ЛЕКЦИЯ 8_9,15.11.11_

ЛЕКЦИЯ 8 (8.11.11)

Алгебраические критерии устойчивости линейных систем: Стодола, Гурвица.

Частотные критерии устойчивости: метод D-разбиения, критерий Михайлова.

В инженерной практике не всегда удобно проверять устойчивость ли-

нейной системы по корням характеристического уравнения. Это связано в первую очередь с необходимостью использования ЦВМ, поскольку для ал-

гебраических уравнений выше 3-его порядка требуется использование чис-

ленных методов. Кроме того, часто требуется определять область устойчиво-

сти системы по параметрам. При этом вычисление корней характеристиче-

ского уравнения для множества значений параметров является нерациональ-

ным. В связи с этим возникает задача определения устойчивости системы без вычисления корней, т.е. определения условий при которых корни характери-

стического уравнения левые. Методы, решающие указанную задачу, называ-

ются критериями устойчивости. В зависимости от метода решения задачи критерии устойчивости делятся на алгебраические и частотные. Алгебраи-

ческие позволяют судить об устойчивости системы по коэффициентам ха-

рактеристического уравнения системы, а частотные – по виду соответст-

вующих частотных характеристик.

1. Алгебраические критерии устойчивости.

Пусть задано характеристическое уравнение линейной системы

Пусть все корни левые, причем для вещественных корней коэффициен-

ты pi 0, а для комплексно-сопряженных корней pi i j i , pi 1 pi i j i множители

1

(p pi)(p pi 1) p2 (pi pi 1)p pi pi 1 p2 2 i p i2 i2

имеют полиномы 2-го порядка с положительными коэффициентами, по-

скольку i 0. Тем самым, если раскрыть полином (2) с положительными коэффициентами и привести к виду уравнения (1), то его коэффициенты так-

же будут положительными. Отсюда следует критерий Стодола.

Очевидно, что возможны случаи, когда некоторые коэффициенты урав-

нения (2) отрицательные, а коэффициенты уравнения (1) положительные, т.е.

критерий Стодола является только необходимым. Однако, если в уравнении

(1) хотя бы один коэффициент ai 0, то система неустойчива. Это условие является достаточным для неустойчивости системы.

1.2. Критерий Гурвица. Для устойчивости системы с характеристиче-

ским уравнением (1) необходимо и достаточно, чтобы матрица Гурвица

имела положительные главные диагональные миноры:

Рассмотрим частные случаи:

1) при n 2 условие устойчивости определяется неравенствами

т.е. a0 1 0, a1 0, a2 0, что совпадает с условием критерия Стодола, ко-

торый в этом случае дает необходимое и достаточное условие устойчивости. 2) при n 3 условие устойчивости определяется неравенствами

2

p(T1p 1)(T2 p 1)

Требуется определить условие устойчивости замкнутой системы по коэффициенту усиления k .

Для решения задачи составим характеристическое уравнение замкну-

той системы, полагая 1 W(p) 0. Отсюда получим

D(p) p(T1p 1)(T2 p 1) k 0

или

Критерий Гурвица удобно использовать для систем невысокого поряд-

ка (n 6), поскольку с ростом порядка увеличивается объем аналитических вычислений. Если требуется определить область устойчивости по одному па-

раметру, то для систем высокого порядка можно воспользоваться символь-

ными вычислениями пакета MATLAB.

Пример 2. Требуется определить область устойчивости системы

по коэффициенту k с помощью символьных вычислений.

3

Для решения задачи воспользуемся следующим Script-файлом:

syms p k % символьные переменные n=3; A=[0 1 0;0 0 1;-k -1 -2];

d=poly(A,'p')% определение характеристического уравнения

%вектор коэффициентов характеристического уравнения aa=coeffs(d,p);n1=n+1;for i=1:n1; a(i)=aa(n1-i+1);end

%второй главный диагональный минор матрицы Грвица delta2=[a(2) a(4);a(1) a(3)]

vpa(det(delta2),6)% выражение минора матрицы Гурвица

В результате выполнения данной программы на печать выводятся вы-

ражение характеристического уравнения, второй главный диагональный ми-

нор матрицы Гурвица и его выражение:

d =

p^3+2*p^2+p+k

delta2 =

[ 2, k] [ 1, 1]

detG =

2.-1.*k

Таким образом, условие устойчивости по коэффициенту k определяет-

ся неравенством 0 k 2.

2. Частотные критерии устойчивости

При значении порядка системы n 6 использование критерия Гурвица связано с решением сложных неравенств. В этом случае для определения об-

ласти устойчивости более эффективным является частотный метод D –

разбиения, предложенный Ю.И. Неймарком, который в отличие от алгебраи-

ческого метода является численным методом.

2.1. Метод D-разбиения

Сущность метода D – разбиения по одному параметру заключается в

где k неизвестный параметр, по которому требуется определить область ус-

4

тойчивости системы. Из уравнения (4) запишем выражение для параметра k

в операторной форме:

k(p) d(p) . m(p)

При подстановке p j для значений определяется усло-

вие на комплексный параметр k( j ), при котором замкнутая система имеет

области с различным содержанием устойчивых корней. При переходе из од-

ной смежной области в другую через кривую D - разбиения один веществен-

ный или пара комплексных сопряженных корней переходит через мнимую ось. Область, содержащая наибольшее число левых корней называется пре-

тендентом на устойчивую область.

Для установления правила, определяющего область претендент, рас-

проходит по мнимой оси и разделяет комплексную плоскость на две области.

Из характеристического уравнения следует, что система устойчива при k 0,

т.е. при X( ) 0. Если нанести штриховку на кривой D - разбиения k( j )

слева при изменении от до , то область устойчивости будет на сто-

роне штриховки. Тем самым в данной области наибольшее число устойчивых корней (один единственный корень). При переходе из правой полуплоскости

(со стороны штриховки) в левую полуплоскость один корень становится не-

устойчивым и наоборот. Данные свойства также справедливы для n 2.

В общем случае для системы n-го порядка, если суммарное число пе-

реходов корней при переходах из области с наименьшим числом в область с наибольшим числом левых корней равно n, то область претендент будет об-

ластью устойчивости.

5

Если число таких переходов меньше n, то найденную область претен-

дент необходимо проверить на устойчивость для любого фиксированного вещественного значения параметра k из данной области с помощью какого-

нибудь критерия устойчивости. Здесь можно воспользоваться, например,

критерием Гурвица с использованием численных методов вычисления глав-

ных диагональных миноров.

Построение области устойчивости по параметру k методом D - раз-

биения можно проводить в системе MATLAB с помощью функции nyquist

для операторного выражения параметра k(p).

Пример 3. Для примера 1 требуется построить кривую D-разбиения при значении параметров T1 1с, T2 0,1с.

Для решения задачи воспользуемся командой

T1=1; T2=0.1; nyquist(-tf([T1*T2 T1+T2 1 0],[1]))

На рис. 2 представлен отредактированный график кривой D-разбиения,

разделяющей комплексную плоскость на три области. При этом область 1 яв-

ляется областью претендентом на устойчивость со значением параметра k ,

удовлетворяющего неравенству 0 k 11, что совпадает с условием устой-

чивости по критерию Гурвица (3).

Рис. 2

6

Метод D-разбиения также применяется для определения областей ус-

тойчивости по двум параметрам [5, с. 155-167].

2.2. Критерий устойчивости Михайлова

Другой частотный способ определения устойчивости линейной систе-

мы связан с построением частотной характеристики D( j ), называемой го-

дографом Михайлова, для уравнения (1) при изменении 0 .

Рассмотрим свойства годографа D( j ) с учетом выражения (2):

Здесь принято обозначение arg() – аргумент от комплексного значения, рав-

ный значению фазы. На рис. 3 для удобства комплексные значения представ-

лены в виде векторов.

Рассмотрим случай левых корней pi (рис. 3а), где i j pi . Найдем диапазон изменения (приращение) аргумента для функции i j pi при изменении 0 . Очевидно, что вектор i (т. А) повернется на угол

/2 .

7

Для комплексно-сопряженного значения pi i j i вектор i (т. В)

повернется на угол /2 . Тогда приращение аргумента для функции

(j pi)( j pi) будет равно сумме приращений аргумента для каждого

множителя:

arg[( j pi)( j pi)] /2 /2 2 /2.

0

Для вещественного корня ( i 0, 0) получим приращение аргу-

мента

arg[ j pi] /2.

0

Рассмотрим случай правых корней pi (рис. 3б). Очевидно, что прира-

щения аргумента для правых корней будет отличаться только знаком.

Таким образом, левые корни характеристического уравнения (1) дают

положительное, а правые отрицательное приращение аргумента.

На основе проведенного анализа с учетом формулы (7) можно сформу-

лировать следующее свойство.

Свойство. Если характеристическое уравнение (1) имеет m правых и n m левых корней, то приращение аргумента для годографа Михайлова

(5) будет равно:

ределить из графика его приращение аргумента, равное k /2, то из равен-

ства k /2 (n 2m) /2 найдем количество правых корней по формуле

Если приращение аргумента arg D( j ) n /2, то m 0 и, следова-

0

тельно, система устойчива. При этом годограф Михайлова вращается строго против часовой стрелки.

При определении устойчивости системы по приращению аргумента го-

8

дографа D( j ) необходимо исключать случаи расположения корней на мнимой оси (на границе устойчивости). В этих случаях годограф Михайлова имеет характерный вид.

1. Если имеется пара чисто мнимых корней p1,2 j i , то согласно формуле (6) при i значение | D( j )| 0, т.е. годограф Михайлова про-

ходит через начало координат.

2. Если имеется нулевой вещественный корень p1 0, то при 0

значение | D( j )| 0, т.е. годограф Михайлова начинается из начала коор-

динат.

Отметим, что для устойчивости системы в силу критерия Стодола все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положитель-

ными, т.е. в уравнении (1) значение an 0 и годограф Михайлова при 0

должен начинаться на вещественной положительной полуоси.

С учетом указанных свойств теперь можно дать общую геометриче-

скую интерпретацию частотного критерия устойчивости Михайлова:

Для устойчивости системы с характеристическим уравнением (1) не-

обходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова начинался на вещест-

венной положительной полуоси, строго вращался против часовой стрелки,

последовательно обходя n квадрантов (не проходя через начало координат),

и уходил в бесконечность в n-ом квадранте, где n– порядок характеристи-

ческого уравнения.

Для построения годографа Михайлова необходимо:

1)представить D( j ) X( ) jY( );

2)найти точки пересечения с вещественной осью, полагая Y( ) 0 и

определяя соответствующие положительные значения 1, 2 , … в порядке возрастания;

9

3) найти точки пересечения с мнимой осью, полагая X( ) 0 и опре-

деляя соответствующие положительные значения 1, 2 , … в порядке воз-

растания;

4) определить квадрант, в котором годограф уходит в бесконечность по

значениям X( ), Y( ).

По полученным точкам пересечения с осями координат в порядке воз-

растания частоты можно построить годограф Михайлова.

Из геометрической интерпретацию критерия Михайлова следует, что для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы пересечение

квадранте.

Нарушение хотя бы одного свойства в формулировках критерия ус-

тойчивости свидетельствует о неустойчивости системы.

Построение годографа Михайлова можно проводить в системе MATLAB с помощью функции nyquist для полинома D(p).

Пример 4. Для примера 3 построить годографы Михайлова при значе-

ниях k 0, k 5, k 11, k 15 и сделать выводы об устойчивости системы.

Для решения задачи воспользуемся Script-файлом:

T1=1;T2=0.1;

k=0;[u,v,w]=nyquist((tf([T1*T2 T1+T2 1 k],[1])),{1e-8,10}); plot(squeeze(u),squeeze(v));hold on k=5;[u,v,w]=nyquist((tf([T1*T2 T1+T2 1 k],[1])),{1e-8,10}); plot(squeeze(u),squeeze(v)); k=11;[u,v,w]=nyquist((tf([T1*T2 T1+T2 1 k],[1])),{1e-8,10}); plot(squeeze(u),squeeze(v)); k=15;[u,v,w]=nyquist((tf([T1*T2 T1+T2 1 k],[1])),{1e-8,10}); plot(squeeze(u),squeeze(v));grid

На рис. 4 представлены отредактированные графики годографов Ми-

хайлова: годограф 1 (k 0) начинается из начала координат и соответствует апериодической границе устойчивости системы; годограф 2 (k 5) последо-

вательно обходит три квадранта, что свидетельствует об устойчивости сис-

темы; годограф 3 (k 11) проходит через начало координат, тем самым сис-

10