Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

А.Н.Шерстнев - Математический анализ

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

2.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 5135 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 > Следующая >>>

INTEGRALOM lEBEGA FUNKCII f I OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM		Z f d (ILI
Z f d ;	Z f (x) (dx)).
E	E

uBEDIMSQ W KORREKTNOSTI DANNOGO OPREDELENIQ:

(A) limZ fn d SU]ESTWUET;

(B) PREDEL NE ZAWISIT OT WYBORA POSLEDOWATELXNOSTI fn ;

(W) DLQ PROSTYH FUNKCIJ \TO OPREDELENIE SOGLASUETSQ S OPREDELENIEM P. 1.

pUSTX fn | PROSTYE INTEGRIRUEMYE FUNKCII I fn =) f. w SILU PP. 2 I 3 IMEEM OCENKU

jZ fn d , Z fm d j = jZ (fn , fm )d j kfn , fmkE E;

IZ KOTOROJ SLEDUET SHODIMOSTX POSLEDOWATELXNOSTI INTEGRALOW Z fn d , I (A) USTANOWLENO.

pUSTX gn | E]E• ODNA POSLEDOWATELXNOSTX PROSTYH INTEGRIRUEMYH FUNKCIJ TAKAQ, ^TO gn =) f. tOGDA

jZ fn d , Z gn d j kfn , gnkE E ! 0 (n ! +1):

n Z

pO\TOMU

lim

fn d

= lim

gn d

)

USTANOWLENO

uTWERVDENIE W

(

( )

SLEDUET IZ A

I B

ESLI POLOVITX

fn = f (n 2

): >

( )

( ),

sWOJSTWA PP. 2 I 3, USTANOWLENNYE WY[E DLQ PROSTYH FUNKCIJ, OSTA-

@TSQ SPRAWEDLIWYMI W OB]EM SLU^AE (PROWERKA \TOGO, OSU]ESTWLQETSQ S

POMO]X@ PREDELXNOGO PEREHODA (!!)):

5. eSLI FUNKCII f; g

INTEGRIRUEMY,

INTEGRIRUEMY TAKVE

f +g; f ( 2 R), PRI^•EM Z

( f +g)d = Z

f d +Z g d . wSQKAQ OGRANI-

^ENNAQ IZMERIMAQ FUNKCIQ f INTEGRIRUEMA, PRI^•EM jZ f d j kfkE E.

6. eSLI f; g INTEGRIRUEMY I f g,

TO Z f d Z

g d .

341

uTWERVDENIE DOSTATO^NO DOKAZATX DLQ g(x) 0. \|TO TAK, ESLI f 0
\| PROSTAQ (!!). w OB]EM SLU^AE POLOVIM
	1 k				k	k + 1	)); n 2 N:
fn =	X	n Ak	; GDE Ak = f,1 ([n;			n	)); n 2 N:
	k=0
tOGDA 0 f(x) , fn(x)				1	. oTS@DA fn =) f; f , fn \| OGRANI^ENY
tOGDA 0 f(x) , fn(x)				n	. oTS@DA fn =) f; f , fn \| OGRANI^ENY
I SOGLASNO P. 5 INTEGRIRUEMY. tAK KAK f INTEGRIRUEMA, IZ RAWENSTWA

fn = (fn ,f )+f SLEDUET INTEGRIRUEMOSTX fn . pO POSTROENI@ fn PROSTYE

I fn

0. sLEDOWATELXNO,

f d

= lim

fn d

n Z

7. fUNKCIQ f NAZYWAETSQ INTEGRIRUEMOJ PO MNOVESTWU A 2 A, ESLI

INTEGRIRUEMA FUNKCIQ f

A ; INTEGRALOM FUNKCII f PO MNOVESTWU A

NAZYWAETSQ ^ISLO

f d

f A d .

8. eSLI FUNKCIQ f INTEGRIRUEMA, TO ONA INTEGRIRUEMA PO KAVDOMU

MNOVESTWU A

2 A.

eSLI f =

n Bn

| PROSTAQ INTEGRIRUEMAQ FUNKCIQ, TO f A =

n BnA

n j

BnA

n j

Bn < + ,

TO ESTX

f A

TAKVE PROSTAQ

INTEGRIRUEMAQ FUNKCIQ I

(1)

(

n Bn )d =

n ABn:

w OB]EM SLU^AE, ESLI f INTEGRIRUEMA I fn | POSLEDOWATELXNOSTX PROS- TYH INTEGRIRUEMYH FUNKCIJ, fn =) f, TO fn A =) f A . pO\TOMU f A TAKVE INTEGRIRUEMA. >

sLEDU@]EE UTWERVDENIE NAZYWAETSQ SWOJSTWOM ABSOL@TNOJ NEPRE-

RYWNOSTI INTEGRALA lEBEGA.

9. eSLI A = 0 I f INTEGRIRUEMA, TO Z f d = 0:

uTWERVDENIE SLEDUET IZ (1) DLQ PROSTOJ f. oB]IJ SLU^AJ POLU^AETSQ STANDARTNYM PREDELXNYM PEREHODOM (!!). >

	10. pUSTX f INTEGRIRUEMA I E =		P	Ak. tOGDA
			k
		X
(2)	Z f d =	k	AZk	f d ;

342

P j nj BnAk . tEPERX

k;n

PRI^•EM RQD W PRAWOJ ^ASTI SHODITSQ ABSOL@TNO.

dLQ PROSTOJ INTEGRIRUEMOJ FUNKCII f =

n Bn :

k jZ f d j =

k j n n BnAkj k;n j nj BnAk

PAk

P P

j k

BnAk = n

< +

|TO OZNA^AET ABSOL@TNU@ SHODIMOSTX RQDA W PRAWOJ ^ASTI (2), A TAKVE RQDA

X X

Z f d = n

n Bn

n BnAk =

n n BnAk =

AZk

f d :

eSLI f

| INTEGRIRUEMAQ FUNKCIQ, TO, PO OPREDELENI@ 4, DLQ WSQKOGO

SU]ESTWUET

PROSTAQ

INTEGRIRUEMAQ FUNKCIQ

TAKAQ, ^TO

kf , gkE < ".

pO DOKAZANNOMU

Z g d =

Z g d ,

PRI^EM RQD

Z g d

•

SHODITSQ ABSOL@TNO. iZ OCENKI

PAk

XAZk

j f d j

(f , g)d j + k j

g d j " E +

k j g d j

SLEDUET, ^TO RQD W PRAWOJ ^ASTI (2) SHODITSQ ABSOL@TNO. iTAK,

PAZk

f d ,

f d j = j

, g)d +

g d , k

f d j

= jZ (f , g)d +

Z (g , f )d j 2kf , gkE E < 2" E:

PAk

iZ PROIZWOLXNOSTI " POLU^AEM (2).

11. eSLI jfj

' I ' INTEGRIRUEMA, TO f INTEGRIRUEMA.

eSLI f I ' PROSTYE, TO SU]ESTWUET NE BOLEE ^EM S^ETNOE•

RAZBIENIE

MNOVESTWA

^TO

f =

n An ; ' =

n An ,

PRI^EM

n (n

• n

tOGDA

< +1,

TOPESTX

INTEGRIRUEMA

~ITA

n j nj An

n An

TELX UVE OWLADELP

STANDARTNYMIP

PRIEMAMI•

, ^TOBY DOKAZATX UTWERVDENIE

W OB]EM SLU^AE. >

343

12. s L E D S T W I E. fUNKCIQ f INTEGRIRUEMA TTOGDA INTEGRIRUEMA

jfjdOSTATO^NOSTX. SLEDUET IZ P. 11. nEOBHODIMOSTX W SLU^AE PROSTOJ FUNK- CII f SLEDUET NEPOSREDSTWENNO IZ OPREDELENIQ 1. oB]IJ SLU^AJ POLU^A- ETSQ PREDELXNYM PEREHODOM. >

13. z A M E ^ A N I E. uTWERVDENIE P. 12 W ^ASTI DOSTATO^NOSTI NE WERNO DLQ FUNKCIJ, INTEGRIRUEMYH PO rIMANU: FUNKCIQ ' = [0;1]\Q , [0;1]nQ

IZMERIMA, NO, PODOBNO FUNKCII dIRIHLE, NE INTEGRIRUEMA PO rIMANU. mEVDU TEM E•E MODULX j'j ( 1) INTEGRIRUEM PO rIMANU.

14.eSLI Z jfj d = 0, TO f (x) = 0 P.W.

pUSTX An = fx 2 E : jf (x)j n1g. iZ NERAWENSTWA

An =AZn 1 d nAZn jfj d = 0

SLEDUET, ^TO An = 0. oTS@DA

6 g

[

f (x) = 0 = ( An)

An = 0:

!n2,

u P R A V N E N I Q. 15. pROINTEGRIRUJTE FUNKCI@ f (!) = n=1

W USLOWIQH 202.10.

16.dOKAVITE SWOJSTWA PP. 5,6,10,11 DLQ INTEGRALOW PO MNOVESTWU

A( E).

17.eSLI f IZMERIMA I A = 0; TO f INTEGRIRUEMA PO MNOVESTWU A I

Z f d = 0.

18. eSLI FUNKCII f1; : : : ; fn INTEGRIRUEMY, TO INTEGRIRUEMA f (x) = maxff1 (x); : : : ; fn(x)g (x 2 E).

19. kAKU@ STRUKTURU BUDET IMETX INTEGRAL lEBEGA PO MERE m W USLOWIQH 192.8? oPI[ITE KLASS INTEGRIRUEMYH FUNKCIJ.

20. eSLI f INTEGRIRUEMA, TO

8" > 0 9 > 0 8A 2 A( A < ) jZ f d j < "):

344

x208. pREDELXNYJ PEREHOD POD ZNAKOM INTEGRALA

zADA^A O PREDELXNOM PEREHODE POD ZNAKOM INTEGRALA \KWIWALENTNA ZA- DA^E O PO^LENNOM INTEGRIROWANII SHODQ]EGOSQ FUNKCIONALXNOGO RQDA. w PRILOVENIQH TEORII INTEGRALA PODOBNYE ZADA^I IGRA@T PERWOSTEPENNU@ ROLX.

1. t E O R E M A [a. lEBEG]. pUSTX fn ! f; jfnj '; ' INTEGRIRUEMA.

tOGDA f INTEGRIRUEMA I Z fn d ! Z f d .

qSNO,

^TO

' I, SOGLASNO 207.11, f INTEGRIRUEMA. pOLOVIM

Ak = ', ([k; +1)); k = 0; 1; 2; : : : . tOGDA E = A0 A1 : : : ;

k Ak = ;,

TAK ^TO

pUSTX

0 (k

+1) ( . 197.13).

" > 0

SILU 207.20 NAJD•ETSQ m

2 N TAKOE, ^TO AZm ' d < ". pO TEOREME eGOROWA

SU]ESTWUET PREDSTAWLENIE Amc

= Y + Z, GDE Z <

; fn =

f NA MNO-

VESTWE

w ^ASTNOSTI

NAJDETSQ

TAKOE

^TO

Y .

kf ,fnkY

< Y

(n n0 ).

•

nAKONEC, PRI n n0:

jZ fn d , Z f d j = jAZm fn d ,AZm f d + Z fn d , Z f d

+ Z

(fn , f )d j jZ

fn d j + jZ f d j

+ j

fn d j + j f d j

+ jZ (fn , f )d j

2AZm ' d + 2Z ' d + " < 5": w SILU PROIZWOLXNOSTI " UTWERVDENIE DOKAZANO. >

2. z A M E ^ A N I E. tEOREMA P. 1 OSTAETSQ• SPRAWEDLIWOJ, ESLI WMESTO POTO^E^NOJ SHODIMOSTI PREDPOLOVITX, ^TO fn ,!P.W. f . dEJSTWITELXNO, W SILU 207.17 ZNA^ENIQ, PRINIMAEMYE FUNKCIEJ NA MNOVESTWE MERY NULX, NE WLIQ@T NA WELI^INU INTEGRALA.

P.W.

3. s L E D S T W I E. eSLI jfnj C (n = 1; 2; : : :) I fn ,! f , TO f

INTEGRIRUEMA I Z fn d ! Z f d .

345

r f,1([r,1;r)) .

4. t E O R E M A [b. lEWI]. pUSTX f1 f2 : : : ;

fn INTEGRIRUEMY I

Z fn d K (n 2 N). tOGDA

P.W.

(1) SU]ESTWUET f TAKAQ, ^TO fn ,! f ,

(2) f INTEGRIRUEMA I

Z fn d ! Z f d .

mOVNO S^ITATX

^TO

(

INA^E PEREJDEM K POSLEDOWATELXNOS

•

fxj fn (x) >

TI gn = fn , f1 (n

= 1; 2; : : :)). pUSTX Anr

rg. tOGDA

A = fx 2 E j fn(x) ! +1g

= r

1 n

Anr . iMEEM

T S

Anr = Z d

Z fn d r :

Anr

n 1

tAK KAK A1r

A2r

: : : ; A

Anr , TO A

(

Anr ) = lim (Anr)

. iZ PROIZWOLXNOSTI r OTS@DA A = 0: pO\TOMU FUNKCIQ

lim fn (x); ESLI x

Ac,

f (x) = ( 0;

ESLI x

2 A,

OTWE^AET TREBOWANI@ (1). oPREDELIM TEPERX FUNKCI@ ' = 1

rP=1

qSNO, ^TO f < ' f + 1. pO\TOMU DLQ PROWERKI INTEGRIRUEMOSTI f DO-

STATO^NO POKAZATX INTEGRIRUEMOSTX ', TO ESTX SHODIMOSTX RQDA P r Br,

GDE Br = fx 2 E j '(x) = rg. pOSLEDNEE SLEDUET IZ OGRANI^ENNOSTI ^AST-

NYH SUMM \TOGO RQDA (W SILU OGRANI^ENNOSTI FUNKCII f NA MNOVESTWE

P Br PRIMENIMA TEOREMA P. 1):

r=1

N	NZ 'd NZ f d + E
r=1 r Br =
P	P	Br	P	Br

	r=1	NZ	r=1
	n
=	lim		fnd + E		K + E:

rP=1 Br

tEPERX UTWERVDENIE (2) SLEDUET IZ TEOREMY P. 1. >

346

5. s L E D S T W I E. pUSTX

n 0 I

n d < + . tOGDA RQD

nP=1 Z

SHODITSQ P

I EGO MOVNO INTEGRIROWATX PO^LENNO

( n

n) d

n d .

P Z|TO PEREFORMULIROWKA P.

4 W TERMINAH RQDA: DOSTATO^NO POLOVITX

k=1

P.W.

Z fn d K.

t E O R E M A p

fATU

pUSTX

PRI^EM

[ .

0; fn ,! f ,

•

tOGDA f INTEGRIRUEMA I Z

f d K.

pOLOVIM

'n (x)

inf fk

(x); 'n IZMERIMY, POSKOLXKU

k n

fxj'n(x) < cg = k[nfx j fk (x) < cg; c 2 R;

I INTEGRIRUEMY, POSKOLXKU 0

'n fn. pRI \TOM Z 'n d Z fn d

K; '1

: : : I 'n

P.W.

,! f . tREBUEMOE SLEDUET TEPERX IZ P. 4, PRI-

MENENNOGO K

('n ): >

•

Z jfjd < +1. tOGDA f INTEGRIRUEMA I

7. pUSTX E = n

PAn

f d =

f d .

PAZn

n = jfj An . mY NAHODIMSQ W USLOWIQH P. 5 I, SLEDOWATELXNO,

pOLOVIM

FUNKCIQ jfj

INTEGRIRUEMA. iZ 207.12 SLEDUET INTEGRIRUEMOSTX

f , A ISKOMOE RAWENSTWOP

WYTEKAET IZ 207.10.

sOPOSTAWLQQ DOKAZANNOE UTWERVDENIE S 207.10, POLU^AEM:

8. pUSTX E =

An. fUNKCIQ f INTEGRIRUEMA TTOGDA SHODITSQ RQD

Z jfj d .

PAn

u P R A V N E N I Q

pOSTROITX POSLEDOWATELXNOSTX FUNKCIJ

fn 0

SO SWOJSTWAMI: Z fnd !

0; fn ,! 0; fn NE SHODITSQ K 0 P.W.

347

10. pOKAVITE, ^TO

jfnj

TTOGDA fn

Z 1 + jfnj

x209. zAMENA PEREMENNOJ W INTEGRALE lEBEGA

1. bUDEM GOWORITX, ^TO OTOBRAVENIE ' : E

E IZMERIMO,

ESLI

(X)

A WSQKIJ RAZ, KOGDA X

A. eSLI | MERA NA -ALGEBRE

A, TO SO WSQKIM OTOBRAVENIEM ' MNOVESTWA E W SEBQ MOVNO SWQZATX

ESTESTWENNYM OBRAZOM NOWU@ MERU

OPREDELENNU@ NA A RAWENSTWOM

•

' (X)

',1 (X ) (X 2 A).

ADDITIWNOSTX

SLEDUET

RAWENSTWA

ESLI

ZAMETITX

^TO

(

(X)T

(Y ) = ; WSQKIJ RAZ, KOGDA X T Y = ;):

' (

Xn) = (',1(

Xn )) = (

',1 (Xn )) =

(',1(Xn))

(Xn): >

2. pUSTX OTOBRAVENIE ' : E ! E IZMERIMO I f : E ! R | IZMERI-

MAQ FUNKCIQ. tOGDA SPRAWEDLIWO RAWENSTWO

(1)

Z f ' d = Z f d ':

W TOM SMYSLE, ^TO ESLI OPREDELENA ODNA IZ EGO ^ASTEJ, TO OPREDELENA

I DRUGAQ (I ONI RAWNY).

pUSTX SNA^ALA f

n An | PROSTAQ FUNKCIQ. tOGDA f

' =

(An)

, I ESLI LEWAQP^ASTX (1) OPREDELENA, TO

f ' d =

n ',1 (An ) =

n ' (An) =

f d '

(PRI \TOM

n j nj ' (An) =

n j nj ',1(An) < +1). iZ (2) SLEDUET TAK-

VE, ^TO ESLIP OPREDELENA EGOPPRAWAQ ^ASTX, TO OPREDELENA I LEWAQ (I ONI

RAWNY).

pEREHODIM K OB]EMU SLU^A@. pUSTX f ' INTEGRIRUEMA. pOLOVIM

fn(x) = 8 m n, 1; < ,m;

: n

	m		1		m
ESLI	m	n,	1	f (x) < n		I f(x) 0,
	m		1		m
ESLI		n,		f (x) < n		I f(x) < 0.

348

pO POSTROENI@ jfnj jfj, TAK ^TO j(fn ')(x)j j(f ')(x)j(x 2 E ). kROME TOGO, fn =) f , A ZNA^IT, fn ' =) f '. iZ 207.4 I RAWENSTWA (1) DLQ PROSTYH FUNKCIJ NAHODIM

Z			n	Z			n	Z		Z
	f		' d = lim		fn		' d = lim		fn d ' =		f d ':

oTS@DA VE SLEDUET, ^TO ESLI f INTEGRIRUEMA PO MERE ', TO f ' INTEG- RIRUEMA PO (I INTEGRALY RAWNY). >

x210. sRAWNENIE INTEGRALOW rIMANA I lEBEGA

1. oGRANI^IMSQ SLU^AEM OTREZKA E = [0; 1]. pUSTX f INTEGRIRUEMA PO rIMANU. tOGDA SOOTWETSTWU@]IJ INTEGRAL MOVNO PREDSTAWITX KAK PREDEL NIVNEJ ILI WERHNEJ SUMMY dARBU:

, GDE Sn = 2,n

(nk),

(R) f (x) dx = limSn

= lim

k=1

= 2,n

; (nk)

= sup

f (x);

= inf f (x);

k=1

(nk)

x2 nk

(nk)

x2 nk

= [(k

P1)2,n; k2,n );

k = 1; : : : ; 2,n

n2n = [1 , 2,

; 1]:

oPREDELIM DWE POSLEDOWATELXNOSTI PROSTYH FUNKCIJ

f =

(nk) ; f =

;

(nk)

k=1

: : : ;

f1 f2

: : :. eSLI U^ESTX, ^TO f OGRANI^ENA

PRI \TOM f1

(BUDU^I INTEGRIRUEMOJ PO rIMANU), TO OTS@DA SLEDUET, ^TO SU]ESTWU@T

FUNKCII f I f TAKIE , ^TO fn ! f f; fn ) f f . iZ OPREDELENIQ

207.1 Z

Z fn d =

n d = Sn;

(ZDESX | LINEJNAQ MERA lEBEGA). w

SILU 208.4

n Z

f d =

lim

d = lim Sn = (R)

f(x)dx = lim

= lim

= Z f d :

349

Z j

oTS@DA

d =

f )d = 0, TO ESTX (SM. 207.14) f = f = f P.W.

NA [0; 1]. tAKIM OBRAZOM, Z f d = Z

d = (R)Z0

f (x) dx. sFORMULIRUEM

POLU^ENNYJ REZULXTAT.

2. eSLI f INTEGRIRUEMA NA OTREZKE PO rIMANU, TO ONA INTEGRIRUEMA PO lEBEGU I SOOTWETSTWU@]IE INTEGRALY SOWPADA@T.

z A M E ^ A N I Q. 3. nEOGRANI^ENNYE FUNKCII WOOB]E NE INTEGRIRUEMY PO rIMANU, NO NEKOTORYE IZ NIH INTEGRIRUEMY PO lEBEGU. nAPRIMER,

x,1=2;	ESLI 0 < x	1,
f(x) = ( 0;	ESLI x = 0,

NE INTEGRIRUEMA PO rIMANU. oDNAKO, f INTEGRIRUEMA PO lEBEGU. dEJST-

WITELXNO, POLOVIM fn (x) = x,1=2 ,2 (x) (n = 1; 2; : : :). qSNO, ^TO fn

;1]

I PO P. 2

Z fn d = (R)Z0

fn (x) dx = 2 , n 2:

oSTA•ETSQ WOSPOLXZOWATXSQ TEOREMOJ fATU.

"!0+

Z" j

4. eSLI

lim (R)

f (x) dx < +

, TO f INTEGRIRUEMA PO lEBEGU NA

[0; 1], PRI^EM•

f d

lim (R)

f(x) dx (!!).

"!0+

5. eSLI

lim (R)

f (x) dx = +

, TO f NE INTEGRIRUEMA PO lEBEGU,

DAVE ESLI

lim (R)

f(x)dx SU]ESTWUET.

"!0+

P.W.

fpOLOVIM fn = f (1=n;1]

(n = 1; 2; : : :). tOGDA jfnj jfj; jfnj ,! jfj. eSLI

DOPUSTITX, ^TO f INTEGRIRUEMA PO lEBEGU, TO W SILU 207.12 Z jfj d <

+1; W ^ASTNOSTI,

(R)Z1=njf (x)j dx =

Z jfnj d Z jfj d ;

ODNAKO, (R)Z 1jf (x)j dx ! +1 (" ! 0).g

350

<<< < Предыдущая 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 5135 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.03.20151.3 Mб182_er_er_files_book894_book.pdf
#
12.03.20153.46 Mб4_Simple Standart`s №1.NOTES.pdf
#
12.03.20153.84 Mб4_Simple Standart`s №2.NOTES.pdf
#
23.11.2019118.41 Кб3_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
25.11.2019349.45 Кб5_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
12.03.20152.83 Mб35А.Н.Шерстнев - Математический анализ..pdf
#
31.07.2019877.57 Кб9а15_ДУ.doc
#
17.04.2019372.22 Кб13Абзалов Цифра.doc
#
01.07.2025950.27 Кб3Авиационная медицина.doc
#
17.09.20191.05 Mб138Авиационное и радиоэлектронное оборудование сам...doc
#
12.03.2015709.63 Кб48Автоматизированный измеритель характеристик и.docx