Lectures part2

- 3 -

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ УПРУГИХ ДЕФОРМАЦИЙ,

ИНТЕГРАЛ МОРА

Тема №16. Потенциальная энергия упругих деформаций при различных

видах деформаций стержня

Потенциальная энергия упругих деформаций при растяжении (сжа-

тии) стержня

y

B

B*

Вспомним, что стержень при растя-

жении (сжатии) ведёт себя как пружина

x

P

высокой жёсткости и малой податливости.

Тогда вполне понятно, что сила, прикла-

l

l

дываемая к концу стержня (рис. 16.1), со-

Эпюра N(x)

P

вершает работу, стержень растягивается

(сжимается), при этом он, очевидно, на-

капливает потенциальную энергию, ко-

Рис. 16.1

торая, если удалить силу, высвободится и

перейдёт в кинетическую энергию со-

кращения его длины, а после кратковременного колебательного процесса –

в тепловую энергию. Таким образом, при рассмотрении задачи деформирова-

ния стержней можно использовать энергетические подходы (приёмы). Следует

отметить, что энергетический подход позволяет решить все задачи, решаемые с

помощью сил, а также многие задачи, которые не удаётся решить рассмотрени-

P

P(u)

ем сил. Далее будем говорить о растяже-

нии (при сжатии всё аналогично).

Pк

Ai

Pi

Если осевая сила прикладывается к

A

стержню статически (т.е. не возникают

Pн

ускорения масс и кинетическая энергия),

то на перемещении

l = u(xB ) = uB его

uн

ui uк

u

свободного конца она совершит работу,

Рис. 16.2

которая по закону

сохранения энергии

накопится в стержне в виде потенциаль-

ной энергии упругих деформаций Π

A = Π .

(16.1)

Чтобы задача оставалась статической, следует особым образом прикладывать

внешнюю силу P. При этом в процессе её приложения она должна всё время быть

равна внутренней силе в деформируемом стержне в точке приложения силы:

P = N(xB )

(16.2)

- 4 -

Внутренняя сила N(xB ) в данном случае постоянна по координате x:

N(xB )= N(x)= N , но изменяется в процессе деформирования. Она подчиняется

полученному ранее соотношению упругости для растяжения-сжатия:

N = EF

l = EF uB .

(16.3)

l

l

Вместе с ней должна изменяться в процессе приложения и внешняя сила P.

Укажем эту функциональную зависимость в обозначении сил P и N:

P = P(uB )= N(uB )=

EF uB .

(16.4)

l

Таким

образом,

нам

необходимо

P

P(uB )

вычислить работу переменной силы на

Pк

A

пути, проходимом в направлении действия

этой силы. Как известно из курса физики,

работа A в этом случае равна площади под

Pн = 0

графиком переменной силы (рис. 16.2), т.е.

uBк uB

определённому интегралу, получающему-

uBн = 0

Рис. 16.3

ся из бесконечной суммы работ постоян-

ных сил:

uк

i=∞

i=∞

A = å Ai = åPi ui

= òP(u)du ,

(16.5)

i=1

i=1

uн

где uн – значение перемещения в начале процесса приложения нагрузки, uк – в

конце.

В данном случае растяжение начинается без перемещений и сил в на-

чальном состоянии, поэтому uBн = 0 ,

Pн = P(uBн )= 0 , а зависимость P от uB

(16.4) прямо пропорциональная (рис. 16.3). Воспользовавшись формулой (16.5)

для данного случая, с учётом (16.4) получим

uBк

uBк

EF

EF

uBк

2

A = Π =

ò

P(uB )duB =

ò

uBduB =

ò

uBduB =

EF

uBк

.

(16.6)

l

l

l 2

0

0

0

Перепишем (16.4) так:

uB =

P(uB )l

.

(16.7)

EF

Пользуясь (16.4) и (16.7), из (16.6) найдём

EF u2

1

P2l

A = Π =

Bк

=

P u

Bк

=

к

,

(16.8)

l

2

2EF

2 к

EF u2

1

N 2l

P = A =

B

=

NuB =

.

(16.9)

l

2

2

2EF

нице объёма стержня при растяжении

s2x = w ,

wср = P =

NuB

=

1

N

Dl =

1

sxex =

1

Ee2x

=

1

(16.10)

2

V 2 × Fl 2 F l 2

2 E

где V – объём стержня. При записи соотношений использовался также закон

Гука для растяжения (сжатия). Поскольку σx

и εx в данном случае постоянны

b =

P

=

N 2l

=

N 2

= b .

(16.11)

l

2EF

× l

2EF

ср

- 9 -

деформаций. Поскольку при поперечном изгибе момент всегда изменяется по

длине стержня, рассмотрим участок стержня бесконечно малой длины dx, и бу-

дем

считать

переменными внутренние

силовые факторы Qy (x)

и

M z (x)

(рис. 16.7). Их значения на правом торце малого элемента выразим, как всегда,

с помощью дифференциалов через значения на левом торце:

Qy+ (x)= Qy

(x)+ dQy (x) ,

(16.32)

M z+ (x)= M z (x)+ dM z (x) .

dθ

При статическом приложении нагрузки

элемент деформируется, и на соответствую-

Qy (x)

ds

щих перемещениях внутренние силовые фак-

M

(x)

M +

(x)

торы совершают работу, которая переходит в

z

статической задаче в потенциальную энергию

z

Qy+ (x)

упругих деформаций. Согласно принятым ки-

dx

нематическим гипотезам, поперечные сечения

не деформируются, а перемещаются как жёст-

Рис. 16.7

кие диски. Будем считать, что левое сечение

неподвижно, а правое перемещается относи-

тельно него. Одно из сечений всё равно надо считать неподвижным, безразлич-

но которое. Результат во всех случаях получается один и тот же, в чём неслож-

но убедиться, предварительно ознакомившись с дальнейшими рассуждениями

для неподвижного левого сечения.

В данном случае на прогибе от сдвига (абсолютном сдвиге) ds

крайнего

правого сечения совершает работу перерезывающая сила Qx+ (x), которая пе-

рейдёт в потенциальную энергию упругих деформаций:

dA = dΠ

= 1 Q

+ (x)ds .

Q

Q

2

z

Учтём первую из формул (16.32), а затем отбросим слагаемые более высокого

порядка малости по сравнению с первым слагаемым, в результате получим

dA = dΠ

= 1 Q

(x)ds + 1 dQ

(x)ds = 1 Q

(x)ds .

(16.33)

Q

Q

2

y

2

y

2

y

Отсюда очевидно, что работа силы Qy+ (x)

при неподвижном левом сечении за-

писывается точно так же, как работа момента силы Qy (x) при неподвижном

правом торце, а значит переменность перерезывающей силы также можно не

учитывать при записи выражения работы и энергии.

Момент

на правом

торце

M z+ (x)

совершает работу на угле

поворота

dθ правого сечения. По аналогии с предыдущей формулой запишем: