Lectures part2

- 51 -

Для определения перемещений δ11 и 1P надо ещё найти усилия в стерж-

нях основной системы от нагружения исходной конструкции (рис. 21.6). Выре- зав узел A фермы на рис. 21.6, из условий его равновесия (рис. 21.7) получим

Усилия не меняются по длине стержней, поэтому строить их эпюры нет смысла, они постоянны. Так что все эпюры осевых сил, необходимые для вы- числения δ11, 1P , получены. Моменты же в стержнях конструкции отсутст-

вуют, поэтому вторые слагаемые в интегралах Мора пропадают. В отличие от рам для ферм остаются только слагаемые от осевых сил. Постоянство же эпюр

эквивалентную систему (см. рис. 21.3). Из равновесия узла A этой системы (рис. 21.8) определяются усилия во втором и третьем стержне исходной конст- рукции:

По найденным напряжениям можно проверить прочность конструкции.

Основные особенности напряжённо-деформированного состояния

статически неопределимых конструкций

Рассмотрим эти особенности на примере решённой задачи расчета трёх- стержневой конструкции. Для последующего анализа полученных результатов найдём отношение усилий и напряжений в стержнях:

Полученные формулы позволяют прийти к следующим выводам.

1.Более жёсткий элемент (с большим` коэффициентом жёсткости) вос- принимает и большую` часть нагрузки. В статически определимых конструкци- ях такой зависимости нет. Это видно и из формул для усилий в основной сис- теме для той же ферменной конструкции.

2.Изменением площадей поперечных сечений невозможно достичь рав- нопрочности в статически неопределимой конструкции. Действительно, отно- шение напряжений в первом и втором стержне не зависит от площадей попе- речных сечений этих стержней.

Статически неопределимые системы, в том числе простейшая ферма на рис. 21.1, представляют собой ловушку для неопытных конструкторов. Что- бы приблизиться к равнопрочности в этой конструкции, следует снизить на-

- 53 -

пряжения в центральном (первом) стержне и увеличить в боковых. На основе

опыта проектирования статически определимых конструкций возникает мысль о том, что для этого следует увеличить площадь поперечного сечения цен- трального стержня и уменьшить площади поперечных сечений боковых стерж- ней. Однако при таком изменении площадей средний стержень становится ещё более жёстким и воспринимает большую` долю нагрузки, а боковые, став менее жёсткими, сбрасывают с себя нагрузку. В результате отношение напряжений не изменится, поскольку оно не зависит от площадей поперечных сечений.

Так уменьшать площадь боковых стержней можно, по существу, до пол- ного их удаления. Это означает только, что с точки зрения прочности при дан- ной нагрузке нет необходимости в боковых стержнях, можно вполне обойтись одним центральным стержнем. Но вовсе не означает, что боковые стержни со- всем не нужны. Они могут быть проводниками с током, и площадь их сечения может определяться из соображений обеспечения передачи электрического то- ка, а совсем не из соображений прочности. Конструкция при этом всё равно должна быть прочной, что и проверяется соответствующим расчётом. Боковые стержни могут быть также установлены для восприятия горизонтальных нагру- зок, которые не рассматривались в данном расчёте, они могут быть установле-

ны для гарантии безопасности конструкции при разрушении центрального стержня и по другим причинам.

Из сказанного очевидно, что статическая неопределимость значительно осложняет оптимизацию конструкции.

3. Ещё одна особенность статически неопределимых конструкций заклю- чается в том, что напряжения в них могут существовать и при отсутствии ак- тивной внешней силовой нагрузки.

ный) стержень (рис. 21.10), то его конец в общем случае не попадёт в точку со- единения первых двух стержней.

Конструкцию можно собрать, если приложить усилие к последнему стержню. В случае на рисунке он должен быть при сборке сжат. После сборки

- 54 -

сжатый центральный стержень несколько удлинится и напряжения сжатия в нём уменьшатся, при этом боковые стержни окажутся нагруженными растяги- вающими усилиями. Возникающие в собранной таким образом конструкции

нение температуры от первоначального значения, при котором определялся размер l; lt – изменение размера вследствие нагрева; αt – коэффициент ли-

нейного температурного расширения. Считается, что при свободном темпера-

турном расширении никаких внутренних усилий в большинстве материалов не возникает.

Если нагреть один из стержней статически определимой конструкции на рис. 21.11, то после его удлинения конструкция перекосится, но никаких на- пряжений в ней не возникнет, как и при сборке конструкции из стержней с раз-

- 55 -

ной длиной (см. рис. 21.9). Если же нагреть один из стержней трёхстержневой статически неопределимой конструкции на рис. 21.12, то, подобно случаю на рис. 21.10, в ней возникнут напряжения, называемые температурными. Нетруд- но видеть, что температурные напряжения возникают вследствие стеснения свободного температурного расширения.

Нагретый стержень может подвергаться ещё и силовому воздействию. Его удлинение подчиняется тогда гипотезе Дюамеля - Неймана, согласно кото- рой силовая и температурная деформация подчиняются принципу суперпози- ции:

Поделив это соотношение на первоначальную длину стержня, получим соот- ношение для деформаций:

где ε – полная линейная деформация стержня (за счёт всех причин); εP – де- формация стержня от силовой нагрузки; εt – деформация свободного темпера- турного расширения:

поэтому соотношение (21.23) приводит к форме закона Гука, учитывающей свободное температурное расширение:

Рассмотрим пример на рис. 21.13. Стержень, испытывающий нагрев, по- сле температурного расширения упирается в недеформируемую опору B*. Тре- буется определить возникающие в стержне нормальные напряжения в попереч-

линение стержня за счёт всех причин в данном случае равно зазору a. Суммар- ная линейная деформация ε запишется так:

Из последней формулы определяются напряжения, которые обычно называют температурными, хотя возникают они не прямо от нагрева, а от стеснения сво- бодного температурного расширения,

Результат, полученный для растяжения-сжатия, легко обобщить на трёх- мерный случай. Свободное температурное расширение не вызывает сдвигов. Если принять гипотезу Дюамеля - Неймана, то все линейные деформации сло- жатся из двух слагаемых (21.23), а угловые только из одного, зависящего от си-

εz = εzP + εz t , γzx = γzx P .

Воспользовавшись для линейных и угловых деформаций от силового на- гружения формулами обобщённого закона Гука и формулой свободного темпе- ратурного расширения (21.24) , получим соотношения обобщённого закона Гу- ка с учётом нагрева (температурного воздействия):

Если в системе соотношений теории упругости заменить обобщённый за- кон Гука на формулы (21.31), то с помощью полученной системы соотношений можно решать широкий класс практически важных задач термоупругости, ко- гда деформации сами по себе не вызывают изменения температуры тела.

- 57 -

Тема №22. ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ МАТЕРИАЛОВ ПРИ СЛОЖНОМ

НАПРЯЖЁННОМ СОСТОЯНИИ

Проверка прочности материалов в простейших случаях

В предыдущих темах рассматривались проверки прочности материалов в двух случаях. Во-первых, при одноосном напряженном состоянии, когда всё напряжённое состояние полностью определяется одним главным напряжением. Условием прочности материала в данной точке при растяжении было неравен-

ство

где [σ]р – допускаемое напряжение на растяжение, задаваемое на основе экспе-

риментов с данным материалом.

Естественно, что в данном случае по этому напряжению можно сделать вывод о том, будет ли материал прочным. Даже если разрушение произойдет не собственно от этих напряжений, а в большей степени, как это часто происхо- дит, от касательных напряжений, то судить о прочности можно всё по тем же нормальным напряжениям, раз они однозначно связаны со всеми другими на- пряжениями в стержне. К тому же это наибольшие из напряжений, и естествен- но оценивать прочность по нему. Подобная проверка прочности использовалась и при сжатии стержней, в этом случае использовалось минимальное главное напряжение σ3 = σmin . Условие прочности имело вид

где [σ]сж – допускаемое напряжение на сжатие.

Часто допускаемые напряжения на растяжение и сжатие принимают оди- наковыми. Это обычно вполне оправданно для пластичных металлов, приме- няемых в машиностроении. Тогда условие прочности записывалось так:

Это же условие используется и для проверки прочности при чистом и по- перечном изгибе. Напряженное состояние в материале при чистом изгибе тоже одноосное. При поперечном изгибе стержней во внешних слоях материала, наиболее удалённых от нейтральной оси, напряжённое состояние близко к од- ноосному. Поэтому при изгибе и возможна проверка прочности по нормальным напряжениям.

Во-вторых, нами ранее рассматривалась проверка прочности при напря- женном состоянии чистого сдвига и близких к нему напряжённых состояниях. Условием прочности материала в данной точке при чистом сдвиге было нера-

венство

где [τ]сд – допускаемое касательное напряжение на сдвиг.

При чистом сдвиге в материале наибольшие касательные напряжения также однозначно определяют все другие напряжения в данной точке материа- ла. В частности, наибольшие по модулю касательные напряжения в этом случае равны наибольшим по модулю нормальным. Поэтому по касательным напря- жениям можно судить о прочности материала. По ним проверялась прочность при поперечном изгибе в слоях материала вблизи нейтральной оси, где напря- жённое состояние близко к чистому сдвигу, а также при кручении круглых стержней, когда напряженное состояние в материале есть чистый сдвиг.

Предельные состояния материалов

В общем случае в точке материала могут действовать шесть независимых напряжений: σx , σy , σz , τxy , τyz , τzx . И вопрос о том, как в этом случае оцени-

вать прочность, пока нами не рассматривался.

образцов. Они разрушаются из-за отрыва по плоскости поперечного сечения, в которой действуют наибольшие нормальные напряжения. Такое предельное состояние называется хрупким отрывом. Второй вид предельного состояния

заключается в растрескивании материала в направлении действия наибольших касательных напряжений. Это предельное состояние называется хрупким сдви- гом. Данный вид предельного состояния возникает, например, при разрушении хрупких образцов от сжатия под углами, близкими к 45°относительно оси об- разца (рис. 22.1). Третий вид предельного состояния – это состояние текуче- сти в направлении максимальных касательных напряжений. Ясно, что третий вид предельного состояния характерен для пластичных материалов. Он не ведёт к немедленному разрушению, но происходящие при этом большие деформации обычно делают невозможной дальнейшую эксплуатацию конструкций.

Надо заметить, что одни и те же материалы проявляют одновременно и хрупкие, и пластические свойства. Уже говорилось о том, что большая или мень-

шая хрупкость и пластичность одного и того же материала зависят от скорости

- 59 -

нагружения и температуры окружающей среды. Известно также, что хрупкие ма- териалы, такие как чугун и мрамор, при испытаниях на растяжение и сжатие под большим внешним давлением (т.е. в условиях всестороннего сжатия) проявляют выраженные пластические свойства. При испытании же на растяжение пластично- го образца наблюдаются последовательно все три вида предельных состояний. Сначала наступает текучесть, сопровождающаяся появлением на поверхности об- разца линий Чернова - Людерса в направлении наибольших касательных напря-

жённого состояния, и от условий испытаний (или реального нагружения материа- ла).

Общие подходы к проверке прочности материалов при сложном на-

пряжённом состоянии

При проверке прочности материалов всегда принимается одна гипотеза.

Считается, что прочность материала в данной точке зависит только от на- пряжённо деформированного состояния (НДС) в данной точке и не зависит от НДС в соседних точках.

Если принять данную гипотезу, то можно не интересоваться взаимной ориентацией НДС в соседних точках, ведь взаимное влияние точек не учитыва- ется. Достаточно знать только три главных напряжения в точке: σ1, σ2, σ3 . Они

полностью определят все параметры напряженного состояния, кроме его ори- ентации (а если известны E и μ, то и все параметры деформированного состоя- ния изотропного материала). Конечно, три параметра меньше шести, но задача по-прежнему остаётся сложной. Нужно исследовать прочность материала при всевозможных сочетаниях этих напряжений. Такое исследование лучше прово- дить экспериментально.

1. Проверка прочности материалов с помощью предельной поверхности. Три главных напряжения напряжённого состояния σx1 , σx2 , σx3 , действующего

в материале, будем откладывать на взаимно перпендикулярных осях декарто-

- 60 -

вой системы координат (рис. 22.3). Подобное обозначение главных напряжений будем использовать, если не выделяем среди них наибольшее и наименьшее. Эта система координат расположена не в реальном теле или материале, а в не- котором отвлечённом пространстве. Зададим одновременное нарастание всех трёх напряжений по лучу, исходящему из начала координат. Такой луч задаётся системой двух равенств:

где k и k* – коэффициенты, определяющие направление луча. Зафиксируем точку A1, в которой наступает предельное состояние на данном луче. Задавая другие коэффициенты k и k* , получим другие лучи и другие предельные точ-

σ ˆ

ки A2, A3, A4, … , т , A, … . Для пластичного изотропного материала предель-

ные напряжения на полуосях будут, очевидно, равны пределу текучести мате- риала σт .

Совокупность этих точек образует поверхность, охватывающую начало координат и называемую поверхностью предельных состояний, или предельной поверхностью. С помощью методов численной аппроксимации такую поверх-

ность можно построить с достаточной для практических целей точностью по некоторому ограниченному числу экспериментальных точек. Построив пре- дельную поверхность во всех октантах системы координат, мы получим пол- ную информацию о прочностных свойствах данного материала. С помощью

такой предельной поверхности можно проверять прочность. Если точка ~ˆ ,

A

изображающая напряжённое состояние в некоторой физической точке B мате- риала, оказывается снаружи от этой поверхности, то в точке B должно произой- ти разрушение, если же точка A, изображающая напряжённое состояние, оказы- вается внутри поверхности, то разрушения не будет.

вить. В-третьих, сама предельная поверхность обладает весьма непростой фор- мой. При всестороннем сжатии материалы не испытывают пластических де-