Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

А.Н.Шерстнев - Математический анализ

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

2.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 5118 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

TO^KOJ ai

2 Ei

(TAK KAK Ei | KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO). rASSMOTRIM

TO^KU

a = (ai )i2I

2 E.

|TO NE PREDELXNAQ TO^KA SETI

SLEDOWATELXNO

NAJDETSQ• OTKRYTAQ OKRESTNOSTX TO^KI a

U = U

)

: : :

)

E ;

i1;:::;is

nfY

KOTORAQ NE QWLQETSQ KORMU[KOJ SETI x. pOLOVIM

U(k) = Uk (aik ) iY6=ik Ei; k 2 f1; : : : ; sg;

I ZAMETIM, ^TO HOTQ BY ODIN \CILINDR" U(k) PRINADLEVIT

ESLI,

NAPROTIW,

(k)

; k

1; : : : ; s ,

TO DLQ KAVDOGO U

(k)

(B)

SOGLASNO

NAJDETSQ

2 f (k)

NO TOGDA

(k)

LOWU[KA SETI

2 A

TAKOE

^TO

[ U = E,

U |

•

x, IBO

8 ( ) x 2 EnU EnU U(k)):

U(k), TOGDA KAK

sLEDOWATELXNO, LOWU[KOJ QWLQETSQ I MNOVESTWO U =

k=1

U NE QWLQETSQ KORMU[KOJ DLQ x

(1)

, TO ESTX

. iTAK, PUSTX, SKAVEM, U

(1)

(

(1)

A). tOGDA, S ODNOJ STORONY, U

| KORMU[KA DLQ x,

(1)

TAK KAK ai1 | PREDELXNAQ TO^KA SETI pi1 (x), A S DRUGOJ STORONY U

NE KORMU[KA DLQ x, TAK KAK

8 ( 0

)

EnU

EnU 0 ), TO

ESTX 0

) pi1 (x ) 62U1(ai1 ). pOLU^ENNOE PROTIWORE^IE DOKAZYWAET

TEOREMU.

x108. lOKALXNO KOMPAKTNYE PROSTRANSTWA

1. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO NAZYWAETSQ LOKALXNO KOMPAKTNYM, ESLI KAVDAQ EGO TO^KA OBLADAET KOMPAKTNOJ OKRESTNOSTX@. lOKALXNAQ KOMPAKTNOSTX | \TO TOPOLOGI^ESKOE SWOJSTWO. qSNO TAKVE, ^TO WSQKOE KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO QWLQETSQ LOKALXNO KOMPAKTNYM.

p R I M E R Y. 2. Rn | LOKALXNO KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO.

3.oTKRYTYJ [AR B1 ( ) W Rn | LOKALXNO KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO.

4.dISKRETNOE PROSTRANSTWO LOKALXNO KOMPAKTNO.

pEREHODIM K IZU^ENI@ SWOJSTW LOKALXNO KOMPAKTNYH PROSTRANSTW.

5. wSQKOE OTDELIMOE LOKALXNO KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO REGULQR-

NO.

171

pUSTX E | LOKALXNO KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO, x 2 E I K | KOM- PAKTNAQ OKRESTNOSTX TO^KI x. tAK KAK K | REGULQRNOE PODPROSTRANSTWO E (105.8), SU]ESTWUET FUNDAMENTALXNAQ SISTEMA F ZAMKNUTYH OKREST- NOSTEJ TO^KI x W K ; TOGDA F | FUNDAMENTALXNAQ SISTEMA ZAMKNUTYH OKRESTNOSTEJ x W E: >

iSKL@^ITELXNO INTERESNYM FAKTOM QWLQETSQ TO OBSTOQTELXSTWO, ^TO DOBAWLENIEM ODNOJ (\BESKONE^NO UDALENNOJ• ") TO^KI LOKALXNO KOMPAKT- NOE PROSTRANSTWO MOVNO PREWRATITX W KOMPAKTNOE. pREDWARITELXNO RAS- SMOTRIM NESKOLXKO PRIMEROW.

p R I M E R Y. 6. sLEDU@]IE TRI LOKALXNO KOMPAKTNYH PROSTRANSTWA

POPARNO GOMEOMORFNY: R; (0; 1); S | OKRUVNOSTX BEZ ODNOJ TO^KI. eSLI

K S PRISOEDINITX WYBRO[ENNU@ TO^KU, TO POLU^IM OKRUVNOSTX S, KO- TORAQ QWLQETSQ KOMPAKTNYM PROSTRANSTWOM. tAKIM OBRAZOM, KAVDOE IZ TREH• PROSTRANSTW MOVNO \POGRUZITX" W KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO, OTLI- ^A@]EESQ OT ISHODNOGO ODNOJ TO^KOJ.

7. lOKALXNO KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO R2 POGRUVAETSQ W KOMPAKTNOE

2
PROSTRANSTWO \| EDINI^NU@ SFERU S(		R3) S POMO]X@ STEREOGRAFI^ES-

KOJ PROEKCII. R GOMEOMORFNO PRI \TOM S | SFERE S WYBRO[ENNOJ TO^- KOJ. iTAK, UKAZANNAQ KOMPAKTIFIKACIQ TAKVE OSU]ESTWLQETSQ PRISOEDI- NENIEM K R2 ODNOJ TO^KI.

8. t E O R E M A [p.s.aLEKSANDROW].dLQ KAVDOGO LOKALXNO KOMPAKTNO- GO PROSTRANSTWA E SU]ESTWUET KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO E0 TAKOE, ^TO E GOMEOMORFNO NEKOTOROMU PODPROSTRANSTWU PROSTRANSTWA E0, DOPOLNENIE KOTOROGO (W E0) SWODITSQ K ODNOJ TO^KE.

pUSTX (E;

T ) | LOKALXNO KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO. pOLOVIM E0 =

E [f!g, GDE f!g | ODNOTO^E^NOE MNOVESTWO. oPREDELIM TOPOLOGI@ T 0 W

E0 : U

2 T 0, ESLI U 2 T , LIBO U ESTX MNOVESTWO WIDA f!g[(EnK), GDE K

| NEKOTORYJ KOMPAKT W TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE E (PROWERXTE, ^TO

T 0 NA SAMOM DELE ESTX TOPOLOGIQ). qSNO TAKVE, ^TO (E; T ) GOMEOMORF-

NO (E;

0 ), GDE

0 | TOPOLOGIQ, INDUCIROWANNAQ W

E (KAK ^ASTI E0

)

TOPOLOGIEJ T

0. nAKONEC, (E0; T 0) | KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO. dEJSTWI-

TELXNO

PUSTX

(U ) 2A |

OTKRYTOE POKRYTIE

E0.

tOGDA NAJDETSQ

•

TAKOE, ^TO ! 2

U 0 = f!g [ (EnK0), GDE K0 | NEKOTORYJ KOMPAKT W2TO-

POLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE (E; T ). pRI \TOM K0

A;= 0

(U nf!g). nO

Anf 0g

U nf!g 2 T ( 2 A), A POTOMU SU]ESTWUET KONE^NAQ ^ASTX

172

x109. sWQZNOSTX

TAKAQ, ^TO K0 S2 (U nf!g). oTS@DA (U ) 2 [f 0g | KONE^NOE POKRYTIE

E0: >

9. u P R A V N E N I E. pUSTX E | LOKALXNO KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO,

E0 = E[f!g. oPREDELIM W E0 TOPOLOGI@ T 0 : U 2 T 0, ESLI0U 2 T , LIBO U ESTX MNOVESTWO WIDA f!g[V , GDE V 2 T . uBEDITESX, ^TO T | TOPOLOGIQ,

NO (E0; T 0) NE QWLQETSQ, WOOB]E GOWORQ, KOMPAKTNYM RAS[IRENIEM E.

1. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO (E; T ) NAZYWAETSQ SWQZNYM, ESLI NE SU]ESTWUET RAZBIENIQ E NA DWA NEPUSTYH OTKRYTYH MNOVESTWA, TO ESTX E NELXZQ PREDSTAWITX W WIDE E = U [ V , GDE U; V 2 T ; U 6= ;; V 6= ; I U \V = ;. ~ASTX X TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA E NAZYWAETSQ SWQZNOJ, ESLI W INDUCIROWANNOJ TOPOLOGII X | SWQZNOE PROSTRANSTWO. sWQZNOSTX QWLQETSQ TOPOLOGI^ESKIM SWOJSTWOM (!!).

p R I M E R Y. 2. oTREZOK [a; b] R SWQZEN f\TO SLEDUET, NAPRIMER, IZ LEMMY O WLOVENNYH OTREZKAHg.

3. eWKLIDOWO PROSTRANSTWO Rn SWQZNO.

oTMETIM TEPERX OSNOWNYE SWOJSTWA SWQZNYH MNOVESTW.

eSLI

(Xi )i2I

SEMEJSTWO SWQZNYH ^ASTEJ TOPOLOGI^ESKOGO PRO

STRANSTWA

Xi = ,

Xi |

SWQZNAQ ^ASTX

6 ;

i2I

5. oBRAZ SWQZNOGO TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA PRI NEPRERYWNOM

OTOBRAVENII SWQZEN.

6. zAMYKANIE SWQZNOGO MNOVESTWA SWQZNO.

p.4. dOPUSTIM, NAPROTIW, ^TO Y = i

I Xi

NE SWQZNO. tOGDA SU]ESTWU@T

U1; U2 2 T TAKIE, ^TO

;

[

6 ;

( )

Y = Y1

Y2 (Yi

= Y

(i = 1; 2)); Y1

Y2 =

pUSTX TO^KA x 2 i

I Xi PROIZWOLXNA. oNA PRINADLEVIT ODNOMU IZ SLAGA-

EMYH PRAWOJ ^ASTI RAWENSTWA ( ). pUSTX, NAPRIMER, x 2 Y1 . pUSTX i0 2 I

6 ;

TAKOWO, ^TO X

(TAKOE i

SU]ESTWUET). nO TOGDA IMEET MESTO

RAWENSTWO, PROTIWORE^A]EE SWQZNOSTI Xi0 :

1 \

;

1 [

i0 \

i 6 ;

= Z

; GDE Z = X

(i = 1; 2) I Z

173

p.5. pUSTX f : E ! E0 NEPRERYWNO I E SWQZNO. eSLI BY SU]ESTWO- WALO RAZBIENIE f(E) NA DWA OTKRYTYH MNOVESTWA U0; V 0, TO NEPUSTYE OTKRYTYE MNOVESTWA f,1(U0); f,1(V 0) RAZBIWALI BY E, ^TO NEWOZMOVNO.

p.6. pUSTX (E; T ) | TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO I X( E) SWQZNO. pUSTX W TO VE WREMQ SU]ESTWU@T U1; U2 2 T TAKIE, ^TO

X, = (X, \ U1 ) [ (X, \ U2 ); X, \ Ui 6= ; (i = 1; 2);

(X, \ U1 ) \ (X, \ U2 ) = ;:

tOGDA MNOVESTWA X \ Ui (i = 1; 2) OBRAZU@T OTKRYTOE RAZBIENIE X: > u P R A V N E N I Q. 7. eSLI E; F | SWQZNYE TOPOLOGI^ESKIE PRO-

STRANSTWA, TO E F SWQZNO.

" ( .

. 19) X f(0; 1)g[I0

[I1

[I2[: : :,

•

dOKAVITE ^TO

GREBENKA

rIS

GDE I0

= f(x; 0)j 0

1g; Ik

= n(

; y)jR02 y 1o ; k =

1; 2; : : :,

QWLQETSQ SWQZNOJ ^ASTX@ ^ISLOWOJ PLOSKOSTI .

x110. lINEJNAQ SWQZNOSTX

1. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO E NAZYWAETSQ LINEJNO SWQZNYM, ES- LI L@BYE DWE EGO TO^KI x I y MOGUT BYTX SOEDINENY \PUT•EM", TO ESTX SU]ESTWUET NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE f : [0; 1] ! E TAKOE, ^TO x = f(0), y = f (1). ~ASTX X TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA E NAZYWAETSQ LINEJNO SWQZNOJ, ESLI W INDUCIROWANNOJ TOPOLOGII X | LINEJNO SWQZNOE PRO- STRANSTWO. lINEJNAQ SWQZNOSTX QWLQETSQ TOPOLOGI^ESKIM SWOJSTWOM (!!).

2. lINEJNO SWQZNOE PROSTRANSTWO SWQZNO.

pUSTX x0 \| PROIZWOLXNAQ TO^KA W LINEJNO SWQZNOM PROSTRANSTWE E
I DLQ KAVDOGO x 2 E fx : [0; 1] ! E \| PUTX, SOEDINQ@]IJ TO^KU x0
S TO^KOJ x. uTWERVDENIE SLEDUET IZ PREDSTAWLENIQ E =			fx ([0; 1]) S
		x2E

U^•ETOM 109.4.	>	S

3. z A M E ^ A N I E. iZ SWQZNOSTI LINEJNAQ SWQZNOSTX NE SLEDUET. nAPRIMER, \GREB•ENKA" (SM. 109.8) | SWQZNOE, NO NE LINEJNO SWQZNOE PRO- STRANSTWO (!!).

u P R A V N E N I Q. 4. sWOJSTWA 109.4{5 OSTA@TSQ SPRAWEDLIWYMI DLQ LINEJNO SWQZNYH MNOVESTW.

174

5.wSQKOE SWQZNOE PODMNOVESTWO MNOVESTWA RQWLQETSQ I LINEJNO SWQZ- NYM. oPI[ITE WSE SWQZNYE PODMNOVESTWA R.

6.iSSLEDOWATX NA SWQZNOSTX I LINEJNU@ SWQZNOSTX SLEDU@]IE MNO- VESTWA:

(A) Q (W R ), (B) RnQ (W R), (W) Q2 (W R2).

(G) = f(x; y) 2 R2j x 2 Q LIBO y 2 Qg ( W R2).

(D) = f(x; y) 2 R2j \x 2 Q; y 62Q" LIBO \x 62Q; y 2 Q"g,

7. wSQKOE WYPUKLOE MNOVESTWO W Rn LINEJNO SWQZNO.

175

mera vordana

oB]AQ IDEQ MEROOPREDELENIQ ZAKL@^AETSQ W PRODOLVENII MERY S \\LE- MENTARNYH" MNOVESTW, GDE MERA UVE OPREDELENA NEKOTORYM ESTESTWEN- NYM OBRAZOM, NA BOLEE [IROKIJ KLASS \IZMERIMYH" MNOVESTW S SOHRA- NENIEM SWOIH OSNOWNYH SWOJSTW (NEOTRICATELXNOSTX I ADDITIWNOSTX). nIVE BUDET IZLOVENO POSTROENIE MERY PO vORDANU W EWKLIDOWOM PRO- STRANSTWE Rn. iZLOVENIE SNA^ALA BUDET WESTISX DLQ SLU^AQ R2 TOLXKO DLQ BOLX[EJ NAGLQDNOSTI.

x111. |LEMENTARNYE MNOVESTWA

1. pRQMOUGOLXNIKOM W R2 (SO STORONAMI, PARALLELXNYMI OSQM KOOR-

DINAT) NAZYWAETSQ MNOVESTWO WIDA

= f(x; y) 2 R2j x 2 ha; bi; y 2 hc; dig = ha; bi hc; di;

GDE ^EREZ ha; bi OBOZNA^AETSQ ODIN IZ PROMEVUTKOW WIDA (a; b), [a; b); (a; b], [a; b] (a; b 2 R). mNOVESTWO E( R2) NAZYWAETSQ \LEMENTARNYM, ESLI ONO QWLQETSQ OB_EDINENIEM KONE^NOGO ^ISLA POPARNO NEPERESEKA@]IHSQ PRQ- MOUGOLXNIKOW:

	n
	[			\			;	6
( )	E = i		( i		j =			; i = j):
	i=1
w DALXNEJ[EM BUDET ISPOLXZOWATXSQ ZNAK						P		WMESTO	S	, ESLI RE^X IDET• O
			n			P			S
POPARNO NEPERESEKA@]IHSQ MNOVESTWAH. tAKIM OBRAZOM, WMESTO ( ) BU-
DEM PISATX E = 1	+ : : : + n	=	P	i.
			P
			i=1

oBOZNA^IM ^EREZ E KLASS WSEH \LEMENTARNYH MNOVESTW W R2 . oTMETIM WAVNYE DLQ NAS SWOJSTWA \TOGO KLASSA.

pUSTX E I F | PROIZWOLXNYE MNOVESTWA IZ KLASSA E. tOGDA

2.E [ F; E \ F 2 E ,

3.ESLI E F , TO FnE 2 E,

4.SU]ESTWU@T POPARNO NEPERESEKA@]IESQ PRQMOUGOLXNIKI 1; : : : ; n

TAKIE, ^TO E = P i; F = P i, GDE ; 0 f1; : : : ; ng.

i2 i2 0

176

sNA^ALA USTANOWIM PROSTU@ GEOMETRI^ESKU@ LEMMU.

5. eSLI PRQMOUGOLXNIKI 1; : : : ; k POPARNO NE PERESEKA@TSQ I WSE SODERVATSQ W PRQMOUGOLXNIKE , TO SU]ESTWU@T POPARNO NEPERESEKA-

	k		n
@]IESQ PRQMOUGOLXNIKI k+1; : : : ; n TAKIE, ^TO =	P	i +	P	j.
	i=1		j=k+1

dOKAZATELXSTWO PROWODITSQ INDUKCIEJ PO k. dLQ k = 1 SPRAWEDLIWOSTX UTWERVDENIQ USTANAWLIWAETSQ PEREBOROM WOZMOVNYH SLU^AEW RASPOLOVE- NIQ PRQMOUGOLXNIKOW. (pRIMER ODNOGO IZ WOZMOVNYH SLU^AEW PRIWED<N

NA rIS. 20.)

dOPUSTIM, ^TO UTWERVDENIE WERNO

DLQ

WSEH

NATURALXNYH

^ISEL

k , 1;

I PUSTX SEMEJSTWO

1; : : : ; k

UDOWLETWORQET USLOWIQM P

. 5.

i + j

Pj , GDE fPj g

PREDPOLOVENI@, IMEET MESTO PREDSTAWLENIE = i=1

= kPj .

| NEKOTORAQ KONE^NAQ SISTEMA PRQMOUGOLXNIKOW. pOLOVIM 0

tOGDA 0

Pj I, SLEDOWATELXNO, Pj = 0

+ (j) , GDE

(j) | PRQMOUGOLX-

NIKI I s PROBEGAET KONE^NOE MNOVESTWO INDEKSOWP

. oTS@DA

k,1

i +

kPj +

(j)

k,1

i +

kPj +

(j)

i=1

j;s

i +

s :

i=1

j;s

6. pEREHODIM K DOKAZATELXSTWU PP. 2{4. uSTANOWIM SNA^ALA P. 4. pUSTX

E = n i; F =

s 0 . pOLOVIM ij = i

0 ; \TI PRQMOUGOLXNIKI

i=1

j=1

\ j

POPARNO NE PERESEKA@TSQ. tAK KAK ij 0j; ij i, TO W SILU P. 5:

00 ;

i =

ij + 000:

i=1

j=1

tOGDA SEMEJSTWO

ij;

; 000

| ISKOMOE.

it g

pP. 2, 3 QWLQ@TSQ SLEDSTWIQMI P. 4. dEJSTWITELXNO, W OBOZNA^ENIQH

P. 4 IMEEM

2Xn			n		2X\
2Xn			X		2X\
EnF =	0	i; E [ F =	i=1	i; E \ F =	i	0	i:
i			i=1		i

177

x112. mERA NA KLASSE \LEMENTARNYH MNOVESTW

1. mEROJ (PLO]ADX@) PRQMOUGOLXNIKA = ha; bi hc; di NAZYWAETSQ ^ISLO m( ) = (b,a)(d, c). w ^ASTNOSTI, ESLI WYROVDEN (TO ESTX a = b ILI c = d), TO m( ) = 0: sLEDU@]EE WAVNOE SWOJSTWO MERY NA KLASSE PRQMOUGOLXNIKOW NAZYWAETSQ ADDITIWNOSTX@:

2. eSLI =

m( ) =

m( k ).

k=1

pUSTX (a = x0 < x1 < : : : < xn = b); 0(c = y0

< : : : < ys = d) |

RAZLOVENIQ OTREZKOW [a; b] I [c; d]. eSLI =

i;j

ij, GDE ij =

; xi

TO PREDSTAWLENIE P

i;j

yj,1; yj (i = 1; n; j = 1; s),

NAZOWEM REGULQR

•

NYM. nETRUDNO WIDETX, ^TO UTWERVDENIE WERNO DLQ SLU^AQ REGULQRNOGO

PREDSTAWLENIQ:

(xi xi,1)] [

yj,1)]

m( ) = (b a)(d c) = [

(yj

i=1

j=1

(xi

xi,1)(yj

yj,1) =

m( ij ):

i;j

oB]IJ SLU^AJ LEGKO SWODITSQ K REGULQRNOMU (!!).

3. pRODOLVIM MERU NA KLASS E WSEH \LEMENTARNYH MNOVESTW: DLQ E =

i POLOVIM m(E) =

m( i).

i=1

uBEDIMSQ W KORREKTNOSTI DANNOGO OPREDELENIQ. pUSTX E =

j=1

| E]E• ODNO PREDSTAWLENIE E W WIDE OB_EDINENIQ POPARNO NEPERESEKA-

m( 0 ). dEJSTWITELX-

@]IHSQ PRQMOUGOLXNIKOW. tOGDA

m( i)

i=1

j=1

NO, POLAGAQ ij = i

, ZAMETIM, ^TO SPRAWEDLIWY RAWENSTWA E =

P P

; i =

ij; 0

ij. pO\TOMU m( i) =

m( ij ); m( 0 ) =

i=1 j=1

j=1

i=1

j=1

m( ij), OTKUDA

i=1

n s

m( i) =

X X

m( ij ) =

X X

m( ij ) =

m( 0

i=1

i=1 j=1

j=1

i=1

j=1

iZ DANNOGO OPREDELENIQ SRAZU SLEDUET, ^TO MERA m NA KLASSE E PO- PREVNEMU OBLADAET SWOJSTWOM ADDITIWNOSTI:

178

4. eSLI E; F 2 E I E \ F = ;, TO m(E + F ) = m(E) + m(F ). oTMETIM E]E• NESKOLXKO POLEZNYH SWOJSTW MERY (!!):

5.eSLI E 2 E, TO E ; E, 2 E I m(E) = m(E ) = m(E,).

6.eSLI E F (E; F 2 E), TO m(F ) = m(E) + m(F nE).

7.eSLI E; F 2 E, TO m(E [ F ) m(E ) + m(F ).

8.eSLI = , A PRQMOUGOLXNIK 1 NE WYROVDEN I \ 1 6= ;, TO m( \ 1) > 0.

x113. sWOJSTWO S^ETNOJ• ADDITIWNOSTI

mERA NA KLASSE PRQMOUGOLXNIKOW OBLADAET SWOJSTWOM SU]ESTWENNO BOLEE SILXNYM, ^EM SWOJSTWO 112.2. oNO NAZYWAETSQ S^•ETNOJ ADDITIW- NOSTX@ I LEVIT W OSNOWE PRINCIPIALXNO NOWOJ TEORII MERY I INTEG- RALA, KOTORAQ IZLAGAETSQ NIVE, W RAZDELAH \mERA lEBEGA" I \iNTEGRAL lEBEGA".

1. eSLI = 1

k, GDE ; k

| PRQMOUGOLXNIKI, TO

k=1

m( ) =

1 m( k):

k=1

2 n

zAFIKSIRUEM PROIZWOLXNOE n

N. w SILU 111.5 NAJDUTSQ PRQMOUGOLX-

NIKI 0

; : : : ; 0 TAKIE, ^TO =

k +

0 , I W SILU ADDITIWNOSTI

n+1

k=1

j=n+1

I NEOTRICATELXNOSTI MERY m:

m( k)

k=1

m( k ) +

m( 0 ) = m( k +

0 ) = m( ):

k=1

j=n+1

k=1

j=n+1

iZ PROIZWOLXNOSTI n TEPERX POLU^AEM

1 m( k)

m( ). oBRATNOE NE-

RAWENSTWO SLEDUET IZ UTWERVDENIQ:

kP=1

2. eSLI k=1

k, TO m( )

k=1 m( k ).

pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO I | ZAMKNUTYJ PRQMOUGOLXNIK TAKOJ,

^TO I m( )

m( ) + "=2. dLQ KAVDOGO k RASSMOTRIM OTKRYTYJ

PRQMOUGOLXNIK k TAKOJ, ^TO

(k+1)

" (k = 1; 2; : : :):

; m( k) < m( k) + 2,

179

k . sEMEJSTWO

1; 2; : : : OBRAZUET OTKRYTOE POKRY-

qSNO, ^TO k=1

f f

SU]ESTWUET KONE^NOE SE

TIE KOMPAKTNOGO MNOVESTWA

sLEDOWATELXNO

MEJSTWO 1

; : : : N, KOTOROE POKRYWAET :

k=1

k . w SILU 112.7

S f

m( ) k=1 m( k). sLEDOWATELXNO,

m( ) m( ) + 2

m( k) + ":

k=1

m( k ) + 2

k=1

m( k ) + 2

k=1

iZ PROIZWOLXNOSTI " P. 2 DOKAZAN, A WMESTE S NIM I P. 1.

x114. iZMERIMYE PO vORDANU MNOVESTWA

1. dLQ OGRANI^ENNOGO MNOVESTWA X( Rn) OPREDELENY DWA ^ISLA:

m (X ) supfm(E)j E X; E 2 Eg | WNUTRENNQQ MERA vORDANA MNOVESTWA X,

m (X ) inffm(E)j X E; E 2 Eg | WNE[NQQ MERA vORDANA MNO- VESTWA X.

oTMETIM, ^TO m (X) m (X ) DLQ PROIZWOLXNOGO OGRANI^ENNOGO MNO- VESTWA X . oGRANI^ENNOE MNOVESTWO X( Rn ) NAZYWAETSQ IZMERIMYM PO vORDANU (J-IZMERIMYM) , ESLI m (X) = m (X). ~ISLO m(X)

WAm (XX.) (= m (X )) NAZYWAETSQ MEROJ vORDANA J -IZMERIMOGO MNOVEST-

z A M E ^ A N I Q. 2. kAVDOE \LEMENTARNOE MNOVESTWO E = P k

k=1

J -IZMERIMO I EGO MERA vORDANA RAWNA P m( k ). zDESX I DALEE BUKWOJ

k=1

OBOZNA^A@TSQ (n-MERNYE) PARALLELEPIPEDY ha1; b1i : : : han; bni.

3. iZ OPREDELENIQ P. 1 MNOVESTWO X IMEET VORDANOWU MERU NULX

(m(X ) = 0) TTOGDA 8" > 0 9E 2 E (X E; m(E) < "). oTMETIM SWOJSTWA MNOVESTW VORDANOWOJ MERY NULX:

4.m(X) = m(Y ) = 0 ) m(X [ Y ) = 0,

5.Y X; m(X ) = 0 ) Y J-IZMERIMO I m(Y ) = 0.

180

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 5118 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.03.20151.3 Mб182_er_er_files_book894_book.pdf
#
12.03.20153.46 Mб4_Simple Standart`s №1.NOTES.pdf
#
12.03.20153.84 Mб4_Simple Standart`s №2.NOTES.pdf
#
23.11.2019118.41 Кб3_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
25.11.2019349.45 Кб5_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
12.03.20152.83 Mб35А.Н.Шерстнев - Математический анализ..pdf
#
31.07.2019877.57 Кб9а15_ДУ.doc
#
17.04.2019372.22 Кб13Абзалов Цифра.doc
#
01.07.2025950.27 Кб3Авиационная медицина.doc
#
17.09.20191.05 Mб138Авиационное и радиоэлектронное оборудование сам...doc
#
12.03.2015709.63 Кб48Автоматизированный измеритель характеристик и.docx