Lectures part2

- 61 -

формаций и не разрушаются, поэтому предельная поверхность имеет в отрица- тельном октанте бесконечно удалённую точку.

2. Проверка прочности материалов по эквивалентным напряжениям. При практических проверках прочности материалов в случае сложного напряжённо- го состояния используют другой подход.

Введём некоторые новые понятия. Все напряжённые состояния, располо- женные на одном луче, исходящем из начала координат координатной системы σx1 , σx2 , σx3 , называются подобными. Очевидно, что два напряжённых состоя-

ветствующими точке A, коэффициентом запаса прочности n (или просто запасом

дельные главные напряжения для луча, проведённого через начало координат и точку A. Запас прочности показывает, во сколько раз надо увеличить все главные напряжения одновременно, чтобы получить предельные главные напряжения.

Два напряжённых состояния называются равноопасными, если у них оди- наковый коэффициент запаса прочности. Легко видеть, что равноопасными мо- гут быть только неподобные состояния. Действительно, подобные состояния располагаются на одном луче, исходящем из начала координат. Если равны и коэффициенты запаса n, такие напряжённые состояния и изображающие их точки совпадут.

Если опасность разрушения для двух напряжённых состояний, названных равноопасными, считать действительно одинаковой, то вместо сложного напря- жённого состояния можно рассматривать равноопасное ему напряжённое состоя-

ние одноосного растяжения-сжатия. Нормальное напряжение одноосного напря- жённого состояния, равноопасное сложному напряжённому состоянию, называ-

ется эквивалентным напряжением σэкв . Предельное напряжение для одноосного напряжённого состояния σпред легко определяется, это, напомним, σт или σв .

ˆ

Если известна предельная поверхность и предельное напряжённое состояние A, соответствующее заданному сложному напряжённому состоянию A, то известен коэффициент запаса n. С его помощью можно найти эквивалентное напряжение:

Но предельные поверхности материалов неизвестны, поэтому неизвестен ни запас прочности, ни предельные напряжения сложного напряженного состояния. Эквивалентное напряжение, равноопасное исходному сложному напряжённому состоянию, приходится поэтому находить на основании дополнительных гипотез (теорий, критериев прочности), которые надо подтверждать экспериментом. Эк- вивалентное напряжение заменяет три главных напряжения одним. Это напряже- ние одноосного напряжённого состояния считают равноопасным сложному на- пряжённому состоянию. Для материалов, одинаково сопротивляющихся растяже- нию и сжатию, модуль этого напряжения, как и все напряжения одноосного на- пряжённого состояния, должен быть меньше или равен допускаемому напряже- нию на растяжение-сжатие [σ]. Получаем условие прочности для сложного на-

Если это условие выполняется, то материал считается прочным, если не выпол- няется, то непрочным.

На основе именно этого подхода проверяется в практических расчётах прочность при сложном напряжённом состоянии. Однако полностью обосно- ванных гипотез указать не удаётся, поэтому различных гипотез предложено много. Рассмотрим ряд общепризнанных гипотез.

Теория максимальных нормальных напряжений (первая теория прочности)

Гипотеза. Два напряжённых состояния равноопасны, если у них равны максимальные по абсолютной величине нормальные напряжения. В качестве напряжённого состояния, с которым сравнивается сложное напряжённое со- стояние, выбирается одноосное напряжённое состояние растяжения-сжатия.

Если считать, что допускаемые напряжения на одноосное растяжение и сжатие одинаковы, то можно в полном соответствии с формулировкой гипоте-

зы принять

Здесь и далее верхним индексом в скобках указываем номер теории прочности. Условие прочности в этом случае запишется так:

- 64 -

дельному состоянию хрупкого отрыва. Однако уже при сжатии такого соответ- ствия не будет. Не учитываются этой теорией и другие главные напряжения. Не удивительно, что результаты, получаемые по первой теории, во многих случаях отличаются от данных эксперимента. Заметим, что неравенство (22.12) опреде- ляет предельную поверхность около начала координат для осей σx1 , σx2 , σx3 в

виде куба со стороной 2[σ] (рис. 22.4). Кубическая форма предельной поверх- ности будет некоторым грубым приближением к её реальной форме, что и ве- дёт к погрешностям. Таким образом, введение гипотез прочности означает за- мену реальной предельной поверхности приближённой.

Первая теория прочности имеет ограниченное применение для хрупких материа- лов, особенно при напряжённых состояниях, близких к одноосному растяжению.

Теория наибольших деформаций (вторая теория прочности)

Теория основана на предположении о том, что к разрушению ведут не сами по себе напряжения, а связанные с ними деформации. Можно предпола- гать, что в результате линейных деформаций расстояния между молекулами или атомами увеличиваются, связи между ними нарушаются, что и вызывает разрушение материала. Очевидно, что для деформаций также можно получить предельную поверхность, ввести коэффициент, аналогичный коэффициенту за- паса прочности, деформированные состояния с одинаковыми коэффициентами запаса можно назвать равноопасными и т.д. Тогда гипотезу этой теории можно сформулировать так. Два деформированных состояния равноопасны, если у них равны максимальные по абсолютной величине линейные деформации.

Максимальные по модулю деформации определяются соотношением

ε1, ε2, ε3 можно сопоставить с деформированным состоянием при одноосном

растяжении, предполагая при этом в соответствии с гипотезой, что ограничения при растяжении и сжатии одинаковы. Условие прочности этой теории следует, очевидно, записать так:

При одноосном напряжённом состоянии линейные деформации связаны с нормальными напряжениями законом Гука, поэтому допускаемые деформации однозначно определяются допускаемыми напряжениями при растяжении:

- 65 -

Напомним, что допускаемые значения всегда задаются ниже предела пропорцио- нальности, поэтому применение закона Гука вполне оправданно. Обобщённый закон Гука можно применить на том же основании и к главным деформациям:

Подставив соотношения (22.20), (22.21) в формулы (22.19) и (22.18) и со- кратив на модуль упругости Е, получим условия прочности уже по напряжениям, как и в других теориях прочности:

где выражение в левой части неравенства представляет собой некоторое на- пряжение. Это напряжение, вычисленное по параметрам сложного напряжённо- го состояния, сравнивается с допускаемым на одноосное растяжение. Его мож- но рассматривать как нормальное напряжение одноосного напряжённого со- стояния, равноопасное сложному. Это напряжение по определению и есть эк- вивалентное напряжение второй теории:

Соотношения (22.22) (22.23) означают, что условие прочности по второй тео-

рии имеет вид

Вторая теория прочности, как и первая, соответствует особенностям разру- шения хрупких материалов при растяжении, предельному состоянию хрупкого от- рыва. Однако при сжатии такого соответствия, как и у первой теории, нет. Поэто- му вторая теория даёт удовлетворительное совпадение с экспериментом при на- пряжённых состояниях преимущественного растяжения для хрупких материалов.

- 66 -

Теория максимальных касательных напряжений (третья теория прочности)

В машиностроении применяются в основном пластичные материалы. Пе- ред разрушением они испытывают пластические деформации, которые, как мы видели, происходят из-за скольжения слоёв материала в направлении наиболь- ших касательных напряжений, другими словами, возникает предельное состоя- ние текучести в этих направлениях. Для таких материалов естественно оцени- вать прочность по максимальным касательным напряжениям, используя сле-

дующую гипотезу прочности: два напряженных состояния в точке равноопас- ны, если у них равны максимальные по модулю касательные напряжения τ max .

Сложное напряжённое состояние, как и в первой теории, будем сопостав- лять с равноопасным ему напряжённым состоянием одноосного растяжения. По той же формуле для одноосного напряжённого состояния:

Из последней формулы следует, что если заданы допускаемые нормаль- ные напряжения на одноосное растяжение [σ], то заданы и допускаемые каса-

По гипотезе это же неравенство можно использовать и для сложного напря- жённого состояния, заменив τ max одноосного напряжённого состояния на та-

кую же величину равноопасного ему сложного. Подставив (22.28) и (22.30) в (22.31), получим условие прочности в следующей форме:

Выражение в левой части неравенства представляет собой некоторое напряже- ние. Это напряжение, вычисленное по параметрам сложного напряжённого со- стояния, сравнивается с допускаемым на одноосное растяжение. Его можно рассматривать как нормальное напряжение одноосного напряжённого состоя- ния, равнооопасное сложному. Поэтому по определению оно является эквива- лентным напряжением третьей теории прочности:

а полученное соотношение представляет собой условие прочности для сложно- го напряжённого состояния по этой теории.

Для плоского напряженного состояния следует пользоваться условиями прочности третьей теории в общем виде (22.33), поскольку максимальным или минимальным в части случаев может оказаться нулевое главное напряжение.

Третья теория прочности обоснована и даёт хорошие результаты во всех случаях, когда разрушение начинается с больших пластических деформаций в направлении наибольших касательных напряжений. Так происходит у пластич- ных материалов при большинстве напряжённых состояний. Использование одинаковых допускаемых напряжений на растяжение и сжатие, как уже гово- рилось, вполне обоснованно, поскольку пределы текучести при растяжении и сжатии у пластичных материалов одинаковы. При всестороннем сжатии каса- тельных напряжений нет, и третья теория прочности предсказывает в этом слу- чае отсутствие разрушения, что согласуется с экспериментом. Однако при все- стороннем растяжении материалы должны разрушаться, а третья теория, по- скольку касательные напряжения в этом случае также отсутствуют в материале, предсказать в этом случае разрушение не может. Поэтому третья теория должна давать значительные погрешности при напряжённых состояниях, близких к все- стороннему растяжению, когда пластичные материалы начинают вести себя как хрупкие.

К сожалению, оценить экспериментально эти отклонения не удаётся из-за технической сложности испытаний при таких напряжённых состояниях. Оправ- дывает применение третьей теории то, что напряжённые состояния, близкие к все- стороннему растяжению, в реальных конструкциях возникают крайне редко.

Третья теория прочности даёт удовлетворительные результаты и для хрупких материалов в случаях, когда разрушение происходит из-за предельного состояния хрупкого сдвига, а не путём отрыва слоёв. Так происходит, напри- мер, при одноосном сжатии.

Энергетическая теория прочности (четвертая теория прочности)

Как и во многих других случаях, для оценки прочности можно использо- вать энергетические соотношения. Первоначально считали, что прочность ма- териала можно оценивать по удельной потенциальной энергии упругих дефор-

- 68 -

маций, т.е. по потенциальной энергии упругих деформаций, накапливаемой в единице объёма, однако такая гипотеза экспериментального подтверждения не нашла. Она противоречит опыту на всестороннее сжатие, при котором разру- шение не происходит, несмотря на очень большую удельную потенциальную энергию упругих деформаций. Однако удельная потенциальная энергия упру- гих деформаций может быть представлена в виде суммы двух слагаемых:

удельной потенциальной энергии изменения объёма и удельной потенциальной энергии изменения формы. Можно предположить, что для оценки прочности должно использоваться только второе слагаемое. Следует это и из того, что при пластическом течении материала коэффициент Пуассона μ становится рав- ным 0,5. Это означает, что при деформации течения меняется не объём, а толь- ко его форма.

Гипотеза энергетической теории прочности может быть сформулирована так: два напряжённых состояния равноопасны, если у них равны потенциаль- ные энергии изменения формы ωф .

Для сложного напряжённого состояния эта энергия определяется формулой

Как и в других теориях, сопоставлять сложное напряжённое состояние будем с одноосным напряжённым состоянием растяжения. В случае одноосного напря- жённого состояния σ2 = 0 и σ3 = 0, поэтому

Если указано предельное или допускаемое нормальное напряжение при одно- осном напряжённом состоянии, то этим по последней формуле задана и соот-

ветствующая предельная или допускаемая энергия изменения формы при таком напряжённом состоянии:

ф 3E

Условие прочности одноосного напряженного состояния в данном случае

запишется так: ωф ≤ [ωф ] ,

оно будет справедливо и для сложного напряжённого состояния, так как из ги- потезы следует, что ωф сложного напряжённого состояния можно использовать

в этом соотношении вместо ωф , равноопасного ему одноосного. Подставив сю- да выражения (22.35), (22.36) для левой и правой части неравенства, получим

Выражение в левой части этого неравенства представляет собой некото- рое напряжение. Это напряжение, вычисленное по параметрам сложного на- пряжённого состояния, сравнивается с допускаемым на одноосное растяжение. Его можно рассматривать как нормальное напряжение одноосного напряжён- ного состояния, равноопасное сложному. Поэтому оно по определению являет- ся эквивалентным напряжением четвёртой теории прочности:

Для плоского напряжённого состояния, когда одно из главных напряжений равно нулю, запишем:

Подставим сюда формулы (22.14), справедливые в частном случае плос-

кого напряженного состояния для стержня. Получим

σ(4)экв = 0,5(σ + σ2 + 4τ2 )2 + (σ − σ2 + 4τ2 )2 − (σ + σ2 + 4τ2 )(σ − σ2 + 4τ2 )=

Сравнив полученный результат с σ(3)экв , видим, что в данном частном случае эк- вивалентные напряжения по третьей и четвёртой теории прочности близки, но различны.

Четвертая теория прочности, как и третья, предсказывает появление пре- дельного состояния пластического течения для материалов с одинаковыми пре- делами текучести на растяжение и сжатие. В отличие от третьей теории в вы- ражении эквивалентного напряжения учитываются все главные напряжения. Теория даёт хорошие результаты в тех же случаях, что и третья теория. Но так- же, как и третья, она не может предсказать хрупкое разрушение при всесторон- нем растяжении, когда энергия изменения формы будет нулевой.

Другие теории прочности

Существует много других теорий прочности. Обусловлено это как слож- ностью проблемы, так и разнообразием свойств материалов. Укажем, что кроме изотропных, используются и анизотропные материалы, что ещё более осложня- ет проблему.

Из других теорий следует отметить теорию прочности Мора (пятая тео- рия прочности). Она не учитывает влияние второго, промежуточного по вели- чине главного напряжения σ2 . При выводе соотношений теории используется

анализ предельных круговых диаграмм Мора, характеризующих напряжённое

- 70 -

состояние, и кроме первоначального допущения относительно роли σ2 , теория

целиком основана на данных эксперимента. Не останавливаясь на подробном рассмотрении теории Мора, приведём только итоговую формулу простейшего

жение на сжатие. Для пластичных материалов [σ]р = [σ]сж , в этом случае экви-

валентное напряжение пятой теории совпадает с эквивалентным напряжением третьей теории. Для хрупких материалов допускаемое напряжение на растяже- ние [σ]р меньше допускаемого напряжение на сжатие [σ]сж , коэффициент при

напряжении σ3 оказывается меньше единицы и эквивалентное напряжение пя-

той теории приближается к результатам первой теории. Таким образом, эта теория оказывается более универсальной.

Н.Н. Давиденков и Я.Б. Фридман предложили теорию, которую назвали единой теорией прочности. Поскольку существует не одно предельное состоя- ние, вполне обоснованным представляется положение этой теории о том, что

допускаемое напряженное состояние должно удовлетворять одновременно

при этом [ε] устанавливается из опытов на одноосное растяжение; [τ] – из опы- тов на пластическое течение материала от сдвига.

Первое условие прочности контролирует появление в материале предель- ного состояния хрупкого отрыва, второе – наступление предельных состояний хрупкого сдвига или пластического течения. Из этих условий прочности полу-

оба они сравниваются с одним и тем же допускаемым напряжением на растя- жение-сжатие, поэтому условие прочности может быть записано так:

Первое из них совпадает с первым эквивалентным напряжением второй теории прочности. Второе представляет собой эквивалентное напряжение третьей теории прочности. Одновременное использование этих двух эквива- лентных напряжений позволяет предсказывать разрушение при всех типах на- пряжённых состояний для хрупких и пластичных металлов.