Lectures part2

- 81 -

вие прочности при плоском изгибе и содержит в явном виде всего один геомет- рический параметр, который может быть найден при решении обратной задачи подбора поперечного сечения. При этом отношение моментов сопротивления или сторон прямоугольного сечения предполагается заданным и неизменным.

Если в силу особенностей задачи касательные напряжения от поперечных изгибов нельзя считать малыми, то в некоторых зонах поперечного сечения на одних и тех же площадках будут действовать одновременно нормальные и ка- сательные напряжения. Это свидетельствует о том, что в материале действует плоское напряжённое состояние, при котором прочность необходимо проверять специальными методами, по теориям прочности.

вектора, тогда в сечении будет происходить плоский изгиб относительно оси z1 (рис. 23.13). Нормальное напряжение определится по формуле плоского

изгиба

Так что нейтральная линия пройдет так же, как и при плоском изгибе (а также и косом изгибе) через центр тяжести поперечного сечения в направлении век-

- 83 -

Таким образом, определить напряжения в данном случае несложно. Мак-

симальные по абсолютной величине нормальные и касательные напряжения возникают в данном случае на одних и тех же площадках вблизи внешнего кон- тура поперечного сечения (рис. 23.14). Они независимы друг от друга, это сви- детельствует о том, что в материале в зоне действия максимальных напряжений возникает разновидность плоского напряжённого состояния, что вынуждает использовать для проверки прочности стержня теории (критерии) прочности.

Формулы для проверки прочности и подбора сечений при изгибе с кручением

Рассмотренная выше 1-я теория прочности для эквивалентных напряже-

ний в точке для указанной разновидности плоского напряжённого состояния даёт выражение:

В наиболее нагруженных точках поперечного сечения, где максимальны по модулю и нормальные и касательные напряжения, возникают нормальные напряжения от изгиба, модуль которых определяется формулой

σ = Mи , (23.48)

Wz

где M и = M – изгибающий момент в рассматриваемом поперечном сечении; Wz – осевой момент сопротивления круглого сечения.

Модуль касательных напряжений в этих же точках записывается так:

где M кр = M x – крутящий момент в этом сечении; Wp – полярный момент со- противления круглого сечения. Для круглого сечения Wp = 2Wz , поэтому

Подстановка формул для нормальных и касательных напряжений в сечении (23.48), (23.50) в выражения для эквивалентных напряжений даёт:

С помощью расчётных моментов условие прочности при изгибе с кручением круглого стержня (вала) может быть записано в форме, аналогичной условию прочности плоского изгиба:

Эта форма записи удобна тем, что позволяет подбирать поперечное сечение. Напомним, что для круглого сечения Wz = πd332 .

Отметим также, что поскольку для стали и дюраля μ ≈ 0,3 , то формулу расчётного момента по второй теории прочности (23.53) часто записывают с числовыми коэффициентами:

- 85 -

Тема №24. УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ КОНСТРУКЦИЙ.

Понятие устойчивости. Критерий Эйлера для поиска критического состояния.

Устойчивое и неустойчивое равновесие абсолютно твёрдых тел рассмат- ривается в курсах физики и теоретической механики. В качестве простейшего примера приводится обычно шарик в ямке, на бугре и на ровной поверхности. Во всех этих положениях шарик находится в равновесии. Действующая на него

При этом качественным это равновесие было только в случае на рис. 24.1. Та-

рец (рис. 24.4). Исходя из предыдущего определения, карандаш будет устойчив. Однако на основании жизненного опыта он будет мало устойчивым. Это же можно сказать и о шарике, лежащем в маленькой ямке на бугре (рис. 24.5).

Свободное от этих недостатков более общее определение устойчивости формулируется так:

Однако устойчивым это равновесие будет не всегда, что зависит от вели- чины силы P. В этом легко убедиться, прикладывая, например, к 30-сантиметровой деревянной линейке силу рукой. Линейка, представляющая собой стержень с опорами, вполне соответствующими схеме на рисунке, легко выдерживает вес руки, однако, если надавить на линейку с большей силой, она выпучивается в сторону меньшего поперечного размера, после чего её легко сломать. Можно ощутить, что вновь увеличивать осевую силу для этого почти не нужно.

Для идеальной схемы на рисунке можно рассуждать так. Первоначально существует положение равновесия, изображенное на рис. 24.6. Если подейство-

вать на стержень некоторым бесконечно малым поперечным импульсом силы Qdt , то стержень немного изогнётся (рис. 24.7). Сила Q быстро исчезает, после

чего слегка изогнутый стержень остаётся под действием одной активной силы P, а также реактивной силы (реакции опоры) R. В сечениях изогнутого стержня, согласно теории изгиба при малых перемещениях и деформациях, действуют

внутренние моменты

пропорциональные кривизне стержня κ. Они стремятся вернуть стержень в первоначальное прямолинейное состояние. Это бы всегда и происходило, если бы не было силы P, которая вследствие прогиба v(x) создаёт момент относи-

тельно произвольной точки оси стержня:

ня. Если Mвнеш > M z (x) , то стержень согнется и сломается. Его исходное со- стояние равновесия оказывается неустойчивым. Знаки моментов, соответст- вующие принятым правилам знаков и задаче, установим позднее, поэтому за- писываем соотношения для модулей моментов. Если же Mвнеш < M z (x) , то стержень распрямится, следовательно, его исходное состояние устойчиво. Мо- мент M z (x) от силы P не зависит, он обусловлен значением импульса силы Q, зато от силы P зависит Mвнеш , а потому и соотношение этих моментов. Оче- видно, что между устойчивым и неустойчивым равновесием существует пере-

ходное состояние, когда Mвнеш = M z (x) . Это переходное состояние от устой-

чивости к неустойчивости называется критическим состоянием. Как видно,

при критическом состоянии равновесия, появляется бесконечно близкая к ис- ходному состоянию равновесия новая равновесная форма в изогнутом состоя- нии. В данном случае она возникает при равенстве модулей момен-

- 88 -

тов Mвнеш = M z (x) .

Это позволяет по-другому взглянуть на проблему устойчивости. Вполне понятно, что если существуют два близких (или бесконечно близких) по форме состояния равновесия, то при малом (или бесконечно малом) внешнем воздей- ствии может произойти переход из одного положения равновесия в другое. Та- кое явление часто возникает, например, в оболочках, когда оболочка при не- большом внешнем воздействии с хлопком переходит из одного положения рав- новесия в другое и обратно.

Очевидно, что для предсказания расчетным путём потери устойчивости следует уметь определять параметры критического состояния.

Момент появления бесконечно близких к исходному состоянию равнове- сия новых равновесных форм является критерием (признаком) критического состояния, по которому можно найти параметры критического состояния.

Предложен этот критерий Л. Эйлером. Одним из параметров критического со- стояния для сжатого стержня будет величина силы P. Величина силы P, при ко-

торой возникает критическое состояние, называется критической силой.

ческая оболочка, сжатая вдоль оси, сжатая обшивка крыла самолёта на пре- дельных режимах и многие другие конструкции. При проектировании требует- ся оценить возможность возникновения данного явления на основе специально- го расчёта.

Расчёт сжатых стержней на устойчивость в пределах упругости (задача Эйлера)

Данная задача была решена Леонардом Эйлером в 1744 году.

Будем искать условия, при которых выполняется критерий Эйлера для критического состояния, т.е. существует равновесие стержня на рис. 24.7 в изо- гнутом состоянии, когда импульс силы уже перестал действовать. Причём сле- дует искать равновесие части стержня, поскольку условие равновесия всего стержня (24.2) выполняется и для изогнутого стержня. Отметим, что, рассмат-

- 89 -

ривая равновесие в изогнутом состоянии, мы отказываемся от принципа на- чальных размеров, которым всегда до сих пор пользовались. Задача относи- тельно простая, и в результате мы не встретимся со всеми трудностями подоб- ного подхода. В общем случае задача станет нелинейной.

где вращение по часовой стрелке взято со знаком «минус». Подставив сюда (24.3), где множитель EIz считаем постоянным для стержня постоянного сече-

ния, и учтя, что при малых перемещениях и деформациях

приходим к обыкновенному однородному дифференциальному уравнению вто- рого порядка с постоянными коэффициентами относительно функции проги-

ба v(x) :

Корни этого уравнения мнимые:

поэтому, как известно из курса высшей математики, общее решение дифферен-

циального уравнения может быть представлено в форме

Поскольку sin(k × 0) = 0, а cos(k × 0) =1, очевидно, что граничное условие может

Оно может быть выполнено, если C1 = 0, но этот случай нам не интересен. Ра- венство нулю обеих констант в выражении (24.12) означает, что прогибов нет вообще, и что стержень вообще не искривляется. Эту форму равновесия мы

Подстановка сюда выражения для k, следующего из (24.9), позволяет получить

выражение для критической силы

Это выражение для формы изогнутого стержня при различных значениях n. Из решения очевидно, что каждой критической силе соответствует своя форма поте- ри устойчивости с тем же значением n. Проанализируем полученный результат.