a); ESLI a 2 A(Xi);

QWLQETSQ MAVORANTOJ . tEPERX W SILU UTWERVDENIQ TEOREMY cORNA OBLADAET MAKSIMALXNYM \LEMENTOM fA . oSTALOSX LI[X USTANOWITX, ^TO A = E. pUSTX, NAPROTIW, 9x 2 EnA. rASSMOTRIM MNOVESTWO X A [ fxg I OPREDELIM FUNKCI@ f : A(X) ! X RAWENSTWOM:

f | FUNKCIQ WYBORA DLQ SEMEJSTWA A(X), PRI^EM• f j A(A) = fA. iTAK, fA < f, ^TO PROTIWORE^IT MAKSIMALXNOSTI fA: >

13. ~ASTO WSTRE^A@TSQ SITUACII, KOGDA PRIHODITSQ SRAWNIWATX MNOVESTWA PO KOLI^ESTWU \LEMENTOW W NIH SODERVA]IHSQ. dLQ DWUH MNOVESTW E I F BUDEM PISATX CardE Card F (SOOTWETSTWENNO Card E > Card F ), ESLI SU]ESTWUET IN_EKCIQ f : F ! E (SOOTWETSTWENNO SU]ESTWUET IN_EKCIQ f : F ! E, NO NE SU]ESTWUET IN_EKCII IZ E W F). sLEDU@]EE UTWERVDENIE GLASIT, ^TO DLQ DWUH MNOVESTW IMEET MESTO ODNO IZ TR•EH: LIBO Card E > Card F , LIBO CardF > CardE, LIBO E I F RAWNOMO]NY (W \TOM SLU^AE PI[EM Card E = Card F ):

473

14. u P R A V N E N I E. pUSTX E I F | DWA MNOVESTWA, PRI^•EM SU]ESTWU@T

QWLQETSQ BIEKCIEJ E NA F .g

15. pO OPREDELENI@ CardE = n (n 2 f0g [ N) OZNA^AET, ^TO E | KONE^NOE MNOVESTWO, SOSTOQ]EE IZ n \LEMENTOW; Card E = @0 (SOOTWETSTWENNO CardE @0) OZNA^AET, ^TO E S^•ETNO (SOOTWETSTWENNO NE BOLEE ^EM S^ETNO• ); Card E > @0 OZNA^AET, ^TO E NES^ETNO• .

16.u P R A V N E N I E. pUSTX Card E > @0 , Card F @0 I F E. tOGDA

Card(EnF ) = Card E.

17.pUSTX Card I; Card J @0; J = S Ji I PRI KAVDOM i 2 I Card Ji @0. tOGDA Card J Card I. i2I

pUSTX | POLNYJ PORQDOK W I . wOSPOLXZUEMSQ TRANSFINITNOJ INDUKCIEJ.

474

pRILOVENIE IV. differencialxnye formy i teorema stoksa

pRILOVENIE SODERVIT KRATKOE WWEDENIE W TEORI@ DIFFERENCIALXNYH FORM, ONO ZAWER[AETSQ WYWODOM OB]EJ FORMULY sTOKSA DLQ CEPEJ. eGO MOVNO RAS- SMATRIWATX KAK \SKIZ SOWREMENNOGO IZLOVENIQ RAZDELA \|LEMENTY INTEGRI- ROWANIQ PO MNOGOOBRAZIQM".

k-LINEJNYE FORMY

1. oTOBRAVENIE f : Rn : : : Rn ! R (GDE Rn : : : Rn = Rnk ) NAZYWAETSQ k-LINEJNOJ FORMOJ NA Rn , ESLI PRI PROIZWOLXNYH as 2 Rn (s = 1; : : :; j , 1; j + 1; : : :; k) OTOBRAVENIE

x ! f (a1; : : :; aj,1; x; aj+1; : : :; ak)

LINEJNO PRI L@BOM j (1 j k).

2. z A M E ^ A N I E. iZ OB]EGO WIDA LINEJNOJ FORMY W Rn (SM. 72.1{2) SLEDUET, ^TO KAVDAQ k-LINEJNAQ FORMA PREDSTAWIMA W WIDE

(1) f(x1; : : :; xk) = X ci1:::ik xi11 : : :xikk ;

i1;:::;ik

GDE x | -Q KOORDINATA WEKTORA x W EGO RAZLOVENII PO STANDARTNOMU BAZISU

e1; : : :; en, A ci1:::ik | KONSTANTY, ODNOZNA^NO OPREDELQEMYE FORMOJ f (1 is n; 1 s k).

dEJSTWITELXNO, PODSTAWLQQ WYRAVENIQ x = Px e ( = 1; : : :; k) W LEWU@ ^ASTX (1) I POLXZUQSX LINEJNOSTX@ f PO KAVDOMU ARGUMENTU, POLU^IM PRAWU@ ^ASTX (1), GDE ci1:::ik = f (ei1 ; : : :; eik ): >

3. w MNOVESTWE WSEH k-LINEJNYH FORM NA Rn ESTESTWENNO WWODITSQ STRUK- TURA WEKTORNOGO PROSTRANSTWA. oNO OBOZNA^AETSQ T k(Rn) ILI Tk ; k-LINEJNYE FORMY, KAK \LEMENTY PROSTRANSTWA T k, NAZYWA@TSQ TAKVE KOWARIANTNYMI k-TENZORAMI. w ^ASTNOSTI, LINEJNYE FORMY, KAK \LEMENTY PROSTRANSTWA T1 =

L(Rn; R) NAZYWA@TSQ KOWEKTORAMI.

wNE[NIE FORMY

4. k-LINEJNAQ FORMA f NA Rn NAZYWAETSQ WNE[NEJ, ESLI

f(x (1); : : :; x (k)) = "( )f(x1; : : :; xk);

475

5.z A M E ^ A N I E. eSLI f | WNE[NQQ FORMA I xi = xj DLQ NEKOTORYH INDEKSOW i I j (i 6= j), TO f(x1; : : :; xk) = 0.

6.pUSTX u1; : : :; uk | LINEJNYE FORMY NA Rn. wNE[NIM PROIZWEDENIEM

\TIH FORM (W UKAZANNOM PORQDKE) NAZYWAETSQ WNE[NQQ k-LINEJNAQ FORMA NA Rn , OPREDELQEMAQ RAWENSTWOM

u1 ^ : : : ^ uk (x1; : : :; xk) = det[ui(xj )]:

7. pUSTX y1; : : :; yn | BAZIS W Rn. bAZIS f1; : : :; fn W L(Rn; R) NAZOWEM• DU- ALXNYM K BAZISU y1; : : :; yn , ESLI fi (yj ) = ij (1 i; j n). w ^ASTNOSTI, DLQ STANDARTNOGO BAZISA e1; : : :; en DUALXNYJ BAZIS OBRAZUET SISTEMA dx1; : : :; dxn

DIFFERENCIALOW NEZAWISIMYH PEREMENNYH xi.

8. wSQKAQ WNE[NQQ k-LINEJNAQ FORMA NA Rn PREDSTAWIMA W WIDE

pREDSTAWIM f W WIDE (1). w \TOM PREDSTAWLENII xjs = dxj (xs). tAK KAK f WNE[NQQ, IMEEM

9.eSLI k > n, TO WSQKAQ k-LINEJNAQ WNE[NQQ FORMA NA Rn NULEWAQ.

w PREDSTAWLENII P. 8 W \TOM SLU^AE SREDI KAVDOGO NABORA INDEKSOW i1; : : :; ik OBQZATELXNO NAJDETSQ PARA ODINAKOWYH. w SILU P. 5 POLU^AEM TREBUEMOE. >

10. wSQKAQ n-LINEJNAQ WNE[NQQ FORMA NA Rn PREDSTAWIMA W WIDE f = dx1 ^ : : : ^ dxn; 2 R.

476

uMNOVENIE WNE[NIH FORM

11. w MNOVESTWE k(Rn ) WSEH k-LINEJNYH WNE[NIH FORM NA Rn ESTESTWEN- NO WWODITSQ STRUKTURA WE]ESTWENNOGO WEKTORNOGO PROSTRANSTWA. oPREDELIM

E]•E ODNU WAVNU@ OPERACI@ NAD WNE[NIMI FORMAMI, NAZYWAEMU@ WNE[NIM UMNOVENIEM. pUSTX f 2 k(Rn ); g 2 s(Rn) I

i i j j

f = Xci1:::ik dx 1 ^ : : : ^ dx k ; g = Xdj1 :::jsdx 1 ^ : : : ^ dx s

| IH KANONI^ESKIE PREDSTAWLENIQ. wNE[NIM PROIZWEDENIEM FORM f I g NA- ZYWAETSQ FORMA f ^ g 2 k+s (Rn), OPREDELQEMAQ RAWENSTWOM

oTMETIM SWOJSTWA OPERACII UMNOVENIQ FORM.

12.( f) ^ g = f ^ ( g) = (f ^ g); 2 R,

13.(f + g) ^ h = f ^ h + g ^ h,

14.f ^ g = (,1)ksg ^ f ,

15.(f ^ g) ^ h = f ^ (g ^ h).

p.12,13 O^EWIDNY, PP. 14,15 DOSTATO^NO PROWERITX DLQ \BAZISNYH" FORM

f = dxi1 ^: : :^dxik ; g = dxj1 ^: : :^dxjs ; h = dx`1 ^ : : :^dx`t (i1 < : : : < ik; j1 <

: : : < js; `1 < : : : < `t). s U^•ETOM P. 6 IMEEM

(f ^ g) ^ h = (dxi1 ^ : : : ^ dxik ^ dxj1 ^ : : : ^ dxjs)(dx`1 ^ : : : ^ dx`t )

=("dxm1 ^ : : : dxmk+s )(dx`1 : : : ^ dx`t )

=dxi1 ^ : : : ^ dxik ^ dxj1 ^ : : : ^ dxjs ^ dx`1 ^ : : : ^ dx`t

=f ^ (g ^ h);

GDE " | SIGNATURA PERESTANOWKI

W KOTOROJ m1; m2; : : :; mk+s | INDEKSY NABOROW fi1; : : :; ikg; fj1; : : :; jsg WZQ- TYE W PORQDKE WOZRASTANIQ. iTAK, P. 15 DOKAZAN. sIGNATURA PERESTANOWKI

477

f(x (1); : : :; x (k)) = f ( (x (1)); : : :; (x (k)))

="( )f( (x1); : : :; (xk ))

="( ) f (x1; : : :; xk ): >

17. u P R A V N E N I E. dOKAZATX RAWENSTWO (f ^ g) = ( f ) ^ ( g). fpOKAVITE SNA^ALA, ^TO (dxi1 ^ : : : ^ dxik ) = ( dxi1 ) ^ : : : ^ ( dxik ).g

dIFFERENCIALXNYE FORMY

18. kASATELXNYM PROSTRANSTWOM K EWKLIDOWU PROSTRANSTWU Rn W TO^KE x 2 Rn NAZOWEM• PROSTRANSTWO Rn, WSE TO^KI KOTOROGO \OTME^ENY" INDEKSOM x. bUDEM OBOZNA^ATX KASATELXNOE PROSTRANSTWO SIMWOLOM Rnx : KAVDOMU WEKTORU u 2 Rn SOPOSTAWLQETSQ WEKTOR ux 2 Rnx | TOT VE WEKTOR u, OTME^ENNYJ TO^- KOJ x. gOWORQT, ^TO ux | WEKTOR u, PRILOVENNYJ K TO^KE x. pO OPREDELENI@ Rnx NASLEDUET EWKLIDOWU STRUKTURU IZ Rn, TO ESTX W Rnx OPREDELENO SKALQRNOE PROIZWEDENIE hux; vxi hu; vi (u; v 2 Rn).

19. pUSTX U | OTKRYTOE MNOVESTWO W Rn. gOWORQT, ^TO NA MNOVESTWE U

ZADANA DIFFERENCIALXNAQ FORMA ! STEPENI k (ILI, KORO^E, k-FORMA), ESLI OPREDELENO OTOBRAVENIE x 2 U ! !(x) 2 k(Rnx), TO ESTX KAVDOJ TO^KE x 2 U SOPOSTAWLENA NEKOTORAQ k-LINEJNAQ WNE[NQQ FORMA NA KASATELXNOM PROSTRAN- STWE Rnx ; 0-FORMOJ , PO OPREDELENI@, NAZYWAETSQ WSQKAQ FUNKCIQ ! : U ! R.

w SILU P. 8 WSQKAQ k-FORMA NA U Rn IMEET WID

! x ci :::i x dxi1 ^ : : : ^ dxik ; x 2 U;

( ) = X 1 k ( )

GDE dx1; : : :; dxn | BAZIS W PROSTRANSTWE L(Rnx; R), DUALXNYJ K STANDARTNOMU BAZISU e1; : : :; en W Rnx . kO\FFICIENTY ci1:::ik (x) | ^ISLOWYE FUNKCII TO^KI x. eSLI \TI FUNKCII PRINADLEVAT KLASSU Cp(U) (p = 0; 1; : : :; 1), TO ESTX p RAZ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMY (KLASS C0(U) SOSTOIT IZ NEPRERYWNYH

478

^ISLOWYH FUNKCIJ, ZADANNYH NA U ), TO k-FORMA ! NAZYWAETSQ k-FORMOJ KLASSA Cp. w ^ASTNOSTI, 0-FORMA KLASSA Cp | \TO FUNKCIQ ! 2 Cp(U ).

21. pUSTX U( Rn) OTKRYTO I ' 2 C1(U ). pROIZWODNOE OTOBRAVENIE '0 OPREDELQET 1-FORMU NA U : x 2 U ! '0 : Rnx ! R. |TA 1-FORMA NAZYWAET-

uMNOVENIE DIFFERENCIALXNYH FORM

22. bUDEM OBOZNA^ATX k (U) ^EREZ MNOVESTWO WSEH k-FORM NA OTKRYTOM MNOVESTWE U Rn. sOOTWETSTWENNO ^EREZ k;p(U) OBOZNA^IM MNOVESTWO WSEH k-FORM IZ k(U ) KLASSA Cp. wWED•ENNYE MNOVESTWA ESTESTWENNO NADELQ@TSQ STRUKTURAMI WEKTORNOGO PROSTRANSTWA. nA DIFFERENCIALXNYE FORMY ESTES-

TWENNO PERENOSITSQ TAKVE OPERACIQ WNE[NEGO UMNOVENIQ. pUSTX ! 2 k(U);2 s(U ). tOGDA RAWENSTWO (!^ )(x) !(x) ^ (x) (x 2 U) OPREDELQET FORMU

!^ 2 k+s(U). w ^ASTNOSTI, ESLI ' : U ! R| FUNKCIQ (TO ESTX 0-FORMA), TO ' ^ ! BUDEM OBOZNA^ATX TAKVE ^EREZ ' !. iZ PP. 14, 15 SLEDUET, ^TO OPERACIQ UMNOVENIQ DIFFERENCIALXNYH FORM OBLADAET SWOJSTWAMI:

23.! 2 k (U ); 2 s(U) ) ! ^ = (,1)ks ^ !.

24.(! ^ ) ^ = ! ^ ( ^ ).

479

wNE[NEE DIFFERENCIROWANIE

26. pEREHODIM K OSNOWNOJ OPERACII NAD DIFFERENCIALXNYMI FORMAMI | OPERACII WNE[NEGO DIFFERENCIROWANIQ. pUSTX U | OTKRYTOE MNOVES- TWO W Rn. wNE[NIM DIFFERENCIROWANIEM NAZYWAETSQ LINEJNOE OTOBRAVENIE

d: k;p(U) ! k+1;p,1 (U) (k 0; p 1), ODNOZNA^NO OPREDELQEMOE USLOWIQMI:

(i)ESLI ' 2 0;p(U ); p 1 (TO ESTX ' 2 Cp(U )), TO d' | DIFFERENCIAL FORMY ' (SM. P. 21),

(ii)DLQ ODNO^LENNOJ FORMY !(x) = c(x)dxi1 ^ : : : ^ dxik (! 2 k;p(U )):

oTMETIM OSNOWNYE SWOJSTWA WWED•ENNOJ OPERACII.

27. eSLI ! 2 k;1(U ); 2 s;1(U), TO

d(! ^ ) = d! ^ + (,1)k! ^ d :

28.eSLI ! 2 k;2(U ) (k 0), TO d2! d(d!) = 0.

p. 28 DOSTATO^NO USTANOWITX DLQ FORMY WIDA !(x) = c(x)dxi1 ^ : : : ^ dxik . iMEEM

480